Vláknité potrubí - Fibered manifold

v diferenciální geometrie, v kategorii diferencovatelné potrubí, a vláknité potrubí je surjektivní ponoření

{ displaystyle pi dvojtečka E až B ,}

tj. surjektivní diferencovatelné mapování tak, že v každém bodě $y \in E$ tečné mapování

{ displaystyle T_ {y} pi dvojtečka T_ {y} E až T _ { pi (y)} B}

je surjective, nebo ekvivalentně, jeho pozice se rovná matné $B$ .^[1]

Dějiny

v topologie, slova vlákno (Faser v němčině) a vláknový prostor (gefaserter Raum) se poprvé objevil v příspěvku od Seifert v roce 1932, ale jeho definice jsou omezeny na velmi zvláštní případ.^[2] Hlavní rozdíl od dnešní koncepce vláknového prostoru však spočíval v tom, že pro Seiferta se nyní říká základní prostor (topologický prostor) optického (topologického) prostoru E nebyl součástí struktury, ale byl z ní odvozen jako kvocientový prostor E. První definice vláknový prostor darováno Hassler Whitney v roce 1935 pod názvem sférický prostor, ale v roce 1940 Whitney změnila název na koule svazek.^[3]^[4]

Teorie vláknitých prostorů, z toho vektorové svazky, hlavní svazky, topologické fibrace a vláknitá potrubí jsou zvláštní případ, připisuje se Seifert, Hopf, Feldbau, Whitney, Steenrod, Ehresmann, Serre, a další.^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]

Formální definice

Trojnásobný $(E, π, B)$ kde $E$ a $B$ jsou rozlišitelná potrubí a $π : E \to B$ je surjektivní ponoření, se nazývá a vláknité potrubí.^[10] E se nazývá celkový prostor, B se nazývá základna.

Příklady

Každý rozlišitelný svazek vláken je vláknité potrubí.
Každý rozlišitelný pokrývající prostor je vláknité potrubí s diskrétním vláknem.
Obecně platí, že vláknitý potrubí nemusí být svazek vláken: různá vlákna mohou mít různé topologie. Příklad tohoto jevu lze zkonstruovat pomocí triviálního svazku $(S 1 \times ℝ, π 1, S 1)$ a odstranění dvou bodů ve dvou různých vláknech přes základní potrubí $S 1$ Výsledkem je nové vláknité potrubí, kde jsou spojena všechna vlákna kromě dvou.

Vlastnosti

Jakékoli surjektivní ponoření $π : E \to B$ je otevřené: pro každé otevřené $PROTI \subset E$ , sada $π (PROTI) \subset B$ je otevřen v $B$ .
Každé vlákno $π -1 (b) \subset E, b \in B$ je uzavřený vložený podmanifold z $E$ dimenze $ztlumit E - dim B$ .^[11]
Vláknité potrubí připouští místní sekce: Pro každou $y \in E$ existuje otevřené sousedství $U$ z $π (y)$ v $B$ a plynulé mapování $s : U \to E$ s $π \circ s = Id U$ a $s (π (y)) = y$ .
Surjection $π : E \to B$ je vláknité potrubí, pokud existuje pouze místní sekce $s : B \to E$ z $π$ (s $π \circ s = Id B$ ) procházející každým z nich $y \in E$ .^[12]

Vláknité souřadnice

Nechat $B$ (resp. $E$ ) být $n$ -dimenzionální (resp. $str$ -dimenzionální) potrubí. Vláknité potrubí $(E, π, B)$ připouští vláknové grafy. Říkáme, že a schéma $(PROTI, ψ)$ na $E$ je vláknový graf, nebo je přizpůsobeno k surjektivnímu ponoření $π : E \to B$ pokud existuje graf $(U, φ)$ na $B$ takhle $U = π (PROTI)$ a

{ displaystyle u ^ {1} = x ^ {1} circ pi, , u ^ {2} = x ^ {2} circ pi, , dots, , u ^ {n} = x ^ {n} circ pi ,,}

kde

{ displaystyle { begin {aligned} psi & = (u ^ {1}, dots, u ^ {n}, y ^ {1}, dots, y ^ {pn}). quad y_ {0 } ve V, varphi & = (x ^ {1}, dots, x ^ {n}), quad pi (y_ {0}) v U. end {zarovnáno}}}

Výše uvedená podmínka grafu vlákna může být ekvivalentně vyjádřena

{ displaystyle varphi circ pi = mathrm {pr} _ {1} circ psi,}

kde

{ displaystyle { mathrm {pr} _ {1}} dvojtečka { mathbb {R} ^ {n}} krát { mathbb {R} ^ {pn}} až { mathbb {R} ^ { n}} ,}

je projekce na první $n$ souřadnice. Graf $(U, φ)$ je pak očividně jedinečný. S ohledem na výše uvedenou vlastnost vláknité souřadnice vláknového grafu $(PROTI, ψ)$ jsou obvykle označeny $ψ = (X i, y σ)$ kde $i \in {1, ..., n}$ , $σ \in {1, ..., m}$ , $m = str - n$ souřadnice příslušného grafu $U, φ)$ na $B$ jsou pak, se zjevnou konvencí, označeny $φ = (X i)$ kde $i \in {1, ..., n}$ .

Naopak, pokud se jedná o surjekci $π : E \to B$ připouští a vláknitý atlas, pak $π : E \to B$ je vláknité potrubí.

Místní trivializace a svazky vláken

Nechat $E \to B$ být vláknité potrubí a $PROTI$ jakékoli potrubí. Pak otevřená krytina ${U α}$ z $B$ společně s mapami

{ displaystyle psi: pi ^ {- 1} (U _ { alpha}) pravá šipka U _ { alpha} krát V,}

volala bagatelizační mapy, takový, že

{ displaystyle mathrm {pr} _ {1} circ psi _ { alpha} = pi, forall alpha}

je lokální bagatelizace s ohledem na $PROTI$ .^[13]

Vláknité potrubí spolu s potrubím $PROTI$ je svazek vláken s typické vlákno (nebo prostě vlákno) $PROTI$ pokud připouští místní bagatelizaci s ohledem na $PROTI$ . Atlas $Ψ = {(U α, ψ α)}$ se pak nazývá a atlas svazku.

Viz také

Poznámky

^ Kolář 1993, str. 11
^ Seifert 1932
^ Whitney 1935
^ Whitney 1940
^ Feldbau 1939
^ Ehresman 1947a
^ Ehresman 1947b
^ Ehresman 1955
^ Serre 1951
^ Krupka & Janyška 1990, str. 47
^ Giachetta, Mangiarotti a Sardanashvily 1997, str. 11
^ Giachetta, Mangiarotti a Sardanashvily 1997, str. 15
^ Giachetta, Mangiarotti a Sardanashvily 1997, str. 13

Reference

Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Přirozené operátory v diferenciální geometrii (PDF), Springer-Verlag, archivovány z originál (PDF) dne 2017-03-30, vyvoláno 2011-06-15
Krupka, Demeter; Janyška, Josef (1990), Přednášky o diferenciálních invariantechUniverzita J. E. Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
Saunders, D.J. (1989), Geometrie svazků trysek, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7
Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Sardanashvily, G. (1997). Nové Lagrangeovy a Hamiltonovské metody v teorii pole. World Scientific. ISBN 981-02-1587-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Historický

Ehresmann, C. (1947a). „Sur la théorie des espaces fibrés“. Sb. Horní. alg. Paříž (francouzsky). C.N.R.S .: 3–15.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Ehresmann, C. (1947b). "Sur les espaces fibrés différentiables". C. R. Acad. Sci. Paříž (francouzsky). 224: 1611–1612.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Ehresmann, C. (1955). "Les extendements d'un espace fibré différentiable". C. R. Acad. Sci. Paříž (francouzsky). 240: 1755–1757.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Feldbau, J. (1939). "Sur la klasifikace des espaces fibrés". C. R. Acad. Sci. Paříž (francouzsky). 208: 1621–1623.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Seifert, H. (1932). „Topologie dreidimensionaler geschlossener Räume“. Acta Math. (francouzsky). 60: 147–238. doi:10.1007 / bf02398271.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Serre, J.-P. (1951). „Homologie singulière des espaces fibrés. Applications“. Ann. matematiky. (francouzsky). 54: 425–505. doi:10.2307/1969485.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Whitney, H. (1935). „Sphere spaces“. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 21: 464–468. doi:10.1073 / pnas.21.7.464. PMC 1076627. PMID 16588001.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Whitney, H. (1940). „K teorii svazků koulí“. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 26: 148–153. doi:10.1073 / pnas.26.2.148. PAN 0001338. PMC 1078023. PMID 16588328.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

McCleary, J. „Historie rozdělovačů a vláknových prostorů: želvy a zajíci“ (pdf).

[1] Kolář 1993, str. 11

[2] Seifert 1932

[3] Whitney 1935

[4] Whitney 1940

[5] Feldbau 1939

[6] Ehresman 1947a

[7] Ehresman 1947b

[8] Ehresman 1955

[9] Serre 1951

[10] Krupka & Janyška 1990, str. 47

[11] Giachetta, Mangiarotti a Sardanashvily 1997, str. 11

[12] Giachetta, Mangiarotti a Sardanashvily 1997, str. 15

[13] Giachetta, Mangiarotti a Sardanashvily 1997, str. 13

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]