Skupina Valentiner - Valentiner group

V matematice je Skupina Valentiner je perfektní trojitý obal střídavá skupina na 6 bodech, a je a skupina objednávky 1080. Nalezeno uživatelem Herman Valentiner  (1889 ) ve formě žaloby A₆ na složité projektivní rovině a byl dále studován Wiman (1896).

Všechny perfektní střídavé skupiny mají perfektní dvojité kryty. Ve většině případů se jedná o univerzální centrální prodloužení. Dvě výjimky jsou A₆ (jehož dokonalým trojitým obalem je skupina Valentiner) a A₇, jejichž univerzální centrální rozšíření mají středy řádu 6.

Zastoupení

• Střídavá skupina A₆ působí na složitou projektivní rovinu a Gerbaldi (1898) ukázal, že skupina působí na 6 kuželoseček z Gerbaldiho věta. To dává homomorfismus PGL₃(C) a jeho zvednutí k trojitému krytu GL₃(C) je skupina Valentiner. Toto vložení lze definovat přes pole generované 15. kořeny jednoty.
• Produkt skupiny Valentiner se skupinou řádu 2 je trojrozměrný komplexní reflexní skupina řádu 2160 vygenerovaných 45 komplexními odrazy řádu 2. Invarianty tvoří a polynomiální algebra s generátory stupňů 6, 12 a 30.
• Skupina Valentiner má komplexní neredukovatelné věrnosti skupinové reprezentace rozměrů 3, 3, 3, 3, 6, 6, 9, 9, 15, 15.
• Skupinu Valentiner lze reprezentovat jako monomiální symetrie hexakód, trojrozměrný podprostor F⁶
  ₄ překlenuto (001111), (111100) a (0101ωω), kde jsou prvky konečného pole F₄ jsou 0, 1, ω, ω.
• Skupina PGL₃(F₄) působí na 2-dimenzionální projektivní rovinu F₄ a působí na něj přechodně hyperovals (sady 6 bodů, takže žádné tři nejsou na řadě). Podskupina opravující hyperoval je kopií střídavé skupiny A₆. Zvedněte to na trojitý kryt GL₃(F₄) PGL₃(F₄) je skupina Valentiner.
• Crespo & Hajto (2005) popsal reprezentace skupiny Valentiner jako skupinu Galois a vydal rozkaz 3 diferenciální rovnice se skupinou Valentiner diferenciální Galoisova skupina.

Reference

• Coble, Arthur B. (1911), „Redukce sextové rovnice na Valentinův tvarový problém“, Mathematische Annalen, 70 (3): 337–350, doi:10.1007 / BF01564501, ISSN  0025-5831
• Crass, Scott (1999), „Řešení sextiky iterací: studium komplexní geometrie a dynamiky“, Experimentální matematika, 8 (3): 209–240, arXiv:matematika / 9903111, doi:10.1080/10586458.1999.10504401, ISSN  1058-6458, PAN  1724156
• Crespo, Teresa; Hajto, Zbigniew (2005), „Skupina Valentiner jako skupina Galois“, Proceedings of the American Mathematical Society, 133 (1): 51–56, doi:10.1090 / S0002-9939-04-07539-2, ISSN  0002-9939, PAN  2085152
• Gerbaldi, Francesco (1898), „Sul gruppo semplice di 360 collineazioni piane“, Mathematische Annalen, 50 (2–3): 473–476, doi:10.1007 / BF01448080, ISSN  0025-5831
• Valentiner, H. (1889), „De endelige Transformations-gruppers Theori“, Videnkabernes Selskabs Skrifter (v dánštině), 6
• Wiman, A. (1896), „Ueber eine einfache Gruppe von 360 ebenen Collineationen“, Mathematische Annalen, 47 (4): 531–556, doi:10.1007 / BF01445800, ISSN  0025-5831, JFM  27.0103.03