Základní přírůstkové lemma - Fundamental increment lemma - Wikipedia

V jedné proměnné diferenciální počet, základní přírůstkové lemma je bezprostředním důsledkem definice derivát F'(A) a funkce F v určitém okamžiku A:

${ displaystyle f '(a) = lim _ {h až 0} { frac {f (a + h) -f (a)} {h}}.}$

Lema tvrdí, že existence tohoto derivátu implikuje existenci funkce ${ displaystyle varphi}$ takhle

${ displaystyle lim _ {h až 0} varphi (h) = 0 qquad { text {a}} qquad f (a + h) = f (a) + f '(a) h + varphi (h) h}$

pro dostatečně malé, ale nenulové h. Pro důkaz stačí definovat

${ displaystyle varphi (h) = { frac {f (a + h) -f (a)} {h}} - f '(a)}$

a ověřte to ${ displaystyle varphi}$ splňuje požadavky.

Diferencovatelnost ve vyšších rozměrech

V tom existenci ${ displaystyle varphi}$ jedinečně charakterizuje číslo ${ displaystyle f '(a)}$lze říci, že základní přírůstkové lemma charakterizuje rozlišitelnost funkcí s jednou proměnnou. Z tohoto důvodu lze zobecnění lemmatu použít v definici diferencovatelnosti v počet proměnných. Především předpokládejme F mapuje některé podmnožiny ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ na ${ displaystyle mathbb {R}}$. Pak F se říká, že je rozlišitelný v A pokud existuje lineární funkce

${ displaystyle M: ​​ mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$

a funkce

${ displaystyle Phi: D to mathbb {R}, qquad D subseteq mathbb {R} ^ {n} smallsetminus { mathbf {0} },}$

takhle

${ displaystyle lim _ { mathbf {h} až 0} Phi ( mathbf {h}) = 0 qquad { text {a}} qquad f ( mathbf {a} + mathbf {h }) = f ( mathbf {a}) + M ( mathbf {h}) + Phi ( mathbf {h}) cdot Vert mathbf {h} Vert}$

pro nenulovou h dostatečně blízko 0. V tomto případě, M je jedinečný derivát (nebo celková derivace, odlišit od směrový a částečné derivace ) z F na A. Zejména, M je dán Jacobian matrix z F hodnoceno na A.

Viz také

• Zevšeobecnění derivátu

Reference

• Talman, Louis (12.9.2007). „Diferencovatelnost pro funkce s více proměnnými“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 2010-06-20. Citováno 2012-06-28.
• Stewart, James (2008). Počet (7. vydání). Cengage Learning. str. 942. ISBN  0538498846.