Držák Frölicher – Nijenhuis - Frölicher–Nijenhuis bracket - Wikipedia

v matematika, Držák Frölicher – Nijenhuis je rozšířením Ležící závorka z vektorová pole na vektorové hodnotové diferenciální formy na diferencovatelné potrubí.

To je užitečné při studiu připojení, zejména Ehresmann spojení, jakož i v obecnější studii o projekce v tečný svazek.To představil Alfred Frölicher a Albert Nijenhuis (1956) a souvisí s prací Schouten (1940).

Souvisí to s, ale ne stejně jako Konzola Nijenhuis – Richardson a Držák Schouten – Nijenhuis.

Definice

Nechť Ω * (M) být snop z vnější algebry z diferenciální formy na hladké potrubí M. Tohle je odstupňovaná algebra ve kterém jsou formy odstupňovány podle stupně:

${ displaystyle Omega ^ {*} (M) = bigoplus _ {k = 0} ^ { infty} Omega ^ {k} (M).}$

A odstupňovaná derivace stupně ℓ je mapování

${ displaystyle D: Omega ^ {*} (M) až Omega ^ {* + l} (M)}$

který je lineární s ohledem na konstanty a vyhovuje

${ Displaystyle D ( alfa klín beta) = D ( alfa) klín beta + (- 1) ^ { ell deg ( alfa)} alfa klín D ( beta).}$

Tedy zejména vnitřní produkt s vektorem definuje odstupňovanou derivaci stupně ℓ = −1, zatímco vnější derivace je odstupňovaná derivace stupně ℓ = 1.

Vektorový prostor všech derivací stupně ℓ je označen Der_ℓΩ * (M). Přímý součet těchto prostorů je a odstupňovaný vektorový prostor jehož homogenní složky se skládají ze všech odstupňovaných derivací daného stupně; je označeno

${ displaystyle mathrm {Der} , Omega ^ {*} (M) = bigoplus _ {k = - infty} ^ { infty} mathrm {Der} _ {k} , Omega ^ { *} (M).}$

Toto tvoří a klasifikovaná Lieova superalgebra pod antikomutátorem derivací definovaných na homogenních derivacích D₁ a D₂ stupňů d₁ a d₂, v uvedeném pořadí

${ displaystyle [D_ {1}, D_ {2}] = D_ {1} cirkus D_ {2} - (- 1) ^ {d_ {1} d_ {2}} D_ {2} cirkus D_ {1 }.}$

Žádný vektorová diferenciální forma K. v Ω^k(M, TM) s hodnotami v tečný svazek z M definuje odstupňovanou derivaci stupně k - 1, označeno i_K.a zavolal operátor vložení. Pro ω ∈ Ω^ℓ(M),

${ displaystyle i_ {K} , omega (X_ {1}, tečky, X_ {k + ell -1}) = { frac {1} {k! ( ell -1)!}} součet _ { sigma in {S} _ {k + ell -1}} { textrm {sign}} , sigma cdot omega (K (X _ { sigma (1)}, dots, X_ { sigma (k)}), X _ { sigma (k + 1)}, dots, X _ { sigma (k + ell -1)})}$

The Derivát Nijenhuis – Lie podél K. ∈ Ω^k(M, TM) je definován

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {K} = [d, i_ {K}] = d , { circ} , i_ {K} - (- 1) ^ {k-1} i_ { K} { circ} , d}$

kde d je vnější derivát a i_K. je operátor vložení.

Držák Frölicher – Nijenhuis je definován jako jedinečná diferenciální forma s vektorovou hodnotou

${ displaystyle [ cdot, cdot] _ {FN}: Omega ^ {k} (M, mathrm {T} M) krát Omega ^ { ell} (M, mathrm {T} M) to Omega ^ {k + ell} (M, mathrm {T} M) :( K, L) mapsto [K, L] _ {FN}}$

takhle

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {[K, L] _ {FN}} = [{ mathcal {L}} _ {K}, { mathcal {L}} _ {L}].}$

Proto,

${ displaystyle [K, L] _ {FN} = - (- 1) ^ {kl} [L, K] _ {FN}.}$

Li k = 0, takže K. ∈ Ω⁰(M, TM) je vektorové pole, získá se obvyklý homotopický vzorec pro Lieův derivát

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {K} = [d, i_ {K}] = d , { circ} , i_ {K} + i_ {K} , { circ} , d.}$

Li k=ℓ= 1, takže K, L. ∈ Ω¹(M, TM), jeden má pro všechna vektorová pole X a Y

${ displaystyle [K, L] _ {FN} (X, Y) = [KX, LY] + [LX, KY] + (KL + LK) [X, Y] -K ([LX, Y] + [ X, LY]) - L ([KX, Y] + [X, KY]).}$

Li k= 0 a ℓ= 1, takže K = Z∈ Ω⁰(M, TM) je vektorové pole a L ∈ Ω¹(M, TM), jeden má pro jakékoli vektorové pole X

${ displaystyle [Z, L] _ {FN} (X) = [Z, LX] -L [Z, X].}$

Výslovný vzorec pro skupinu Frölicher – Nijenhuis ${ displaystyle phi otimes X}$ a ${ displaystyle psi mnohokrát Y}$ (pro tvary φ a ψ a vektorová pole X a Y) darováno

${ displaystyle left. right. [ phi otimes X, psi otimes Y] _ {FN} = phi wedge psi otimes [X, Y] + phi wedge { mathcal {L }} _ {X} psi otimes Y - { mathcal {L}} _ {Y} phi wedge psi otimes X + (- 1) ^ { deg ( phi)} (d phi klín i_ {X} ( psi) krát Y + i_ {Y} ( phi) klín d psi krát X).}$

Odvození kruhu forem

Každá derivace Ω^*(M) lze psát jako

${ displaystyle i_ {L} + { mathcal {L}} _ {K}}$

pro jedinečné prvky K. a L Ω^*(M, TM). Ležecká závorka těchto derivací je uvedena následovně.

• Odvození formy ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {K}}$ tvoří Lieovu superalgebru všech odvozenin dojíždějících za d. Závorka je dána

${ displaystyle [{ mathcal {L}} _ {K_ {1}}, { mathcal {L}} _ {K_ {2}}] = { mathcal {L}} _ {[K_ {1}, K_ {2}]}}$

kde závorka vpravo je závorka Frölicher – Nijenhuis. Zejména držák Frölicher – Nijenhuis definuje a klasifikovaná Lieova algebra struktura zapnuta ${ displaystyle Omega (M, mathrm {T} M)}$, který rozšiřuje Ležící závorka z vektorová pole.

• Odvození formy ${ displaystyle i_ {L}}$ tvoří Lieovu superalgebru všech derivací mizejících na funkcích Ω⁰(M). Závorka je dána

${ displaystyle [i_ {L_ {1}}, i_ {L_ {2}}] = i _ {[L_ {1}, L_ {2}] ^ { land}}}$

kde závorka vpravo je Konzola Nijenhuis – Richardson.

• Závorka derivací různých typů je dána vztahem

${ displaystyle [{ mathcal {L}} _ {K}, i_ {L}] = i _ {[K, L]} - (- 1) ^ {kl} { mathcal {L}} _ {i_ { L} K}}$

pro K. v Ω^k(M, TM), L v Ω^{l + 1}(M, TM).

Aplikace

The Nijenhuis tensor z téměř složitá struktura J, je Frölicher – Nijenhuis skupina J sám se sebou. Téměř složitá struktura je složitá struktura právě tehdy, když je tenzor Nijenhuis nulový.

S držákem Frölicher – Nijenhuis je možné definovat zakřivení a zakřivení vektorové formy s hodnotou 1, což je a projekce. Tím se zobecňuje koncept zakřivení a spojení.

Existuje společné zobecnění držáku Schouten – Nijenhuis a držáku Frölicher – Nijenhuis; podrobnosti viz článek na webu Držák Schouten – Nijenhuis.

Reference

• Frölicher, A .; Nijenhuis, A. (1956), "Teorie vektorových hodnot diferenciálních forem. Část I.", Indagationes Mathematicae, 18: 338–360.
• Frölicher, A .; Nijenhuis, A. (1960), „Invariance operací vektorových formulářů pod mapováním“, Communicationes Mathematicae Helveticae, 34: 227–248, doi:10.1007 / bf02565938.
• P. W. Michor (2001) [1994], „Držák Frölicher – Nijenhuis“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Schouten, J. A. (1940), „Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen“, Indagationes Mathematicae, 2: 449–452.