De Brangesova věta - de Brangess theorem - Wikipedia

v komplexní analýza, de Brangesova věta, nebo Bieberbach dohad, je věta, která dává a nutná podmínka na holomorfní funkce aby mohl mapovat otevřený disk jednotky z složité letadlo injekčně do složité roviny. Bylo to představováno Ludwig Bieberbach  (1916 ) a nakonec prokázáno Louis de Branges  (1985 ).

Prohlášení se týká Taylorovy koeficienty A_n a univalentní funkce, tj. holomorfní funkce jedna k jedné, která mapuje disk jednotky do komplexní roviny, normalizovaná, jak je vždy možné, aby A₀ = 0 a A₁ = 1. To znamená, že považujeme funkci definovanou na disku otevřené jednotky, což je holomorfní a injekční (jednomocný ) s Taylorovou řadou formuláře

${ displaystyle f (z) = z + součet _ {n geq 2} a_ {n} z ^ {n}.}$

Takové funkce se nazývají schlicht. Věta pak říká, že

${ displaystyle | a_ {n} | leq n quad { text {pro všechny}} n geq 2.}$

The Funkce Koebe (viz níže) je funkce, ve které A_n = n pro všechny n, a je to schlicht, takže nemůžeme najít přísnější omezení absolutní hodnoty nth koeficient.

Schlichtovy funkce

Normalizace

A₀ = 0 a A₁ = 1

to myslíš vážně

F(0) = 0 a F '(0) = 1.

To lze vždy získat pomocí afinní transformace: počínaje libovolnou injektivní holomorfní funkcí G definované na otevřeném disku jednotky a nastavení

${ displaystyle f (z) = { frac {g (z) -g (0)} {g '(0)}}.}$

Takové funkce G jsou zajímavé, protože se objevují v Riemannova věta o mapování.

A schlichtova funkce je definována jako analytická funkce F to je jedna ku jedné a uspokojuje F(0) = 0 a F „(0) = 1. Rodina schlichtových funkcí je otočené funkce Koebe

${ displaystyle f _ { alpha} (z) = { frac {z} {(1- alpha z) ^ {2}}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} n alpha ^ {n-1} z ^ {n}}$

s α komplexní počet absolutní hodnota 1. Pokud F je funkce schlicht a |A_n| = n pro některé n ≥ 2, pak F je otočená funkce Koebe.

Podmínka de Brangesovy věty není dostatečná k zobrazení funkce je schlicht, jako funkce

${ displaystyle f (z) = z + z ^ {2} = (z + 1/2) ^ {2} -1/4}$

ukazuje: je holomorfní na disku jednotky a splňuje |A_n|≤n pro všechny n, ale od té doby to není injekční F(−1/2 + z) = F(−1/2 − z).

Dějiny

Přehled historie je dán Koepf (2007).

Bieberbach (1916) prokázáno |A₂| ≤ 2, a uvedl domněnku, že |A_n| ≤ n. Loewner (1917) a Nevanlinna (1921) nezávisle prokázal domněnku pro hvězdné funkce.Pak Charles Loewner (Löwner (1923) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFLöwner1923 (Pomoc)) prokázáno |A₃| ≤ 3, pomocí Löwnerova rovnice. Jeho práce byla použita většinou pozdějších pokusů a je také použita v teorii Evoluce Schramm – Loewner.

Littlewood (1925, věta 20) dokázala, že |A_n| ≤ en pro všechny n, což ukazuje, že domněnka o Bieberbachovi platí až do výše E = 2,718 ... Několik autorů později snížilo konstantu níže uvedené nerovnosti E.

Li F(z) = z + ... je schlichtova funkce pak φ (z) = F(z²)^1/2 je lichá schlichtová funkce. Paley a Littlewood  (1932 ) ukázal, že jeho Taylorovy koeficienty splňují b_k ≤ 14 pro všechny k. Domnívali se, že 14 může být nahrazeno 1 jako přirozené zobecnění Bieberbachova domněnky. Domněnka Littlewood-Paley snadno implikuje domněnku Bieberbach pomocí Cauchyho nerovnosti, ale brzy ji vyvrátil Fekete & Szegö (1933) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFFeketeSzegö1933 (Pomoc), který ukázal, že existuje zvláštní schlichtova funkce s b₅ = 1/2 + exp (−2/3) = 1,013 ..., a to je maximální možná hodnota b₅. Isaak Milin později ukázal, že 14 lze nahradit 1,14, a Hayman ukázal, že čísla b_k mít limit menší než 1, pokud F není funkce Koebe (pro kterou b_2k+1 jsou všechny 1). Limita je tedy vždy menší nebo rovna 1, což znamená, že domněnka Littlewooda a Paleyho platí pro všechny kromě konečného počtu koeficientů. Slabší formu domněnky Littlewooda a Paleyho našel Robertson (1936).

The Robertsonova domněnka uvádí, že pokud

${ displaystyle phi (z) = b_ {1} z + b_ {3} z ^ {3} + b_ {5} z ^ {5} + cdots}$

je lichá schlichtová funkce na disku jednotky s b₁= 1 pak pro všechna kladná celá čísla n,

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} | b_ {2k + 1} | ^ {2} leq n.}$

Robertson poznamenal, že jeho domněnka je stále dostatečně silná, aby naznačila domněnku o Bieberbachu, a dokázal to n = 3. Tato domněnka představila klíčovou myšlenku ohraničení různých kvadratických funkcí koeficientů spíše než samotných koeficientů, což je ekvivalentní k ohraničení norem prvků v určitých Hilbertových prostorech schlichtových funkcí.

Existuje několik důkazů o Bieberbachově domněnce pro určité vyšší hodnoty n, zejména Garabedian & Schiffer (1955) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFGarabedianSchiffer1955 (Pomoc) prokázáno |A₄| ≤ 4, Ozawa (1969) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFOzawa1969 (Pomoc) a Pederson (1968) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFPederson1968 (Pomoc) prokázáno |A₆| ≤ 6 a Pederson & Schiffer (1972) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFPedersonSchiffer1972 (Pomoc) prokázáno |A₅| ≤ 5.

Hayman (1955) prokázal, že limit A_n/n existuje a má absolutní hodnotu menší než 1, pokud F je funkce Koebe. Zejména to ukázalo, že pro všechny F z domněnky o Bieberbachovi může být nanejvýš konečný počet výjimek.

The Milinova domněnka uvádí, že pro každou funkci schlicht na disku jednotky a pro všechna kladná celá čísla n,

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} (n-k + 1) (k | gamma _ {k} | ^ {2} -1 / k) leq 0}$

Kde logaritmické koeficienty y_n z F jsou dány

${ displaystyle log (f (z) / z) = 2 součet _ {n = 1} ^ { infty} gamma _ {n} z ^ {n}.}$

Milin (1977) ukázal pomocí Nerovnost Lebedev – Milin že Milinova domněnka (později prokázaná de Brangesem) implikuje Robertsonovu domněnku, a tedy Bieberbachovu domněnku.

Konečně De Branges (1985) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFDe_Branges1985 (Pomoc) prokázáno |A_n| ≤ n pro všechny n.

de Brangesův důkaz

Důkaz používá typ Hilbertovy prostory z celé funkce. Studium těchto prostorů přerostlo v sub-pole komplexní analýzy a prostory se začaly nazývat de Brangesovy mezery. De Branges dokázal silnější Milinovu domněnku (Milin 1971 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFMilin1971 (Pomoc) na logaritmických koeficientech. To bylo již známo, že naznačuje domněnku Robertsona (Robertson 1936 ) o lichých univalentních funkcích, o nichž bylo známo, že implikují Bieberbachovu domněnku o schlichtových funkcích (Bieberbach 1916 ). Jeho důkaz používá Loewnerova rovnice, Nerovnost Askey – Gasper o Jacobiho polynomy a Nerovnost Lebedev – Milin na umocněnou výkonovou řadu.

De Branges omezil domněnku na určité nerovnosti pro Jacobiho polynomy a prvních pár ověřil ručně. Walter Gautschi ověřil více těchto nerovností pomocí počítače pro de Brangesa (prokázal Bieberbachovu domněnku pro prvních asi 30 koeficientů) a poté se zeptal Richard Askey zda věděl o podobných nerovnostech. Askey na to upozornil Askey & Gasper (1976) před osmi lety prokázal nezbytné nerovnosti, což de Brangesovi umožnilo doplnit jeho důkaz. První verze byla velmi dlouhá a měla několik drobných chyb, které v ní způsobily určitou skepsi, ale byly napraveny pomocí členů leningradského semináře o teorii geometrických funkcí (Leningradské oddělení Steklovova matematického ústavu ) když de Branges navštívil v roce 1984.

De Branges dokázal následující výsledek, který pro ν = 0 implikuje Milinovu domněnku (a tedy Bieberbachovu domněnku). Předpokládejme, že ν> −3/2 a σ_n jsou reálná čísla pro kladná celá čísla n s limitem 0 a tak dále

${ displaystyle rho _ {n} = { frac { gama (2 nu + n + 1)} { gama (n + 1)}} ( sigma _ {n} - sigma _ {n + 1})}$

je nezáporný, nerostoucí a má limit 0. Pak pro všechny Riemannovy mapovací funkce F(z) = z + ... univalentní na disku jednotky s

${ displaystyle { frac {F (z) ^ { nu} -z ^ { nu}} { nu}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} z ^ { nu + n}}$

maximální hodnota

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} ( nu + n) sigma _ {n} | a_ {n} | ^ {2}}$

je dosaženo funkcí Koebe z/(1 − z)².

Zjednodušená verze důkazu byla zveřejněna v roce 1985 autorem Carl FitzGerald a Christian Pommerenke (FitzGerald & Pommerenke (1985) ) a ještě kratší popis Jacob Korevaar (Korevaar (1986) ).

Viz také

• Grunskyho matice

Reference

• Askey, Richarde; Gasper, George (1976), „Pozitivní Jacobiho polynomiální součty. II“, American Journal of Mathematics, 98 (3): 709–737, doi:10.2307/2373813, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373813, PAN  0430358
• Baernstein, Albert; Drasin, David; Duren, Peter; et al., eds. (1986), Bieberbachova domněnkaMatematické průzkumy a monografie 21„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. xvi + 218, doi:10.1090 / přežít / 021, ISBN  978-0-8218-1521-2, PAN  0875226
• Bieberbach, L. (1916), „Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln“, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys-Math. Kl.: 940–955
• Conway, John B. (1995), Funkce jedné komplexní proměnné II, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94460-9
• de Branges, Louis (1985), „Důkaz o Bieberbachově domněnce“, Acta Mathematica, 154 (1): 137–152, doi:10.1007 / BF02392821, PAN  0772434
• de Branges, Louis (1987), „Základní pojmy v důkazu domněnky o Bieberbachovi“, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Kalifornie, 1986)„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 25–42, PAN  0934213
• Drasin, David; Duren, Peter; Marden, Albert, eds. (1986), „The Bieberbach dohad“, Sborník ze sympozia u příležitosti důkazu Bieberbachova domněnky konaného na Purdue University, West Lafayette, Ind., 11. - 14. března 1985„Mathematical Surveys and Monographs, Providence, RI: American Mathematical Society, 21, str. xvi + 218, doi:10.1090 / přežít / 021, ISBN  0-8218-1521-0, PAN  0875226
• Fekete, M .; Szegő, G. (1933), „Eine Bemerkung Über Ungerade Schlichte Funktionen“, J. London Math. Soc., s1-8 (2): 85–89, doi:10.1112 / jlms / s1-8.2.85
• FitzGerald, Carl; Pommerenke, Christian (1985), „Věta de Branges o univalentních funkcích“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 290 (2): 683, doi:10.2307/2000306, JSTOR  2000306
• Goluzina, E.G. (2001) [1994], „Domněnka o Bieberbachu“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Grinshpan, Arcadii Z. (1999), „Bieberbachova domněnka a Milinovi funkcionáři“, Americký matematický měsíčník, 106 (3): 203–214, doi:10.2307/2589676, JSTOR  2589676, PAN  1682341
• Grinshpan, Arcadii Z. (2002), „Logarithmic Geometry, Exponentiation, and Coefficient Bound in the Theory of Univalent Functions and Nonoverlapping Domains“, v Kuhnau, Reiner (ed.), Teorie geometrických funkcíPříručka komplexní analýzy, svazek 1, Amsterdam: Severní Holandsko, str. 273–332, doi:10.1016 / S1874-5709 (02) 80012-9, ISBN  0-444-82845-1, PAN  1966197, Zbl  1083.30017.
• Hayman, W. K. (1955), „Asymptotické chování p-valentních funkcí“, Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 5 (3): 257–284, doi:10,1112 / plms / s3-5.3.257, PAN  0071536
• Hayman, W. K. (1994), „De Brangesova věta“, Multivalentní funkce„Cambridge Tracts in Mathematics“, 110 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  0521460263
• Koepf, Wolfram (2007), Bieberbachova domněnka, funkce de Branges a Weinstein a nerovnost Askey-Gasper
• Korevaar, Jacob (1986), „Domněnka Ludwiga Bieberbacha a její důkaz Louis de Branges“, Americký matematický měsíčník, 93 (7): 505–514, doi:10.2307/2323021, ISSN  0002-9890, JSTOR  2323021, PAN  0856290
• Littlewood, J. E. (1925), „O nerovnostech v teorii funkcí“, Proc. London Math. Soc., s2-23: 481–519, doi:10.1112 / plms / s2-23.1.481
• Littlewood, J. E.; Paley, E. A. C. (1932), „Důkaz, že funkce lichého Schlichta má omezené koeficienty“, J. London Math. Soc., s1-7 (3): 167–169, doi:10.1112 / jlms / s1-7.3.167
• Loewner, C. (1917), „Untersuchungen über die Verzerrung bei konformen Abbildungen des Einheitskreises / z / <1, die durch Funktionen mit nicht verschwindender Ableitung geliefert werden“, Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss. Lipsko, 69: 89–106
• Loewner, C. (1923), „Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I“, Matematika. Ann., 89: 103–121, doi:10.1007 / BF01448091, hdl:10338.dmlcz / 125927, JFM  49.0714.01
• Milin, I. M. (1977), Univalentní funkce a ortonormální systémy„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, PAN  0369684 (Překlad ruského vydání z roku 1971)
• Nevanlinna, R. (1921), „Über die konforme Abbildung von Sterngebieten“, Ofvers. Finska Vet. Soc. Forh., 53: 1–21
• Robertson, M. S. (1936), „Poznámka k zvláštním schlichtovým funkcím“, Bulletin of the American Mathematical Society, 42 (6): 366–370, doi:10.1090 / S0002-9904-1936-06300-7