Kritérium konzistence - Consistency criterion - Wikipedia

A hlasovací systém je konzistentní pokud, kdykoli je voličstvo rozděleno (svévolně) do několika částí a volby v těchto částech sbírá stejný výsledek, pak výsledek také sbírá volba celého voličstva. Kovář^[1] volá tuto vlastnost oddělitelnost a Woodall^[2] volá to konvexnost.

Bylo prokázáno, že seřazený hlasovací systém je „konzistentní, pokud a pouze pokud se jedná o bodovací funkci“^[3], tj systém pozičního hlasování. Borda počítat je toho příkladem.

Selhání kritéria konzistence lze považovat za příklad Simpsonův paradox.

Jak je uvedeno níže pod Kemeny-Young, úspěšné nebo neúspěšné kritérium konzistence může záviset na tom, zda volba vybere jednoho vítěze nebo úplné pořadí kandidátů (někdy označované jako konzistence hodnocení); níže uvedené konkrétní příklady se ve skutečnosti spoléhají na nalezení nekonzistence jednoho vítěze výběrem dvou různých hodnocení se stejným celkovým vítězem, což znamená, že se na konzistenci hodnocení nevztahují.

Příklady

Copeland

Tento příklad ukazuje, že Copelandova metoda porušuje kritérium konzistence. Předpokládejme pět kandidátů A, B, C, D a E s 27 voliči s následujícími preferencemi:

Nyní je sada všech voličů rozdělena do dvou skupin na tučném řádku. Voliči přes linku jsou první skupina voličů; ostatní jsou druhou skupinou voličů.

První skupina voličů

V následující části je určen vítěz Copelandu pro první skupinu voličů.

Výsledky by byly uvedeny v tabulce takto:

• [X] označuje voliče, kteří upřednostňovali kandidáta uvedeného v titulku sloupce před kandidátem uvedeným v titulku řádku
• [Y] označuje voliče, kteří upřednostňovali kandidáta uvedeného v titulku řádku před kandidátem uvedeným v titulku sloupce

Výsledek: Hlasováním první skupiny voličů může A porazit tři ze čtyř oponentů, zatímco žádný jiný kandidát nevyhraje proti více než dvěma oponentům. Tím pádem, A je první skupinou voličů zvolen vítězem Copelandu.

Druhá skupina voličů

Nyní je určen vítěz Copelandu pro druhou skupinu voličů.

Výsledky by byly uvedeny v tabulce takto:

Výsledek: Vezmeme-li v úvahu pouze hlasy druhé skupiny, opět může A porazit tři ze čtyř soupeřů, zatímco žádný jiný kandidát nevyhraje proti více než dvěma soupeřům. Tím pádem, A je druhou skupinou voličů zvolen vítězem Copelandu.

Všichni voliči

Nakonec je určen vítěz Copelandu z úplné sady voličů.

Výsledky by byly uvedeny v tabulce takto:

Výsledek: C vyhrává Condorcet, Copeland si tedy vybere C jako vítěz.

Závěr

A je vítězem Copelandu v první skupině voličů a také v druhé skupině voličů. Obě skupiny však společně zvolily C jako vítěze Copelandu. Copeland tedy nesplňuje kritérium konzistence.

Okamžité odtokové hlasování

Tento příklad ukazuje, že okamžité odtokové hlasování porušuje kritérium konzistence. Předpokládejme tři kandidáty A, B a C a 23 voličů s následujícími preferencemi:

Nyní je sada všech voličů rozdělena do dvou skupin na tučném řádku. Voliči přes linku jsou první skupina voličů; ostatní jsou druhou skupinou voličů.

První skupina voličů

V následující části je určen vítěz okamžitého odtoku pro první skupinu voličů.

B má pouze 2 hlasy a je vyloučen jako první. Jeho hlasy jsou převedeny na A. Nyní má A 6 hlasů a vyhrává proti C 4 hlasy.

Výsledek: A vyhraje proti C poté, co byl B vyřazen.

Druhá skupina voličů

Nyní je určen vítěz okamžitého odtoku pro druhou skupinu voličů.

C má nejmenší počet hlasů, počet 3 a je vyřazen. Výhodou je získání všech hlasů od C. Nyní se 7 hlasy A vyhrává proti B se 6 hlasy.

Výsledek: A vyhraje proti B poté, co byl vyloučen C.

Všichni voliči

Nakonec je určen okamžitý vítěz odtoku kompletní sady voličů.

C má nejméně prvních preferencí, a proto je nejprve vyloučen, jeho hlasy jsou rozděleny: 4 jsou převedeny na B a 3 na A. Takto vyhrává B s 12 hlasy proti 11 hlasy A.

Výsledek: B vyhraje proti A po vyloučení C.

Závěr

A je vítězem okamžitého odtoku v první skupině voličů a také v druhé skupině voličů. Obě skupiny však kombinovaly zvolení B jako vítěze okamžitého odtoku. Okamžité odtokové hlasování tedy nesplňuje kritérium konzistence.

Kemeny-Youngova metoda

Tento příklad ukazuje, že metoda Kemeny – Young porušuje kritérium konzistence. Předpokládejme tři kandidáty A, B a C a 38 voličů s následujícími preferencemi:

Nyní je sada všech voličů rozdělena do dvou skupin na tučném řádku. Voliči přes linku jsou první skupina voličů; ostatní jsou druhou skupinou voličů.

První skupina voličů

V následující části je stanoven vítěz Kemeny-Young pro první skupinu voličů.

Metoda Kemeny – Young uspořádá počty párových srovnání v následující tabulce shod:

Hodnocení všech možných hodnocení jsou:

Výsledek: Hodnocení A> B> C má nejvyšší hodnocení. Tím pádem, A vyhrává před B a C.

Druhá skupina voličů

Nyní je určen vítěz Kemeny-Young pro druhou skupinu voličů.

Metoda Kemeny – Young uspořádá počty párových srovnání v následující tabulce shod:

Hodnocení všech možných hodnocení jsou:

Výsledek: Hodnocení A> C> B má nejvyšší hodnocení. Proto, A vyhrává před C a B.

Všichni voliči

Nakonec je určen vítěz Kemeny-Young z úplné sady voličů.

Metoda Kemeny – Young uspořádá počty párových srovnání v následující tabulce shod:

Hodnocení všech možných hodnocení jsou:

Výsledek: Hodnocení B> A> C má nejvyšší hodnocení. Tak, B vyhrává před A a C.

Závěr

A je vítězem Kemeny-Young v první skupině voličů a také v druhé skupině voličů. Obě skupiny však spojily vyvolené B jako vítěze Kemeny-Young. Metoda Kemeny – Young tedy nesplňuje kritérium konzistence.

Konzistence hodnocení

Metoda Kemeny-Young uspokojuje pořadí konzistence; to znamená, že je-li voličstvo libovolně rozděleno na dvě části a oddělené volby v každé části vedou ke zvolení stejného pořadí, zvolí toto pořadí také volba celého voliče.

Neformální důkaz

Kemeny-Young skóre v žebříčku ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ se vypočítá sečtením počtu párových srovnání u každého hlasovacího lístku, které odpovídají hodnocení ${ displaystyle { mathcal {R}}}$. Tedy skóre Kemeny-Young ${ displaystyle s_ {V} ({ mathcal {R}})}$ pro voliče ${ displaystyle V}$ lze vypočítat rozdělením voličů do nesouvislých podmnožin ${ displaystyle V = V_ {1} pohár V_ {2}}$ (s ${ displaystyle V_ {1} cap V_ {2} = emptyset}$), výpočet skóre Kemeny-Young pro tyto podmnožiny a jeho přidání:

${ displaystyle { text {(I)}} quad s_ {V} ({ mathcal {R}}) = s_ {V_ {1}} ({ mathcal {R}}) + s_ {V_ {2 }} ({ mathcal {R}})}$.

Nyní zvažte volby s voliči ${ displaystyle V}$. Předpokladem kritéria konzistence je svévolné rozdělení voličů na dvě části ${ displaystyle V = V_ {1} pohár V_ {2}}$, a v každé části stejné hodnocení ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ je vybrána. To znamená, že Kemeny-Young skóre v žebříčku ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ v každém voliči je větší než v každém jiném hodnocení ${ displaystyle { mathcal {R}} '}$:

${ displaystyle { begin {aligned} { text {(II)}} quad forall { mathcal {R}} ': {} & s_ {V_ {1}} ({ mathcal {R}})> s_ {V_ {1}} ({ mathcal {R}} ') { text {(III)}} quad forall { mathcal {R}}': {} & s_ {V_ {2}} ({ mathcal {R}})> s_ {V_ {2}} ({ mathcal {R}} ') end {zarovnáno}}}$

Nyní je třeba ukázat, že Kemeny-Young skóre v žebříčku ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ v celém voličství je větší než skóre Kemeny-Young v každém jiném žebříčku ${ displaystyle { mathcal {R}} '}$:

${ displaystyle s_ {V} ({ mathcal {R}}) { stackrel {(I)} {=}} s_ {V_ {1}} ({ mathcal {R}}) + s_ {V_ {2}} ({ mathcal {R}}) { stackrel {(II)} {>}} s_ {V_ {1}} ({ mathcal {R}} ') + s_ {V_ {2 }} ({ mathcal {R}}) { stackrel {(III)} {>}} s_ {V_ {1}} ({ mathcal {R}} ') + s_ {V_ {2}} ({ mathcal {R}} ') { stackrel {(I)} {=}} s_ {V} ({ mathcal {R}}') quad qed}$

Metoda Kemeny-Young je tedy konzistentní s ohledem na úplné hodnocení.

Rozsudek většiny

Tento příklad ukazuje, že většinový úsudek porušuje kritérium konzistence. Předpokládejme dva kandidáty A a B a 10 voličů s následujícím hodnocením:

Nyní je sada všech voličů rozdělena do dvou skupin na tučném řádku. Voliči přes linku jsou první skupina voličů; ostatní jsou druhou skupinou voličů.

První skupina voličů

V následující části je stanoven vítěz většinového rozsudku pro první skupinu voličů.

Seřazená hodnocení by byla následující:

Výsledek: S hlasy první skupiny voličů má A střední hodnocení „Vynikající“ a B má střední hodnocení „Spravedlivé“. Tím pádem, A je volen většinovým vítězem úsudku první skupinou voličů.

Druhá skupina voličů

Nyní je určen vítěz většinového úsudku pro druhou skupinu voličů.

Seřazená hodnocení by byla následující:

Výsledek: Bereme-li v úvahu pouze hlasy druhé skupiny, má A střední hodnocení „Spravedlivé“ a B střední hodnocení „Špatné“. Tím pádem, A je zvolen většinovým vítězem úsudku druhou skupinou voličů.

Všichni voliči

Nakonec je určen vítěz většinového úsudku celé sady voličů.

Seřazená hodnocení by byla následující:

Medián hodnocení pro A a B je „spravedlivý“. Jelikož je remíza, „spravedlivá“ hodnocení jsou z obou odstraněna, dokud se jejich mediány nezmění. Po odebrání 20% „spravedlivých“ hodnocení z hlasů každého z nich jsou nyní seřazená hodnocení:

Výsledek: Nyní je střední hodnocení A „Špatné“ a střední hodnocení B „Spravedlivé“. Tím pádem, B je zvolen vítězem většinového rozsudku.

Závěr

A je vítězem většinového úsudku v první skupině voličů a také v druhé skupině voličů. Obě skupiny však společně zvolily B jako vítěze Majority Judgment. Majority Judgment tedy nesplňuje kritérium konzistence.

Minimax

Tento příklad ukazuje, že metoda minimax porušuje kritérium konzistence. Předpokládejme čtyři kandidáty A, B, C a D se 43 voliči s následujícími preferencemi:

Vzhledem k tomu, že všechny preference mají přísné hodnocení (neexistují rovnítka), volí všechny tři metody minimaxu (vyhrávání hlasů, marže a protiklady po dvou) stejné vítěze.

Nyní je sada všech voličů rozdělena do dvou skupin na tučném řádku. Voliči přes linku jsou první skupina voličů; ostatní jsou druhou skupinou voličů.

První skupina voličů

V následující části je určen vítěz minimaxu pro první skupinu voličů.

Výsledky by byly uvedeny v tabulce takto:

• [X] označuje voliče, kteří upřednostňovali kandidáta uvedeného v titulku sloupce před kandidátem uvedeným v titulku řádku
• [Y] označuje voliče, kteří upřednostňovali kandidáta uvedeného v titulku řádku před kandidátem uvedeným v titulku sloupce

Výsledek: Kandidáti B, C a D tvoří cyklus s jasnými porážkami. Výhodou je, že proti všem třem prohrává relativně těsně, a proto je největší porážka A nejbližší ze všech kandidátů. Tím pádem, A je zvolen vítězem minimax první skupinou voličů.

Druhá skupina voličů

Nyní je určen vítěz minimaxu pro druhou skupinu voličů.

Výsledky by byly uvedeny v tabulce takto:

Výsledek: Vezmeme-li v úvahu pouze hlasy druhé skupiny, opět tvoří B, C a D cyklus s jasnými porážkami a A těží z toho díky svým relativně těsným ztrátám proti všem třem, a proto je největší porážka A nejbližší ze všech kandidátů . Tím pádem, A je zvolen vítězem minimaxu druhou skupinou voličů.

Všichni voliči

Nakonec je určen vítěz minimaxu celé sady voličů.

Výsledky by byly uvedeny v tabulce takto:

Výsledek: Opět platí, že B, C a D tvoří cyklus. Ale nyní jsou jejich vzájemné porážky velmi těsné. Proto jsou porážky A trpící všemi třemi relativně jasné. S malou výhodou oproti B a D, C je zvolen vítězem minimaxu.

Závěr

A je vítězem minimaxu v první skupině voličů a také v druhé skupině voličů. Obě skupiny však společně zvolily C jako vítěze Minimaxu. Minimax tedy nesplňuje kritérium konzistence.

Hodnocené páry

Tento příklad ukazuje, že metoda Ranked pair porušuje kritérium konzistence. Předpokládejme tři kandidáty A, B a C s 39 voliči s následujícími preferencemi:

Nyní je sada všech voličů rozdělena do dvou skupin na tučném řádku. Voliči přes linku jsou první skupina voličů; ostatní jsou druhou skupinou voličů.

První skupina voličů

V následující části je určen vítězný pár pro první skupinu voličů.

Výsledky by byly uvedeny v tabulce takto:

• [X] označuje voliče, kteří upřednostňovali kandidáta uvedeného v titulku sloupce před kandidátem uvedeným v titulku řádku
• [Y] označuje voliče, kteří upřednostňovali kandidáta uvedeného v titulku řádku před kandidátem uvedeným v titulku sloupce

Seřazený seznam vítězství by byl:

Výsledek: B> C a A> B jsou uzamčeny jako první (a C> A poté nelze uzamknout), takže plné hodnocení je A> B> C. A je první skupinou voličů zvolena za vítěze hodnocených párů.

Druhá skupina voličů

Nyní je určen vítěz hodnocených párů pro druhou skupinu voličů.

Výsledky by byly uvedeny v tabulce takto:

Seřazený seznam vítězství by byl:

Výsledek: Vezmeme-li v úvahu pouze hlasy druhé skupiny, jsou A> C a C> B uzamčeny jako první (a B> A poté nelze uzamknout), takže plné hodnocení je A> C> B. , A je zvolena vítězem hodnocených párů druhou skupinou voličů.

Všichni voliči

Nakonec je určen vítěz hodnocené dvojice kompletní sady voličů.

Výsledky by byly uvedeny v tabulce takto:

Seřazený seznam vítězství by byl:

Výsledek: Nyní lze všechny tři páry (A> C, B> C a B> A) uzamknout bez cyklu. Úplné hodnocení je B> A> C. Vyberou si tedy hodnocené páry B jako vítěz, což je vítěz Condorcet, kvůli chybějícímu cyklu.

Závěr

A je vítězem hodnocených párů v první skupině voličů a také v druhé skupině voličů. Obě skupiny však spojily B jako vítěze hodnocených párů. Metoda Ranked pair tedy nesplňuje kritérium konzistence.

Schulzeova metoda

Tento příklad ukazuje, že metoda Schulze porušuje kritérium konzistence. Znovu předpokládejme tři kandidáty A, B a C s 39 voliči s následujícími preferencemi:

Nyní je sada všech voličů rozdělena do dvou skupin na tučném řádku. Voliči přes linku jsou první skupina voličů; ostatní jsou druhou skupinou voličů.

První skupina voličů

V následující části je určen vítěz Schulze pro první skupinu voličů.

Párové předvolby by byly uvedeny v tabulce takto:

Nyní je třeba identifikovat nejsilnější cesty, např. cesta A> B> C je silnější než přímá cesta A> C (která je zrušena, protože je to ztráta pro A).

Výsledek: A> B, A> C a B> C převládají, takže úplné hodnocení je A> B> C. A je první skupinou voličů zvolen vítězem Schulze.

Druhá skupina voličů

Nyní je určen vítěz Schulze pro druhou skupinu voličů.

Párové předvolby by byly uvedeny v tabulce takto:

Nyní je třeba identifikovat nejsilnější cesty, např. cesta A> C> B je silnější než přímá cesta A> B.

Výsledek: A> B, A> C a C> B převažují, takže plné hodnocení je A> C> B. A je druhou skupinou voličů zvolen vítězem Schulze.

Všichni voliči

Nakonec je určen vítěz Schulze z kompletní sady voličů.

Párové předvolby by byly uvedeny v tabulce takto:

Nyní je třeba identifikovat nejsilnější cesty:

Výsledek: A> C, B> A a B> C převládají, takže plné hodnocení je B> A> C. Schulze si tedy vybírá B jako vítěz. Ve skutečnosti je B také Condorcet vítěz.

Závěr

A je vítězem Schulze v první skupině voličů a také v druhé skupině voličů. Obě skupiny však společně zvolily B jako vítěze Schulze. Schulzeova metoda tedy nesplňuje kritérium konzistence.

Reference

1. ^ John H. Smith, "Agregace preferencí s proměnlivými voliči", Econometrica, Sv. 41 (1973), str. 1027–1041.
2. ^ D. R. Woodall, "Vlastnosti preferenčních volebních pravidel ", Hlasování je důležité, 3. vydání (prosinec 1994), s. 8–15.
3. ^ H. P. Young, "Funkce sociálního výběru", SIAM Journal on Applied Mathematics Sv. 28, č. 4 (1975), str. 824–838.