Odvození rovnic Navier-Stokes - Derivation of the Navier–Stokes equations

Záměrem tohoto článku je zdůraznit důležité body odvození Navier-Stokesovy rovnice stejně jako jeho aplikace a formulace pro různé rodiny tekutiny.

Základní předpoklady

Navier-Stokesovy rovnice jsou založeny na předpokladu, že tekutina v zájmové stupnici je a kontinuum - spíše spojitá látka než jednotlivé částice. Dalším nezbytným předpokladem je, že všechny pole zájmu včetně tlak, rychlost proudění, hustota, a teplota jsou rozlišitelný, alespoň slabě.

Rovnice jsou odvozeny ze základních principů kontinuita hmoty, hybnost, a energie. Někdy je nutné vzít v úvahu konečný libovolný objem zvaný a ovládání hlasitosti, na které lze tyto principy aplikovat. Tento konečný objem je označen $Ω$ a jeho ohraničující povrch $\partialΩ$ . Ovládací objem může zůstat fixovaný v prostoru nebo se může pohybovat s kapalinou.

Materiálový derivát

Změny vlastností pohybující se kapaliny lze měřit dvěma různými způsoby. Jeden může měřit danou vlastnost buď provedením měření na pevném bodě v prostoru, když projdou částice tekutiny, nebo sledováním části tekutiny podél jejího usměrnit. Derivaci pole vzhledem k pevné poloze v prostoru nazýváme Eulerian derivát, zatímco derivát následující po pohybující se zásilce se nazývá advective nebo materiál (nebo Lagrangian^[1]) derivát.

Materiálový derivát je definován jako nelineární operátor:

{ displaystyle { frac {D} {Dt}} { stackrel { mathrm {def}} {=}} { frac { částečné} { částečné t}} + mathbf {u} cdot nabla}

kde $u$ je rychlost proudění. První člen na pravé straně rovnice je obyčejná Eulerianova derivace (derivace na pevném referenčním rámci, představující změny v bodě vzhledem k času), zatímco druhý člen představuje změny veličiny vzhledem k poloze ( vidět advekce ). Tato „speciální“ derivace je ve skutečnosti obyčejná derivace funkce mnoha proměnných podél dráhy sledující pohyb tekutiny; lze jej odvodit použitím aplikace řetězové pravidlo ve kterém jsou všechny nezávislé proměnné kontrolovány na změnu podél cesty (tj. celková derivace ).

Například měření změn rychlosti větru v atmosféra lze získat pomocí anemometr na meteorologické stanici nebo pozorováním pohybu meteorologického balónu. Anemometr v prvním případě měří rychlost všech pohybujících se částic procházejících pevným bodem v prostoru, zatímco ve druhém případě přístroj měří změny rychlosti, jak se pohybuje s tokem.

Rovnice spojitosti

Navier-Stokesova rovnice je zvláštní rovnice spojitosti. Rovnici kontinuity lze odvodit z principy ochrany z:

A rovnice spojitosti (nebo zákon o ochraně přírody ) je integrální vztah o tom, že rychlost změny nějakého integrovaného majetku $φ$ definováno přes kontrolní objem $Ω$ se musí rovnat částce, která je ztracena nebo získána přes hranice $Γ$ objemu plus toho, co je vytvořeno nebo spotřebováno zdroji a ponoří se do svazku. To je vyjádřeno následující integrální rovnicí kontinuity:

{ displaystyle { frac {d} {dt}} int _ { Omega} phi d Omega = - int _ { Gamma} phi mathbf {u cdot n} d Gamma - int _ { Omega} s d Omega}

kde $u$ je rychlost proudění tekutiny, $n$ je ven směřující jednotka normální vektor, a $s$ představuje zdroje a jímky v toku, přičemž jímky jsou kladné.

The věta o divergenci lze použít na povrchový integrál, mění se na objemový integrál:

{ displaystyle { frac {d} {dt}} int _ { Omega} phi d Omega = - int _ { Omega} nabla cdot ( phi mathbf {u}) d Omega - int _ { Omega} s d Omega.}

Uplatnění Reynoldsova věta o transportu na integrál nalevo a poté zkombinovat všechny integrály:

{ displaystyle int _ { Omega} { frac { částečné phi} { částečné t}} d Omega = - int _ { Omega} nabla cdot ( phi mathbf {u} ) d Omega - int _ { Omega} s d Omega quad Rightarrow quad int _ { Omega} left ({ frac { částečné phi} { částečné t}} + nabla cdot ( phi mathbf {u}) + s vpravo) d Omega = 0.}

Integrál musí být nula pro žádný hlasitost ovládání; to může být pravda pouze v případě, že samotné integrand je nula, takže:

{ displaystyle { frac { částečné phi} { částečné t}} + nabla cdot ( phi mathbf {u}) + s = 0.}

Z tohoto cenného vztahu (velmi obecný rovnice spojitosti ) lze stručně napsat tři důležité pojmy: zachování hmotnosti, zachování hybnosti a zachování energie. Platnost je zachována, pokud $φ$ je vektor, v takovém případě bude vektor-vektorový produkt ve druhém členu a dyad.

Zachování hybnosti

Obecná rovnice hybnosti se získá, když se na hybnost použije ochranný vztah. Když intenzivní vlastnost $φ$ je považován za hromadný tok (taky hustota hybnosti), tj. produkt hustota hmoty a rychlost proudění $ρ u$ , dosazením do obecné rovnice kontinua:

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} ( rho mathbf {u}) + nabla cdot ( rho mathbf {u} otimes mathbf {u}) = mathbf { s}}

kde $u \otimes u$ je dyad, speciální případ tenzorový produkt, což má za následek tenzor druhé úrovně; the divergence tenzoru druhé řady je opět vektor (tenzor první řady).^[2]

Pomocí vzorce pro divergenci dyadu

{ displaystyle nabla cdot ( mathbf {a} otimes mathbf {b}) = ( nabla cdot mathbf {a}) mathbf {b} + mathbf {a} cdot nabla mathbf {b}}

pak máme

{ displaystyle mathbf {u} { frac { částečné rho} { částečné t}} + rho { frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}} + mathbf {u} mathbf {u} cdot nabla rho + rho mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} + rho mathbf {u} nabla cdot mathbf {u} = mathbf {s }}

Všimněte si, že spád vektoru je speciální případ kovarianční derivace Výsledkem operace jsou tenzory druhé úrovně;^[2] kromě kartézských souřadnic je důležité si uvědomit, že nejde pouze o přechod prvku po prvku. Přeskupit a rozpoznat to $u \cdot \nabla ρ + ρ \nabla \cdot u = \nabla \cdot (ρ u)$ :

{ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {u} left ({ frac { částečné rho} { částečné t}} + mathbf {u} cdot nabla rho + rho nabla cdot mathbf {u} right) + rho left ({ frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} vpravo ) & = mathbf {s} [6px] mathbf {u} left ({ frac { částečné rho} { částečné t}} + nabla cdot ( rho mathbf {u}) right) + rho left ({ frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} right) & = mathbf { s} end {zarovnáno}}}

Levý výraz uzavřený v závorkách je hromadnou kontinuitou (zobrazenou v okamžiku) roven nule. Všimněte si, že to, co zůstává na levé straně rovnice, je materiální derivace rychlosti proudění:

{ displaystyle rho { frac {D mathbf {u}} {Dt}} = rho left ({ frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} right) = mathbf {s}}

To se zdá být jednoduše výrazem Newtonův druhý zákon ( $F = m A$ ) ve smyslu tělesné síly místo bodových sil. Každý člen v každém případě rovnice Navier-Stokes je tělesná síla. Kratší, i když méně přísný způsob, jak dosáhnout tohoto výsledku, by bylo použití řetězové pravidlo k zrychlení:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} rho { frac {d} {dt}} { bigl (} mathbf {u} (x, y, z, t) { bigr)} = mathbf {s } quad & Rightarrow & rho left ({ frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}} + { frac { částečné mathbf {u}} { částečné x}} { frac {dx} {dt}} + { frac { částečné mathbf {u}} { částečné y}} { frac {dy} {dt}} + { frac { částečné mathbf {u} } { částečné z}} { frac {dz} {dt}} doprava) & = mathbf {s} quad & Rightarrow & rho left ({ frac { částečné mathbf {u }} { částečné t}} + u { frac { částečné mathbf {u}} { částečné x}} + v { frac { částečné mathbf {u}} { částečné y}} + w { frac { částečné mathbf {u}} { částečné z}} vpravo) & = mathbf {s} quad & Rightarrow & rho left ({ frac { částečné mathbf { u}} { částečné t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} right) & = mathbf {s} end {zarovnáno}}}

kde $u = (u, proti, w)$ . Důvod, proč je to „méně přísné“, je ten, že jsme neprokázali, že volba

{ displaystyle mathbf {u} = left ({ frac {dx} {dt}}, { frac {dy} {dt}}, { frac {dz} {dt}} right)}

je správně; to však dává smysl, protože s touto volbou cesty derivace „sleduje“ tekutou „částici“ a aby pro Newtonův druhý zákon do práce musí být síly sečteny po částice. Z tohoto důvodu konvektivní derivát je také známý jako derivát částic.

Zachování hmoty

Lze také uvažovat o mši. Když intenzivní vlastnost $φ$ je považována za hmotnost nahrazením do obecné rovnice kontinua a braním $s = 0$ (žádné zdroje nebo jímky hmoty):

{ displaystyle { frac { částečné rho} { částečné t}} + nabla cdot ( rho mathbf {u}) = 0}

kde $ρ$ je hustota hmoty (hmotnost na jednotku objemu) a $u$ je rychlost proudění. Tato rovnice se nazývá rovnice hromadné kontinuitynebo jednoduše the rovnice spojitosti. Tato rovnice obecně doprovází Navier-Stokesovu rovnici.

V případě nestlačitelná tekutina, $Dρ / Dt = 0$ (hustota po dráze prvku tekutiny je konstantní) a rovnice se redukuje na:

{ displaystyle nabla cdot mathbf {u} = 0}

což je ve skutečnosti prohlášení o zachování objemu.

Cauchyho rovnice hybnosti

Obecná hustota zdroje hybnosti $s$ vidět dříve je konkretizováno nejprve rozdělením na dva nové termíny, jeden pro popis vnitřních napětí a druhý pro vnější síly, jako je gravitace. Zkoumáním sil působících na malou krychli v tekutině lze ukázat, že

{ displaystyle rho { frac {D mathbf {u}} {Dt}} = nabla cdot { boldsymbol { sigma}} + mathbf {f}}

kde $σ$ je Cauchyho tenzor napětí, a $F$ účty za přítomné síly těla. Tato rovnice se nazývá Cauchyho rovnice hybnosti a popisuje nerelativistické zachování hybnosti žádný kontinuum, které zachovává hmotu. $σ$ je symetrický tenzor druhé úrovně daný jeho kovariančními složkami. V ortogonálních souřadnicích ve třech rozměrech je reprezentován jako 3 × 3 matice:

{ displaystyle sigma _ {ij} = { start {pmatrix} sigma _ {xx} & tau _ {xy} & tau _ {xz} tau _ {yx} & sigma _ {yy } & tau _ {yz} tau _ {zx} & tau _ {zy} & sigma _ {zz} end {pmatrix}}}

Kde $σ$ jsou normální napětí a $τ$ smykové napětí. Tato matice je rozdělena do dvou termínů:

{ displaystyle sigma _ {ij} = { start {pmatrix} sigma _ {xx} & tau _ {xy} & tau _ {xz} tau _ {yx} & sigma _ {yy } & tau _ {yz} tau _ {zx} & tau _ {zy} & sigma _ {zz} end {pmatrix}} = - { begin {pmatrix} p & 0 & 0 0 & p & 0 0 a 0 & p end {pmatrix}} + { begin {pmatrix} sigma _ {xx} + p & tau _ {xy} & tau _ {xz} tau _ {yx} & sigma _ {yy} + p & tau _ {yz} tau _ {zx} & tau _ {zy} & sigma _ {zz} + p end {pmatrix}} = - p mathbf {I} + { boldsymbol { tau}}}

kde $Já$ je 3 × 3 matice identity a $τ$ je deviátorový tenzor napětí. Všimněte si, že mechanické tlak $str$ se rovná mínus střední normální napětí:^[3]

{ displaystyle p = - { tfrac {1} {3}} vlevo ( sigma _ {xx} + sigma _ {yy} + sigma _ {zz} vpravo).}

Motivací k tomu je to, že tlak je obvykle zajímavá proměnná, což také později zjednodušuje aplikaci na konkrétní rodiny tekutin, protože tenzor zcela vpravo $τ$ ve výše uvedené rovnici musí být nula pro kapalinu v klidu. Všimněte si, že $τ$ je bez stopy. Cauchyova rovnice může být nyní napsána v jiné explicitnější formě:

{ displaystyle rho { frac {D mathbf {u}} {Dt}} = - nabla p + nabla cdot { boldsymbol { tau}} + mathbf {f}}

Tato rovnice je stále neúplná. Pro dokončení je třeba učinit hypotézy o formách $τ$ a $str$ , to znamená, že je třeba konstitutivní zákon pro tenzor napětí, který lze získat pro specifické rodiny tekutin a pro tlak. Některé z těchto hypotéz vedou k Eulerovy rovnice (dynamika tekutin), další vedou k Navier-Stokesovým rovnicím. Navíc, pokud je tok považován za stlačitelný, bude vyžadována stavová rovnice, což bude pravděpodobně dále vyžadovat zachování formulace energie.

Aplikace na různé kapaliny

Obecná forma pohybových rovnic není „připravena k použití“, tenzor napětí je stále neznámý, takže je zapotřebí více informací; tato informace je obvykle nějaká znalost viskózního chování tekutiny. U různých typů proudění tekutin to vede ke konkrétním formám Navier-Stokesových rovnic.

Newtonova tekutina

Stlačitelná newtonovská tekutina

Formulace pro newtonovské tekutiny vychází z pozorování provedeného Newton že pro většinu tekutin

{ displaystyle tau propto { frac { částečné u} { částečné y}}}

Aby to bylo možné použít na rovnice Navier-Stokes, vytvořil Stokes tři předpoklady:

Tenzor napětí je lineární funkcí tenzor rychlosti deformace nebo ekvivalentně gradient rychlosti.
Kapalina je izotropní.
Pro tekutinu v klidu $\nabla \cdot τ$ musí být nula (aby hydrostatický tlak Výsledek).

Výše uvedený seznam uvádí klasický argument^[4] že tenzor rychlosti smykové deformace ((symetrická) smyková část gradientu rychlosti) je čistý smykový tenzor a neobsahuje žádnou část přítoku / odtoku (jakoukoli část komprese / expanze). To znamená, že jeho stopa je nulová, a toho je dosaženo odečtením $\nabla \cdot u$ symetrickým způsobem od diagonálních prvků tenzoru. Příspěvek v tlaku na viskózní napětí je přidán jako samostatný diagonální tenzor.

Uplatnění těchto předpokladů povede k:

{ displaystyle tau = mu left ( nabla mathbf {u} + left ( nabla mathbf {u} right) ^ { mathsf {T}} right) + lambda left ( nabla cdot mathbf {u} vpravo) mathbf {I}}

nebo v tenzorové formě

{ displaystyle tau _ {ij} = mu left ({ frac { částečné u_ {i}} { částečné x_ {j}}} + { frac { částečné u_ {j}} { částečné x_ {i}}} vpravo) + delta _ {ij} lambda { frac { částečné u_ {k}} { částečné x_ {k}}}}

To znamená, že deviátor tenzoru rychlosti deformace je identifikován deviátorem tenzoru napětí, a to až do faktoru $μ$ .^[5]

$δ ij$ je Kroneckerova delta. $μ$ a $λ$ jsou konstanty proporcionality spojené s předpokladem, že napětí lineárně závisí na přetvoření; $μ$ se nazývá první koeficient viskozita nebo smyková viskozita (obvykle jen nazývaná "viskozita") a $λ$ je druhý koeficient viskozity nebo objemová viskozita (a to souvisí s objemová viskozita ). Hodnota $λ$ , který vytváří viskózní účinek spojený se změnou objemu, je velmi obtížné určit, dokonce ani jeho označení není známo s absolutní jistotou. I ve stlačitelných tocích jde o termín zahrnující $λ$ je často zanedbatelný; nicméně to může být občas důležité i v téměř nestlačitelných tocích a je předmětem diskuse. Když se vezme nenulová, nejběžnější aproximace je $λ \approx - 2 / 3 μ$ .^[6]

Přímé nahrazení $τ ij$ do rovnice zachování hybnosti přinese Navier-Stokesovy rovnice, popisující stlačitelnou newtonovskou tekutinu:

{ displaystyle rho left ({ frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} vpravo) = - nabla p + nabla cdot left [ mu left ( nabla mathbf {u} + left ( nabla mathbf {u} right) ^ { mathsf {T}} right) right] + nabla cdot left [ lambda left ( nabla cdot mathbf {u} right) mathbf {I} right] + rho mathbf {g}}

Síla těla byla rozložena na hustotu a vnější zrychlení, tj. $F = ρ G$ . Přidružená rovnice hromadné kontinuity je:

{ displaystyle { frac { částečné rho} { částečné t}} + nabla cdot ( rho mathbf {u}) = 0}

Kromě této rovnice, an stavová rovnice a je zapotřebí rovnice pro zachování energie. Stavová rovnice, která se má použít, závisí na kontextu (často zákon o ideálním plynu ), bude úspora energie znít:

{ displaystyle rho { frac {Dh} {Dt}} = { frac {Dp} {Dt}} + nabla cdot (k nabla T) + Phi}

Tady, $h$ je specifická entalpie, $T$ je teplota, a $Φ$ je funkce představující rozptyl energie v důsledku viskózních účinků:

{ displaystyle Phi = mu vlevo (2 vlevo ({ frac { částečné u} { částečné x}} pravé) ^ {2} +2 vlevo ({ frac { částečné v} { částečné y}} pravé) ^ {2} +2 levé ({ frac { částečné w} { částečné z}} pravé) ^ {2} + levé ({ frac { částečné v} { částečné x}} + { frac { částečné u} { částečné y}} pravé) ^ {2} + levé ({ frac { částečné w} { částečné y}} + { frac { částečné v} { částečné z}} pravé) ^ {2} + levé ({ frac { částečné u} { částečné z}} + { frac { částečné w} { částečné x} } right) ^ {2} right) + lambda ( nabla cdot mathbf {u}) ^ {2}.}

S dobrou stavovou rovnicí a dobrými funkcemi pro závislost parametrů (například viskozity) na proměnných se zdá, že tento systém rovnic správně modeluje dynamiku všech známých plynů a většiny kapalin.

Nestlačitelná newtonovská tekutina

Pro speciální (ale velmi běžný) případ nestlačitelného proudění se hybné rovnice výrazně zjednodušují. Pomocí následujících předpokladů:

Viskozita $μ$ nyní bude konstanta
Druhý účinek viskozity $λ = 0$
Zjednodušená rovnice hromadné kontinuity $\nabla \cdot u = 0$

To dává nestlačitelné Navierovy Stokesovy rovnice, popisující nestlačitelnou newtonovskou tekutinu:

{ displaystyle rho left ({ frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} vpravo) = - nabla p + nabla cdot left [ mu left ( nabla mathbf {u} + left ( nabla mathbf {u} right) ^ { mathsf {T}} right) right] + rho mathbf {g}}

poté se podíváme na viskózní podmínky $X$ hybnost rovnice například máme:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} & { frac { částečné} { částečné x}} vlevo (2 mu { frac { částečné u} { částečné x}} vpravo) + { frac { částečné} { částečné y}} levé ( mu levé ({ frac { částečné u} { částečné y}} + { frac { částečné v} { částečné x}} pravé) right) + { frac { částečné} { částečné z}} doleva ( mu left ({ frac { částečné u} { částečné z}} + { frac { částečné w} { částečné x}} pravé) pravé) [8px] & qquad = 2 mu { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2}}} + mu { frac { částečné ^ {2} u} { částečné y ^ {2}}} + mu { frac { částečné ^ {2} v} { částečné y , částečné x}} + mu { frac { částečné ^ {2} u} { částečné z ^ {2}}} + mu { frac { částečné ^ {2} w} { částečné z , částečné x}} [8px ] & qquad = mu { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2}}} + mu { frac { částečné ^ {2} u} { částečné y ^ { 2}}} + mu { frac { částečné ^ {2} u} { částečné z ^ {2}}} + mu { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ { 2}}} + mu { frac { částečné ^ {2} v} { částečné y , částečné x}} + mu { frac { částečné ^ {2} w} { částečné z , částečné x}} [8px] & qquad = mu nabla ^ {2} u + mu { frac { částečné} { částečné x}} { zrušení lto {0} { left ({ frac { částečné u} { částečné x}} + { frac { částečné v} { částečné y}} + { frac { částečné w} { částečné z }} right)}} [8px] & qquad = mu nabla ^ {2} u end {zarovnáno}} ,}

Podobně pro $y$ a $z$ směry hybnosti máme $μ \nabla 2 proti$ a $μ \nabla 2 w$ .

Výše uvedené řešení je klíčem k odvození Navier-Stokesovy rovnice z pohybové rovnice v dynamice tekutin, když jsou hustota a viskozita konstantní.

Nenewtonské tekutiny

Nenewtonská tekutina je a tekutina jejichž tokové vlastnosti se jakýmkoli způsobem liší od vlastností toku Newtonovské tekutiny. Nejčastěji viskozita nenewtonských tekutin je funkcí smyková rychlost nebo historie smykové rychlosti. Existují však některé nenewtonské tekutiny s viskozitou nezávislou na smyku, které přesto vykazují normální rozdíly napětí nebo jiné nenewtonovské chování. Mnoho sůl roztoky a roztavené polymery jsou nenewtonovské tekutiny, stejně jako mnoho běžně používaných látek, jako jsou kečup, pudink, zubní pasta suspenze škrobu, malovat, krev, a šampon. V newtonovské tekutině je vztah mezi smykové napětí a smyková rychlost je lineární, prochází počátkem, konstanta proporcionality je koeficient viskozity. V nenewtonovské tekutině je vztah mezi smykovým napětím a smykovou rychlostí odlišný a může být dokonce časově závislý. Studium nenewtonských tekutin se obvykle nazývá reologie. Zde je uvedeno několik příkladů.

Binghamská tekutina

U Binghamových tekutin je situace mírně odlišná:

{ displaystyle { frac { částečné u} { částečné y}} = { začátek {případů} 0, & tau < tau _ {0} [5px] { dfrac { tau - tau _ {0}} { mu}}, & tau geq tau _ {0} end {cases}}}

Jedná se o kapaliny schopné nést určitý střih, než začnou proudit. Některé běžné příklady jsou zubní pasta a jíl.

Tekutina zákonu moci

Tekutina zákona o moci je idealizovaná tekutina pro které smykové napětí, $τ$ , darováno

{ displaystyle tau = K vlevo ({ frac { částečné u} { částečné y}} pravé) ^ {n}}

Tato forma je užitečná pro aproximaci všech druhů běžných tekutin, včetně smykového ředění (jako je latexová barva) a smykového zahušťování (jako je směs vody s kukuřičným škrobem).

Formulace funkce proudu

Při analýze toku je často žádoucí snížit počet rovnic a / nebo počet proměnných. Nestlačitelnou Navier-Stokesovu rovnici s hromadnou kontinuitou (čtyři rovnice ve čtyřech neznámých) lze redukovat na jedinou rovnici s jedinou závislou proměnnou ve 2D nebo jednu vektorovou rovnici ve 3D. To je umožněno dvěma vektorové identity kalkulu:

{ displaystyle { begin {aligned} nabla times ( nabla phi) & = 0 nabla cdot ( nabla times mathbf {A}) & = 0 end {aligned}}}

pro jakýkoli diferencovatelný skalár $φ$ a vektor $A$ . První identita znamená, že jakýkoli člen v rovnici Navier-Stokes, který může být reprezentován jako gradient skaláru, zmizí, když kučera rovnice je vzata. Obvykle tlak $str$ a vnější zrychlení $G$ budou odstraněny, což bude mít za následek (to platí pro 2D i 3D):

{ displaystyle nabla times left ({ frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} vpravo) = nu nabla times left ( nabla ^ {2} mathbf {u} right)}

kde se předpokládá, že všechny síly těla lze popsat jako přechody (například to platí pro gravitaci) a hustota byla rozdělena tak, aby se viskozita stala kinematická viskozita.

Druhá identita vektorového počtu výše uvádí, že divergence zvlnění vektorového pole je nulová. Vzhledem k tomu, že (nestlačitelná) rovnice kontinuity hmoty specifikuje nulovou divergenci rychlosti proudění, můžeme rychlost proudění nahradit zvlněním nějakého vektoru $ψ$ takže je kontinuita masové kontinuity vždy uspokojena:

{ displaystyle nabla cdot mathbf {u} = 0 quad Rightarrow quad nabla cdot ( nabla times { boldsymbol { psi}}) = 0 quad Rightarrow quad 0 = 0}

Dokud je rychlost proudění reprezentována prostřednictvím $u = \nabla \times ψ$ , hromadná kontinuita je bezpodmínečně uspokojena. S touto novou závislou vektorovou proměnnou se Navierova-Stokesova rovnice (se zvlněním, jak je uvedeno výše) stává jedinou vektorovou rovnicí čtvrtého řádu, již neobsahuje neznámou proměnnou tlaku a již nezávisí na samostatné rovnici hmotnostní kontinuity:

{ displaystyle nabla times left ({ frac { částečné} { částečné t}} ( nabla times { boldsymbol { psi}}) + ( nabla times { boldsymbol { psi} }) cdot nabla ( nabla times { boldsymbol { psi}}) right) = nu nabla times left ( nabla ^ {2} ( nabla times { boldsymbol { psi }})že jo)}

Kromě toho, že obsahuje deriváty čtvrtého řádu, je tato rovnice poměrně komplikovaná a je tedy neobvyklá. Všimněte si, že pokud je křížová diferenciace vynechána, výsledkem je vektorová rovnice třetího řádu obsahující neznámé vektorové pole (gradient tlaku), které lze určit ze stejných okrajových podmínek, jaké by platily pro výše uvedenou rovnici čtvrtého řádu.

2D tok v ortogonálních souřadnicích

Skutečná užitečnost této formulace je vidět, když má tok dvourozměrný charakter a rovnice je napsána obecně ortogonální souřadnicový systém jinými slovy systém, kde jsou základní vektory ortogonální. Všimněte si, že to v žádném případě neomezuje použití Kartézské souřadnice, ve skutečnosti je většina běžných souřadnicových systémů ortogonální, včetně známých válcovitý a temné jako toroidní.

Rychlost 3D proudění je vyjádřena jako (všimněte si, že diskuse dosud nepoužívá souřadnice):

{ displaystyle mathbf {u} = u_ {1} mathbf {e} _ {1} + u_ {2} mathbf {e} _ {2} + u_ {3} mathbf {e} _ {3} }

kde $E i$ jsou základní vektory, které nemusí být nutně konstantní a nemusí být nutně normalizované, a $u i$ jsou složky rychlosti proudění; nechť jsou také souřadnice prostoru $(X 1, X 2, X 3)$ .

Nyní předpokládejme, že tok je 2D. To neznamená, že tok je v rovině, spíše to znamená, že složka rychlosti proudění v jednom směru je nulová a zbývající složky jsou nezávislé na stejném směru. V takovém případě (považujte komponentu 3 za nulovou):

{ displaystyle mathbf {u} = u_ {1} mathbf {e} _ {1} + u_ {2} mathbf {e} _ {2}; qquad { frac { částečný u_ {1}} { částečné x_ {3}}} = { frac { částečné u_ {2}} { částečné x_ {3}}} = 0}

Vektorová funkce $ψ$ je stále definováno pomocí:

{ displaystyle mathbf {u} = nabla krát { boldsymbol { psi}}}

ale to se musí nějakým způsobem zjednodušit, protože tok je považován za 2D. Pokud se předpokládají ortogonální souřadnice, kučera nabývá poměrně jednoduché formy a výše uvedená rovnice se rozšíří na:

{ displaystyle u_ {1} mathbf {e} _ {1} + u_ {2} mathbf {e} _ {2} = { frac { mathbf {e} _ {1}} {h_ {2} h_ {3}}} vlevo [{ frac { částečné} { částečné x_ {2}}} vlevo (h_ {3} psi _ {3} vpravo) - { frac { částečné} { částečné x_ {3}}} vlevo (h_ {2} psi _ {2} vpravo) vpravo] + { frac { mathbf {e} _ {2}} {h_ {3} h_ {1 }}} left [{ frac { částečné} { částečné x_ {3}}} vlevo (h_ {1} psi _ {1} vpravo) - { frac { částečné} { částečné x_ {1}}} left (h_ {3} psi _ {3} right) right] + { frac { mathbf {e} _ {3}} {h_ {1} h_ {2}}} left [{ frac { částečné} { částečné x_ {1}}} vlevo (h_ {2} psi _ {2} vpravo) - { frac { částečné} { částečné x_ {2} }} left (h_ {1} psi _ {1} right) right]}

Zkoumání této rovnice ukazuje, že můžeme nastavit $ψ 1 = ψ 2 = 0$ a zachovat rovnost bez ztráty obecnosti, aby:

{ displaystyle u_ {1} mathbf {e} _ {1} + u_ {2} mathbf {e} _ {2} = { frac { mathbf {e} _ {1}} {h_ {2} h_ {3}}} { frac { částečné} { částečné x_ {2}}} vlevo (h_ {3} psi _ {3} vpravo) - { frac { mathbf {e} _ { 2}} {h_ {3} h_ {1}}} { frac { částečné} { částečné x_ {1}}} vlevo (h_ {3} psi _ {3} vpravo)}

význam zde je, že pouze jedna složka $ψ$ zůstává, takže 2D tok se stává problémem pouze s jednou závislou proměnnou. Křížově diferencovaná Navier-Stokesova rovnice se stává dvěma $0 = 0$ rovnice a jedna smysluplná rovnice.

Zbývající součást $ψ 3 = ψ$ se nazývá funkce streamu. Rovnice pro $ψ$ lze zjednodušit, protože různé množství se nyní bude rovnat nule, například:

{ displaystyle nabla cdot { boldsymbol { psi}} = { frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} { frac { částečný} { částečný x_ {3 }}} vlevo ( psi h_ {1} h_ {2} vpravo) = 0}

pokud měřítkové faktory $h 1$ a $h 2$ jsou také nezávislé na $X 3$ . Také z definice vektor Laplacian

{ displaystyle nabla times ( nabla times { boldsymbol { psi}}) = nabla ( nabla cdot { boldsymbol { psi}}) - nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} = - nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}}}

Manipulace s křížově diferencovanou Navier-Stokesovou rovnicí pomocí výše uvedených dvou rovnic a různých identit^[7] nakonec získá 1D skalární rovnici pro funkci proudu:

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} doleva ( nabla ^ {2} psi doprava) + ( nabla krát { boldsymbol { psi}}) cdot nabla left ( nabla ^ {2} psi right) = nu nabla ^ {4} psi}

kde $\nabla 4$ je biharmonický operátor. To je velmi užitečné, protože jde o jedinou samostatnou skalární rovnici, která popisuje zachování hybnosti i hmotnosti ve 2D. Jediné další rovnice, které toto parciální diferenciální rovnice potřebami jsou počáteční a okrajové podmínky.

Odvození rovnice funkce skalárního proudu

Distribuce kučera:

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} ( nabla times ( nabla times { boldsymbol { psi}})) + nabla times { bigl (} ( nabla krát { boldsymbol { psi}}) cdot nabla ( nabla times { boldsymbol { psi}}) { bigr)} = nu nabla times left ( nabla ^ {2} ( nabla times { boldsymbol { psi}}) vpravo)}

Nahrazení zvlnění zvlnění Laplacianem a rozšíření konvekce a viskozity:

{ displaystyle - { frac { částečné} { částečné t}} doleva ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} doprava) + nabla krát doleva ( nabla doleva ( { frac {( nabla times { boldsymbol { psi}}) cdot ( nabla times { boldsymbol { psi}})} {2}} vpravo) + doleva ( nabla krát ( nabla times { boldsymbol { psi}}) right) times ( nabla times { boldsymbol { psi}}) right) = nu left ( nabla ^ {2} ( nabla ( nabla cdot { boldsymbol { psi}})) - nabla ^ {4} { boldsymbol { psi}} vpravo)}

Nahoře je zvlnění přechodu nula a divergence $ψ$ je nula. Negace:

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} doleva ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} doprava) + nabla krát doleva ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} times ( nabla times { boldsymbol { psi}}) right) = nu nabla ^ {4} { boldsymbol { psi}}}

Rozšíření zvlnění křížového produktu do čtyř výrazů:

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} vlevo ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} vpravo) + ( nabla krát { boldsymbol { psi}} ) cdot nabla left ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) - left ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) cdot nabla ( nabla times { boldsymbol { psi}}) + left ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) ( nabla cdot ( nabla times { boldsymbol { psi}})) - - ( nabla times { boldsymbol { psi}}) left ( nabla cdot left ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) right) = nu nabla ^ {4} { boldsymbol { psi}}}

Pouze jeden ze čtyř výrazů rozšířeného zvlnění je nenulový. Druhá je nula, protože se jedná o bodový produkt ortogonálních vektorů, třetí je nula, protože obsahuje divergenci rychlosti proudění, a čtvrtá je nula, protože divergence vektoru pouze se složkou tři je nula (protože se předpokládá, že nic (kromě možná $h 3$ ) závisí na třetí složce).

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} vlevo ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} vpravo) + ( nabla krát { boldsymbol { psi}} ) cdot nabla left ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) = nu nabla ^ {4} { boldsymbol { psi}}}

Tato vektorová rovnice je jedna smysluplná skalární rovnice a dvě $0 = 0$ rovnice.

Předpoklady pro rovnici funkce proudu jsou:

Tok je nestlačitelný a newtonovský.
Souřadnice jsou ortogonální.
Průtok je 2D: $u 3 = \partial u 1 / \partial X 3 = \partial u 2 / \partial X 3 = 0$
První dva měřítkové faktory souřadnicového systému jsou nezávislé na poslední souřadnici: $\partial h 1 / \partial X 3 = \partial h 2 / \partial X 3 = 0$ , jinak se objeví další výrazy.

The funkce streamu má některé užitečné vlastnosti:

Od té doby $-\nabla 2 ψ = \nabla \times (\nabla \times ψ) = \nabla \times u$ , vířivost toku je pouze záporem Laplacian funkce toku.
The křivky úrovně funkce streamu jsou zefektivňuje.

Tenzor napětí

Odvození Navier-Stokesovy rovnice zahrnuje uvažování sil působících na tekuté prvky, takže veličina se nazývá tenzor napětí se přirozeně objevuje v Cauchyho rovnice hybnosti. Jelikož se vezme divergence tohoto tenzoru, je obvyklé psát rovnici plně zjednodušenou, takže se původní vzhled tenzoru napětí ztratí.

Tenzor napětí však stále má některá důležitá použití, zejména při formulování okrajových podmínek v tekutinová rozhraní. Připomínaje to $σ = - str Já + τ$ , pro newtonovskou tekutinu je tenzor napětí:

{ displaystyle sigma _ {ij} = - p delta _ {ij} + mu vlevo ({ frac { částečné u_ {i}} { částečné x_ {j}}} + { frac { částečné u_ {j}} { částečné x_ {i}}} pravé) + delta _ {ij} lambda nabla cdot mathbf {u}.}

Pokud se tekutina považuje za nestlačitelnou, tenzor se výrazně zjednoduší. Například ve 3D kartézských souřadnicích:

{ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol { sigma}} & = - { begin {pmatrix} p & 0 & 0 0 & p & 0 0 & 0 & p end {pmatrix}} + mu { begin {pmatrix} 2 displaystyle { frac { částečné u} { částečné x}} & displaystyle {{ frac { částečné u} { částečné y}} + { frac { částečné v} { částečné x}}} & displaystyle {{ frac { částečné u} { částečné z}} + { frac { částečné w} { částečné x}}} displaystyle {{ frac { částečné v} { částečné x }} + { frac { částečné u} { částečné y}}} & 2 displaystyle { frac { částečné v} { částečné y}} & displaystyle {{ frac { částečné v} { částečné z}} + { frac { částečné w} { částečné y}}} displaystyle {{ frac { částečné w} { částečné x}} + { frac { částečné u} { částečné z}}} & displaystyle {{ frac { částečné w} { částečné y}} + { frac { částečné v} { částečné z}}} & 2 displaystyle { frac { částečné w} { částečné z}} konec {pmatrix}} [6px] & = - p mathbf {I} + mu left ( nabla mathbf {u} + left ( nabla mathbf {u} vpravo) ^ { mathsf {T}} vpravo) [6px] & = - p mathbf {I} +2 mu mathbf {e} end {zarovnáno}}}

$E$ je rychlost deformace tenzor, podle definice:

{ displaystyle e_ {ij} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné u_ {i}} { částečné x_ {j}}} + { frac { částečné u_ { j}} { částečné x_ {i}}} vpravo).}

Reference

^ Munson, Bruce R. (2013). Základy mechaniky tekutin (7. vydání). Jefferson City: John Wiley and Sons.^{[stránka potřebná ]}
^ ^A ^b Lebedev, Leonid P. (2003). Analýza tenzoru. World Scientific. ISBN 981-238-360-3.
^ Batchelor 2000, str. 141.
^ Morse, P. M .; Ingard, K.U. (1968). Teoretická akustika. Princeton University Press.
^ Landau; Lifshitz. Mechanika tekutin. Kurz teoretické fyziky. 6 (2. vyd.). p. 45.
^ Batchelor 2000, str. 144.
^ Eric W. Weisstein. „Vektorová derivace“. MathWorld. Citováno 7. června 2008.

Batchelor, G. K. (2000). Úvod do dynamiky tekutin. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
White, Frank M. (2006). Tok viskózní kapaliny (3. vyd.). New York: McGraw Hill. ISBN 0-07-240231-8.
Modul povrchového napětí, autorem John W. M. Bush, v MIT OCW
Galdi, Úvod do matematické teorie rovnic Navier-Stokes: Problémy ustáleného stavu. Springer 2011

[1] Munson, Bruce R. (2013). Základy mechaniky tekutin (7. vydání). Jefferson City: John Wiley and Sons.^{[stránka potřebná ]}

[TA-2] A ^b Lebedev, Leonid P. (2003). Analýza tenzoru. World Scientific. ISBN 981-238-360-3.

[FOOTNOTEBatchelor2000141-3] Batchelor 2000, str. 141.

[4] Morse, P. M .; Ingard, K.U. (1968). Teoretická akustika. Princeton University Press.

[5] Landau; Lifshitz. Mechanika tekutin. Kurz teoretické fyziky. 6 (2. vyd.). p. 45.

[FOOTNOTEBatchelor2000144-6] Batchelor 2000, str. 144.

[7] Eric W. Weisstein. „Vektorová derivace“. MathWorld. Citováno 7. června 2008.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]