Připojení (vláknité potrubí) - Connection (fibred manifold) - Wikipedia

v diferenciální geometrie, a vláknité potrubí je surjektivní ponoření z hladké potrubí $Y \to X$ . Lokálně triviální vláknité potrubí jsou svazky vláken. Proto pojem spojení na vláknitých potrubích poskytuje obecný rámec a spojení na svazcích vláken.

Formální definice

Nechat $π : Y \to X$ být vláknité potrubí. Zobecněný spojení na $Y$ je sekce $Γ: Y \to J. 1 Y$ , kde $J 1 Y$ je tryskové potrubí z $Y$ .^[1]

Spojení jako vodorovné rozdělení

S výše uvedeným rozdělovačem $π$ tam je následující kanonický krátká přesná sekvence z vektorové svazky přes $Y$ :

{ displaystyle 0 to mathrm {V} Y to mathrm {T} Y až Y krát _ {X} mathrm {T} X až 0 ,,}

(1)

kde $T Y$ a $T X$ jsou tečné svazky z $Y$ , respektive $PROTI Y$ je svislý tečný svazek z $Y$ , a $Y \times X T X$ je stahovací balíček z $T X$ na $Y$ .

A spojení na vláknitém potrubí $Y \to X$ je definován jako lineární morfismus svazku

{ displaystyle Gamma: Y krát _ {X} mathrm {T} X až mathrm {T} Y}

(2)

přes $Y$ který rozdělí se přesná sekvence 1. Připojení vždy existuje.

Někdy toto spojení $Γ$ se nazývá Ehresmann spojení protože to přináší horizontální rozdělení

{ displaystyle mathrm {H} Y = Gamma vlevo (Y krát _ {X} mathrm {T} X vpravo) podmnožina mathrm {T} Y}

z $T Y$ a jeho horizontální rozklad $T Y = V Y \oplus H Y$ .

Současně Ehresmannovým spojením je míněna i následující konstrukce. Jakékoli připojení $Γ$ na vláknitém potrubí $Y \to X$ poskytuje vodorovný zdvih $Γ \circ τ$ a vektorové pole $τ$ na $X$ na $Y$ , ale nemusí definovat podobný zdvih cesty v $X$ do $Y$ . Nechat

{ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbb {R} supset [,] ni t & až x (t) v X mathbb {R} ni t & až y (t) v Y end {zarovnáno}}}

být dvě hladké cesty dovnitř $X$ a $Y$ , resp. Pak $t \to y (t)$ se nazývá vodorovný zdvih $X (t)$ -li

{ displaystyle pi (y (t)) = x (t) ,, qquad { dot {y}} (t) in mathrm {H} Y ,, qquad t in mathbb { R} ,.}

Spojení $Γ$ se říká, že Ehresmann spojení pokud pro každou cestu $X ([0,1])$ v $X$ , existuje jeho horizontální zdvih přes kterýkoli bod $y \in π -1 (X ([0,1]))$ . Vláknité potrubí je svazek vláken právě tehdy, když připouští takové spojení Ehresmann.

Spojení jako forma s tečnou hodnotou

Vzhledem k vláknitému potrubí $Y \to X$ , ať je obdařen atlasem vláknitých souřadnic $(X μ, y i)$ a nechte $Γ$ být spojení na $Y \to X$ . Poskytuje jedinečně horizontální tečná hodnota jedné formy

{ displaystyle Gamma = dx ^ { lambda} otimes left ( částečný _ { lambda} + Gamma _ { lambda} ^ {i} left (x ^ { nu}, y ^ {j } right) částečné _ {i} right)}

(3)

na $Y$ který promítá do kanonické formy s tečnou (tautologická jedna forma nebo pájecí forma )

{ displaystyle theta _ {X} = dx ^ { mu} další částečné _ { mu}}

na $X$ , a naopak. S touto formou, horizontální rozdělení 2 čte

{ displaystyle Gamma: částečné _ { lambda} až částečné _ { lambda} rfloor Gamma = částečné _ { lambda} + gamma _ { lambda} ^ {i} částečné _ { i} ,.}

Zejména spojení $Γ$ v 3 získá vodorovný výtah libovolného vektorového pole $τ = τ μ \partial μ$ na $X$ do projektovatelného vektorového pole

{ displaystyle Gamma tau = tau rfloor Gamma = tau ^ { lambda} vlevo ( částečný _ { lambda} + gamma _ { lambda} ^ {i} částečný _ {i} right) subset mathrm {H} Y}

na $Y$ .

Spojení jako vertikální forma

Horizontální rozdělení 2 přesné sekvence 1 definuje odpovídající rozdělení dvojí přesné sekvence

{ displaystyle 0 to Y times _ {X} mathrm {T} ^ {*} X to mathrm {T} ^ {*} Y to mathrm {V} ^ {*} Y to 0 ,,}

kde $T * Y$ a $T * X$ jsou kotangenské svazky z $Y$ , respektive, a $PROTI* Y \to Y$ je duální svazek na $PROTI Y \to Y$ , nazývaný vertikální kotangensový svazek. Toto rozdělení je dáno formou s vertikální hodnotou

{ displaystyle Gamma = left (dy ^ {i} - Gamma _ { lambda} ^ {i} dx ^ { lambda} right) otimes částečné _ {i} ,,}

což také představuje spojení na vláknitém potrubí.

Považujeme-li spojení za formu s vertikální hodnotou, dochází k následující důležité konstrukci. Vzhledem k vláknitému potrubí $Y \to X$ , nechť $F : X' \to X$ být morfismem a $F * Y \to X'$ the stahovací balíček z $Y$ podle $F$ . Pak jakékoli připojení $Γ$ 3 na $Y \to X$ vyvolává zpětné připojení

{ displaystyle f * Gamma = left (dy ^ {i} - left ( Gamma circ { tilde {f}} right) _ { lambda} ^ {i} { frac { částečný f ^ { lambda}} { částečné x '^ { mu}}} dx' ^ { mu} pravé) otimes částečné _ {i}}

na $F * Y \to X'$ .

Připojení jako sekce svazku trysek

Nechat $J 1 Y$ být tryskové potrubí částí vláknitého potrubí $Y \to X$ , se souřadnicemi $(X μ, y i, y i μ)$ . Kvůli kanonickému vnoření

{ displaystyle mathrm {J} ^ {1} Y do _ {Y} doleva (Y krát _ {X} mathrm {T} ^ {*} X doprava) otimes _ {Y} mathrm {T} Y ,, qquad left (y _ { mu} ^ {i} right) to dx ^ { mu} otimes left ( partial _ { mu} + y _ { mu} ^ {i} částečné _ {i} pravé) ,,}

jakékoli připojení $Γ$ 3 na vláknitém potrubí $Y \to X$ je reprezentován globální sekcí

{ displaystyle Gamma: Y to mathrm {J} ^ {1} Y ,, qquad y _ { lambda} ^ {i} circ Gamma = Gamma _ { lambda} ^ {i} ,,}

svazku trysek $J 1 Y \to Y$ , a naopak. Je to afinní svazek po vzoru a vektorový svazek

{ displaystyle left (Y times _ {X} T ^ {*} X right) otimes _ {Y} mathrm {V} Y to Y ,.}

(4)

Existují následující důsledky této skutečnosti.

Připojení na vláknitém potrubí

Y \to X

tvoří afinní prostor modelováno na vektorovém prostoru pájecí formy

{ displaystyle sigma = sigma _ { mu} ^ {i} dx ^ { mu} další částečné _ {i}}

(5)

na

Y \to X

, tj. části vektorového svazku 4.

Koeficienty připojení mají zákon transformace souřadnic
${ displaystyle { Gamma '} _ { lambda} ^ {i} = { frac { částečné x ^ { mu}} { částečné {x'} ^ { lambda}}}} vlevo ( částečné _ { mu} {y '} ^ {i} + Gamma _ { mu} ^ {j} částečné _ {j} {y'} ^ {i} vpravo) ,.}$
Každé připojení $Γ$ na vláknitém potrubí $Y \to X$ přináší první objednávku operátor diferenciálu
${ displaystyle D _ { Gamma}: mathrm {J} ^ {1} Y až _ {Y} mathrm {T} ^ {*} X otimes _ {Y} mathrm {V} Y ,, qquad D _ { Gamma} = left (y _ { lambda} ^ {i} - Gamma _ { lambda} ^ {i} right) dx ^ { lambda} otimes částečné _ {i} ,,}$
na $Y$ volal kovarianční diferenciál vzhledem k připojení $Γ$ . Li $s : X \to Y$ je část, její kovariantní diferenciál
${ displaystyle nabla ^ { Gamma} s = left ( částečné _ { lambda} s ^ {i} - Gamma _ { lambda} ^ {i} circ s right) dx ^ { lambda } otimes částečné _ {i} ,,}$
a kovarianční derivace
${ displaystyle nabla _ { tau} ^ { Gamma} s = tau rfloor nabla ^ { Gamma} s}$
podél vektorového pole $τ$ na $X$ jsou definovány.

Zakřivení a kroucení

Vzhledem k propojení $Γ$ 3 na vláknitém potrubí $Y \to X$ , své zakřivení je definován jako Nijenhuisův rozdíl

{ displaystyle { begin {aligned} R & = { tfrac {1} {2}} d _ { Gamma} Gamma & = { tfrac {1} {2}} [ Gamma, Gamma] _ { mathrm {FN}} & = { tfrac {1} {2}} R _ { lambda mu} ^ {i} , dx ^ { lambda} klín dx ^ { mu} otimes částečné _ {i} ,, R _ { lambda mu} ^ {i} & = částečné _ { lambda} gama _ { mu} ^ {i} - částečné _ { mu} Gamma _ { lambda} ^ {i} + Gamma _ { lambda} ^ {j} částečné _ {j} Gamma _ { mu} ^ {i} - Gamma _ { mu} ^ { j} částečné _ {j} Gamma _ { lambda} ^ {i} ,. end {zarovnáno}}}

Toto je horizontální dvouformát s vertikální hodnotou $Y$ .

Vzhledem k propojení $Γ$ 3 a pájecí forma $σ$ 5, a kroucení z $Γ$ s ohledem na $σ$ je definován jako

{ displaystyle T = d _ { Gamma} sigma = left ( částečné _ { lambda} sigma _ { mu} ^ {i} + gamma _ { lambda} ^ {j} částečné _ { j} sigma _ { mu} ^ {i} - částečné _ {j} gama _ { lambda} ^ {i} sigma _ { mu} ^ {j} vpravo) , dx ^ { lambda} wedge dx ^ { mu} další částečné _ {i} ,.}

Balíček hlavních připojení

Nechat $π : P \to M$ být hlavní balíček se strukturou Lie skupiny $G$ . A hlavní připojení na $P$ obvykle je popsán spojením s algebrickou ležovou formou v jedné formě $P$ . Zároveň je zapnuto hlavní připojení $P$ je globální sekce svazku trysek $J 1 P \to P$ který je ekvivariant s ohledem na kánonickou pravou akci $G$ v $P$ . Proto je reprezentován globální částí svazku kvocientů $C = J 1 P / G \to M$ , volal svazek hlavních připojení. Je to afinní svazek modelováno na vektorovém svazku $PROTI P / G \to M$ jehož typickým vláknem je Lež algebra $G$ skupiny struktur $G$ , a kde $G$ jedná podle adjunkční reprezentace. Existuje kanonické vnoření $C$ do kvocientu $T P / G$ který se také nazývá svazek hlavních připojení.

Daný základ ${E m}$ pro Lieovu algebru o $G$ svazek vláken $C$ je obdařen souřadnicemi svazku $(X μ, A m μ)$ a jeho sekce jsou reprezentovány vektorové formy s jednou hodnotou

{ displaystyle A = dx ^ { lambda} otimes left ( částečné _ { lambda} + a _ { lambda} ^ {m} { mathrm {e}} _ {m} vpravo) ,, }

kde

{ displaystyle a _ { lambda} ^ {m} , dx ^ { lambda} otimes { mathrm {e}} _ {m}}

jsou známé místní formuláře připojení na $M$ .

Všimněte si, že svazek trysek $J 1 C$ z $C$ je konfigurační prostor z Teorie měřidla Yang – Mills. Připouští kanonický rozklad

{ displaystyle { begin {aligned} a _ { lambda mu} ^ {r} & = { tfrac {1} {2}} left (F _ { lambda mu} ^ {r} + S _ { lambda mu} ^ {r} right) & = { tfrac {1} {2}} left (a _ { lambda mu} ^ {r} + a _ { mu lambda} ^ {r } -c_ {pq} ^ {r} a _ { lambda} ^ {p} a _ { mu} ^ {q} right) + { tfrac {1} {2}} left (a _ { lambda mu} ^ {r} -a _ { mu lambda} ^ {r} + c_ {pq} ^ {r} a _ { lambda} ^ {p} a _ { mu} ^ {q} vpravo) , , end {zarovnáno}}}

kde

{ displaystyle F = { tfrac {1} {2}} F _ { lambda mu} ^ {m} , dx ^ { lambda} klín dx ^ { mu} otimes { mathrm {e} } _ {m}}

se nazývá forma síly hlavního připojení.

Viz také

Poznámky

^ Krupka, Demeter; Janyška, Josef (1990). Přednášky o diferenciálních invariantech. Univerzita J. E. Purkyně v Brně. p. 174. ISBN 80-210-0165-8.

Reference

Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Přirozené operátory v diferenciální geometrii (PDF). Springer-Verlag. Archivovány od originál (PDF) dne 2017-03-30. Citováno 2013-05-28.
Krupka, Demeter; Janyška, Josef (1990). Přednášky o diferenciálních invariantech. Univerzita J. E. Purkyně v Brně. ISBN 80-210-0165-8.
Saunders, D.J. (1989). Geometrie svazků trysek. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36948-7.
Mangiarotti, L .; Sardanashvily, G. (2000). Spojení v teorii klasického a kvantového pole. World Scientific. ISBN 981-02-2013-8.
Sardanashvily, G. (2013). Pokročilá diferenciální geometrie pro teoretiky. Svazky vláken, proudová potrubí a Lagrangeova teorie. Lambert Academic Publishing. arXiv:0908.1886. Bibcode:2009arXiv0908.1886S. ISBN 978-3-659-37815-7.

[1] Krupka, Demeter; Janyška, Josef (1990). Přednášky o diferenciálních invariantech. Univerzita J. E. Purkyně v Brně. p. 174. ISBN 80-210-0165-8.

[1]