Nevanlinnasovo kritérium - Nevanlinnas criterion - Wikipedia

v matematika, Kritérium Nevanlinny v komplexní analýza, prokázáno v roce 1920 finským matematikem Rolf Nevanlinna, charakterizuje holomorfní univalentní funkce na jednotka disku což jsou hvězdný. Nevanlinna použila toto kritérium k prokázání Bieberbach dohad pro hvězdné univalentní funkce

Prohlášení o kritériu

Univalentní funkce h na disku jednotky vyhovující h(0) = 0 a h '(0) = 1 je hvězdný, tj. Má invariantní obrázek při násobení reálnými čísly v [0,1], právě když ${ displaystyle zh ^ { prime} (z) / h (z)}$ má pozitivní skutečnou část pro |z| <1 a má hodnotu 1 na 0.

Všimněte si, že uplatněním výsledku na A•h(rz), kritérium se vztahuje na jakýkoli disk |z| F(0) = 0 a F'(0) ≠ 0.

Důkaz o kritériu

Nechat h(z) být hvězdná univalentní funkce na |z| <1 s h(0) = 0 a h '(0) = 1.

Pro t <0, definovat^[1]

${ displaystyle f_ {t} (z) = h ^ {- 1} (e ^ {- t} h (z)), ,}$

poloskupina holomorfního mapování D do sebe upevnění 0.

navíc h je Koenigsova funkce pro poloskupinu F_t.

Podle Schwarzovo lema, |F_t(z) | klesá jako t zvyšuje.

Proto

${ displaystyle částečné _ {t} | f_ {t} (z) | ^ {2} leq 0.}$

Ale nastavení w = F_t(z),

${ displaystyle částečné _ {t} | f_ {t} (z) | ^ {2} = 2 Re , { overline {f_ {t} (z)}} částečné _ {t} f_ {t } (z) = 2 Re , { overline {w}} v (w),}$

kde

${ displaystyle v (w) = - {h (w) nad h ^ { prime} (w)}.}$

Proto

${ displaystyle Re , { overline {w}} {h (w) over h ^ { prime} (w)} geq 0.}$

a tak vydělením |w|²,

${ displaystyle Re , {h (w) nad wh ^ { prime} (w)} geq 0.}$

Brát reciproční a nechat t přejděte na 0 dává

${ displaystyle Re , z {h ^ { prime} (z) nad h (z)} geq 0}$

pro všechny |z| <1. Protože levá strana je a harmonická funkce, maximální princip znamená, že nerovnost je přísná.

Naopak pokud

${ displaystyle g (z) = z {h ^ { prime} (z) nad h (z)}}$

má pozitivní skutečnou část a G(0) = 1, tedy h může zmizet pouze při 0, kde musí mít jednoduchou nulu.

Nyní

${ displaystyle částečné _ { theta} arg h (re ^ {i theta}) = částečné _ { theta} Im , log h (z) = Im , částečné _ { theta} log h (z) = Im , { částečné z přes částečné theta} cdot částečné _ {z} log h (z) = Re , z {h ^ { prime } (z) nad h (z)}.}$

Tak jako z sleduje kruh ${ displaystyle z = re ^ {i theta}}$, argument obrázku ${ displaystyle h (re ^ {i theta})}$ se přísně zvyšuje. Podle princip argumentu, od té doby ${ displaystyle h}$ má jednoduchou nulu na 0, krouží počátek jen jednou. Vnitřek oblasti ohraničené křivkou, kterou sleduje, je proto hvězdný. Li A je bod v interiéru, pak počet řešení N(A) z Hz) = A s |z| < r darováno

${ displaystyle N (a) = {1 nad 2 pi i} int _ {| z | = r} {h ^ { prime} (z) nad h (z) -a} , dz. }$

Jelikož se jedná o celé číslo, závisí nepřetržitě na A a N(0) = 1, je shodně 1. Takže h je na každém disku jednotný a hvězdný |z| < r a tudíž všude.

Aplikace na domněnku Bieberbach

Carathéodoryovo lemma

Constantin Carathéodory v roce 1907 se ukázalo, že pokud

${ displaystyle g (z) = 1 + b_ {1} z + b_ {2} z ^ {2} + cdots.}$

je holomorfní funkce na disku jednotky D tedy s pozitivní skutečnou částí^[2][3]

${ displaystyle | b_ {n} | leq 2.}$

Ve skutečnosti stačí ukázat výsledek pomocí G nahrazen G_r(z) = G(rz) pro všechny r <1 a poté přejděte na limit r = 1. V tom případě G rozšiřuje na spojitou funkci na uzavřeném disku s pozitivní skutečnou částí a Schwarzův vzorec

${ displaystyle g (z) = {1 přes 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} {e ^ {i theta} + z přes e ^ {i theta} -z} Re g (e ^ {i theta}) , d theta.}$

Používání identity

${ displaystyle {e ^ {i theta} + z nad e ^ {i theta} -z} = 1 + 2 součet _ {n geq 1} e ^ {- v theta} z ^ {n },}$

z toho vyplývá, že

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} Re g (e ^ {i theta}) , d theta = 1}$,

definuje míru pravděpodobnosti a

${ displaystyle b_ {n} = 2 int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {- int} Re g (e ^ {i theta}) , d theta.}$

Proto

${ displaystyle | b_ {n} | leq 2 int _ {0} ^ {2 pi} Re g (e ^ {i theta}) , d theta = 2.}$

Důkaz hvězdných funkcí

Nechat

${ displaystyle f (z) = z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} + cdots}$

být jednotnou hvězdnou funkcí v |z| < 1. Nevanlinna (1921) dokázal to

${ displaystyle | a_ {n} | leq n.}$

Ve skutečnosti podle kritéria Nevanlinny

${ displaystyle g (z) = z {f ^ { prime} (z) nad f (z)} = 1 + b_ {1} z + b_ {2} z ^ {2} + cdots}$

má pozitivní skutečnou část pro |z| <1. Takže podle Carathéodoryho lemmatu

${ displaystyle | b_ {n} | leq 2.}$

Na druhou stranu

${ displaystyle zf ^ { prime} (z) = g (z) f (z)}$

dává relaci opakování

${ displaystyle (n-1) a_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n-1} b_ {n-k} a_ {k}.}$

kde A₁ = 1. Tedy

${ displaystyle | a_ {n} | leq {2 nad n-1} součet _ {k = 1} ^ {n-1} | a_ {k} |,}$

indukcí tedy vyplývá, že

${ displaystyle | a_ {n} | leq n.}$

Poznámky

Reference

• Carathéodory, C. (1907), „Über den Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen“, Matematika. Ann., 64: 95–115, doi:10.1007 / bf01449883, S2CID  116695038
• Duren, P. L. (1983), Univalentní funkceGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, str. 41–42, ISBN  0-387-90795-5
• Hayman, W. K. (1994), Multivalentní funkce„Cambridge Tracts in Mathematics“, 110 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  0-521-46026-3
• Nevanlinna, R. (1921), „Über die konforme Abbildung von Sterngebieten“, Ofvers. Finska Vet. Soc. Forh., 53: 1–21
• Pommerenke, C. (1975), Univalentní funkce s kapitolou o kvadratických diferenciálech od Gerda Jensena, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck & Ruprecht