De Branges prostor - De Branges space

v matematika, a prostor de Branges (někdy psáno De Branges prostor) je koncept v funkční analýza a je vyroben z a funkce de Branges.

Pojem je pojmenován po Louis de Branges kteří prokázali četné výsledky týkající se těchto prostor, zejména jako Hilbertovy prostory a tyto výsledky použil k prokázání Bieberbach dohad.

Funkce De Branges

A Funkce Hermite-Biehler, také známý jako funkce de Branges je celá funkce E z ${displaystyle mathbb {C}}$ na ${displaystyle mathbb {C}}$ který uspokojuje nerovnost ${displaystyle | E (z) |> | E ({ar {z}}) |}$, pro všechny z v horní polovina komplexní roviny ${displaystyle mathbb {C} ^ {+} = {zin mathbb {C} | {m {Im}} (z)> 0}}$.

Definice 1

Vzhledem k funkci Hermite-Biehler E, prostor de Branges B(E) je definován jako množina všech celé funkce F takhle

${displaystyle F / E, F ^ {#} / Ein H_ {2} (mathbb {C} ^ {+})}$

kde:

• ${displaystyle mathbb {C} ^ {+} = {zin mathbb {C} | {m {Im (z)}}> 0}}$ je otevřená horní polovina komplexní roviny.
• ${displaystyle F ^ {#} (z) = {overline {F ({ar {z}})}}}$.
• ${displaystyle H_ {2} (mathbb {C} ^ {+})}$ je obvyklé Hardy prostor na otevřené horní polovině roviny.

Definice 2

Prostor de Branges lze také definovat jako všechny celé funkce F splňující všechny následující podmínky:

• ${displaystyle int _ {mathbb {R}} | (F / E) (lambda) | ^ {2} dlambda$
• ${displaystyle | (F / E) (z) |, | (F ^ {#} / E) (z) | leq C_ {F} (operatorname {Im} (z)) ^ {(- 1/2)} , forall zin mathbb {C} ^ {+}}$

Definice 3

Existuje také axiomatický popis, který je užitečný v teorii operátorů.

Jako Hilbertovy prostory

Dostal prostor de Branges B(E). Definujte skalární součin:

${displaystyle [F, G] = {frac {1} {pi}} int _ {mathbb {R}} {overline {F (lambda)}} G (lambda) {frac {dlambda} {| E (lambda) | ^ {2}}}.}$

Lze prokázat, že prostor de Branges s takovým skalárním součinem je Hilbertův prostor.

Reference

• Christian Remling (2003). „Inverzní spektrální teorie pro jednorozměrné Schrödingerovy operátory: funkce A.“. Matematika. Z. 245: 597–617. doi:10.1007 / s00209-003-0559-2.