Elementární kalkul: nekonečně malý přístup - Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach - Wikipedia

Elementární počet: Infinitezimální přístup je učebnice od H. Jerome Keisler. Titulky se zmiňují o infinitezimální čísla hyperrealistické číslo systém Abraham Robinson a někdy se uvádí jako Přístup využívající infinitesimals. Kniha je volně dostupná online a v současné době ji vydává společnost Dover.^[1]

Učebnice

Keislerova učebnice je založena na Robinsonově konstrukci hyperrealistická čísla. Keisler také vydal doprovodnou knihu, Základy nekonečně malého počtu, pro instruktory, který pokrývá základní materiál hlouběji.

Keisler definuje všechny základní pojmy kalkulu, jako je kontinuita (matematika), derivát, a integrální pomocí nekonečných čísel. Obvyklé definice ve smyslu technik ε – δ jsou uvedeny na konci kapitoly 5, které umožňují přechod na standardní sekvenci.

Keisler ve své učebnici použil pedagogickou techniku ​​mikroskopu s nekonečným zvětšením, aby reprezentoval graficky, zřetelně hyperrealistická čísla nekonečně blízko sebe. Podobně se k vyjádření nekonečných čísel používá dalekohled s nekonečným rozlišením.

Když někdo prozkoumá křivku, řekněme graf ƒpod lupou se jeho zakřivení úměrně zmenšuje se zvětšovací schopností objektivu. Podobně mikroskop s nekonečným zvětšením transformuje nekonečně malý oblouk grafu ƒ, do přímky, až do nekonečně malé chyby (viditelné pouze při použití „mikroskopu“ s větším zvětšením). Derivát ƒ je pak (standardní součást sklonu této přímky (viz obrázek).

Funkce standardní části „zaokrouhluje“ konečný hyperreal na nejbližší reálné číslo. „Infinitezimální mikroskop“ se používá k zobrazení nekonečně malého okolí standardního reálného.

Mikroskop se tedy používá jako zařízení při vysvětlování derivace.

Recepce

Knihu poprvé zkontroloval Errett Bishop, známý pro jeho práci v konstruktivní matematice. Bishopova recenze byla ostře kritická; vidět Kritika nestandardní analýzy. Krátce poté, co, Martin Davis a Hausner, stejně jako zveřejnili podrobnou příznivou recenzi Andreas Blass a Keith Stroyan.^[2][3][4] Keislerův student K. Sullivan,^[5] v rámci své disertační práce provedla kontrolovaný experiment zahrnující 5 škol, který našel Elementární počet mít výhody oproti standardní metodě výuky počtu.^[1][6] Navzdory výhodám, které popsal Sullivan, drtivá většina matematiků nepřijala ve své výuce nekonečně malé metody.^[7] Nedávno Katz & Katz^[8] dát pozitivní zprávu o kurzu počtu založeném na Keislerově knize. O'Donovan také popsal své zkušenosti s výukou počtu pomocí infinitesimals. Jeho počáteční pohled byl pozitivní, ^[9] ale později zjistil pedagogické obtíže s přístupem k nestandardnímu počtu přijatým v tomto textu a dalších.^[10]

G. R. Blackley poznamenal v dopise společnosti Prindle, Weber & Schmidt, týkající se Elementární počet: přístup využívající nekonečně malá čísla„Problémy, které by s knihou mohly nastat, budou politické. Je revoluční. Revoluce zavedená strana zřídka vítá, ačkoli revolucionáři často jsou.“^[11]

Hrbacek píše, že definice kontinuita, derivát, a integrální implicitně musí být zakotven v metodě ε – δ v Robinsonově teoretickém rámci, aby bylo možné rozšířit definice tak, aby zahrnovaly nestandardní hodnoty vstupů, a tvrdit, že naděje, že by bylo možné provést nestandardní počet bez metod ε – δ, nelze plně realizovat.^[12] Błaszczyk a kol. podrobnost užitečnosti mikrokontinuita při vytváření transparentní definice jednotná kontinuita, a charakterizovat Hrbačkovu kritiku jako „pochybný nářek“.^[13]

Princip přenosu

Mezi prvním a druhým vydáním Elementární počet, velká část teoretického materiálu, který byl v první kapitole, byla přesunuta do epilogu na konci knihy, včetně teoretických základů nestandardní analýzy.

Ve druhém vydání Keisler představuje princip rozšíření a princip přenosu v následující podobě:

Každý skutečný příkaz, který platí pro jednu nebo více konkrétních reálných funkcí, platí pro přirozená rozšíření těchto funkcí.

Keisler pak uvádí několik příkladů skutečná prohlášení na které se vztahuje zásada:

• Zákon o uzavření pro přidání: pro všechny X a y, součet X + y je definováno.
• Komutativní právo pro přidání: X + y = y + X.
• Pravidlo pro objednávku: pokud 0 < X < y pak 0 <1 /y < 1/X.
• Dělení nulou není nikdy povoleno: X/ 0 není definováno.
• Algebraická identita: ${ displaystyle (x-y) ^ {2} = x ^ {2} -2xy + y ^ {2}}$.
• Trigonometrická identita: ${ displaystyle sin ^ {2} x + cos ^ {2} x = 1}$.
• Pravidlo pro logaritmy: Pokud X > 0 a y > 0, tedy ${ displaystyle log _ {10} (xy) = log _ {10} x + log _ {10} y}$.

Viz také

• Kritika nestandardní analýzy
• Vliv nestandardní analýzy
• Nestandardní počet
• Věta o přírůstku

Poznámky

Reference

• Bishop, Errett (1977), „Recenze: H. Jerome Keisler, Elementární počet“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 83: 205–208, doi:10.1090 / s0002-9904-1977-14264-x
• Blass, Andreasi (1978), „Recenze: Martin Davis, Aplikovaná nestandardní analýza, K. D. Stroyan a W. A. ​​J. Luxemburg, Úvod do teorie nekonečně malých čísel a H. Jerome Keisler, Základy nekonečně malého počtu“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 84 (1): 34–41, doi:10.1090 / S0002-9904-1978-14401-2

Blass píše: „Mám podezření, že mnoho matematiků má někde vzadu v hlavě vzorec ${ displaystyle int { sqrt {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2}}}}$ pro délku oblouku (a rychle vyřadit dx před zapsáním) “(str. 35).

„Často, jako v příkladech výše, je nestandardní definice pojmu jednodušší než standardní definice (intuitivně jednodušší i technicky jednodušší, například kvantifikátory nad nižšími typy nebo méně alternací kvantifikátorů)“ (str. 37) .

„Relativní jednoduchost nestandardních definic některých konceptů elementární analýzy naznačuje pedagogickou aplikaci v prvním ročníku. Dalo by se využít intuitivních představ studentů o nekonečně malých číslech (které jsou obvykle velmi vágní, ale stejně tak jejich představy o reálných číslech) rozvíjet počet na nestandardním základě “(str. 38).

• Davis, Martin (1977), „Recenze: J. Donald Monk, matematická logika“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 83: 1007–1011, doi:10.1090 / S0002-9904-1977-14357-7
• Davis, M .; Hausner, M (1978), "Recenze knihy. Radost z nekonečna. J. Keislerův základní kalkul", Matematický zpravodaj, 1: 168–170, doi:10.1007 / bf03023265, S2CID  121679411.
• Hrbáček, K .; Lessmann, O .; O’Donovan, R. (listopad 2010), „Analýza pomocí Ultrasmall Numbers“, Americký matematický měsíčník, 117 (9): 801–816, doi:10,4169 / 000298910x521661, S2CID  5720030
• Hrbacek, K. (2007), „Stratifikovaná analýza?“, Van Den Berg, I .; Neves, V. (eds.), Síla nestandardní analýzySpringer
• Katz, Karin Usadi; Katz, Michail G. (2010), „Kdy je 0,999 ... méně než 1?“, Montana Mathematics Enthusiast, 7 (1): 3–30, arXiv:1007.3018, Bibcode:2010arXiv1007.3018U, archivovány z originál dne 20. července 2011
• Keisler, H. Jerome (1976), Elementární počet: přístup využívající nekonečně malá čísla, Prindle Weber & Schmidt, ISBN  978-0871509116
• Keisler, H. Jerome (1976), Základy nekonečně malého počtu, Prindle Weber & Schmidt, ISBN  978-0871502155, vyvoláno 10. ledna 2007 Společník učebnice Elementární počet: přístup využívající nekonečně malá čísla.
• Keisler, H. Jerome (2011), Elementární kalkul: nekonečně malý přístup (2. vyd.), New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-48452-5
• Madison, E. W .; Stroyan, K. D. (červen – červenec 1977), „Elementární počet. H. Jerome Keisler“, Americký matematický měsíčník, 84 (6): 496–500, doi:10.2307/2321930, JSTOR  2321930
• O'Donovan, R. (2007), „Pre-University Analysis“, Van Van Berg, I .; Neves, V. (eds.), Síla nestandardní analýzySpringer
• O'Donovan, R .; Kimber, J. (2006), „Nestandardní analýza na předuniverzitní úrovni: analýza naivní velikosti“, Cultand, N; Di Nasso, M .; Ross, D. (eds.), Nestandardní metody a aplikace v matematice, Poznámky k přednášce v logice, 25
• Stolzenberg, G. (červen 1978), "Dopis redakci", Oznámení Americké matematické společnosti, 25 (4): 242
• Sullivan, Kathleen (1976), „Výuka elementárního počtu pomocí přístupu nestandardní analýzy“, Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 83 (5): 370–375, doi:10.2307/2318657, JSTOR  2318657
• Vysoký, Davide (1980), Intuitivní nekonečná čísla v kalkulu (plakát) (PDF), Čtvrtý mezinárodní kongres o výuce matematiky, Berkeley

externí odkazy

• Kniha ve formátu PDF