Centrální produkt - Central product
v matematika, zejména v oblasti teorie skupin, ústředním produktem je jedním ze způsobů výroby a skupina ze dvou menších skupin. Ústřední produkt je podobný produktu přímý produkt, ale v ústředním produktu dva izomorfní centrální podskupiny menších skupin je sloučeno do jedné centrální podskupiny produktu. Ústřední produkty jsou důležitou konstrukcí a lze je použít například ke klasifikaci zvláštní skupiny.
Definice
Existuje několik souvisejících, ale odlišných představ o ústředním produktu. Podobně jako přímý produkt existují interní i externí charakterizace a navíc existují variace, jak přísně je průnik faktorů řízen.
Skupina G je interní centrální produkt dvou podskupin H, K. pokud (1) G generuje H a K. a (2) každý prvek H dojíždí s každým prvkem K. (Gorenstein 1980, str. 29). Někdy je přísnější požadavek H ∩ K. je přesně stejné jako střed je uložen, jako v (Leedham-Green & McKay 2002, str. 32). Podskupiny H a K. se pak nazývají ústřední faktory G.
The externí centrální produkt je sestaven ze dvou skupin H a K., dvě podskupiny H1 ≤ Z (H), K.1 ≤ Z (K.) a izomorfismus skupiny θ:H1 → K.1. Externí centrální produkt je kvocient přímého produktu H × K. normální podskupinou N = { ( h, k ) : h v H1, k v K.1, a θ(h)⋅k = 1 }, (Gorenstein 1980, str. 29). Někdy je přísnější požadavek H1 = Z (H) a K.1 = Z (K.) je uložen, jako v (Leedham-Green & McKay 2002, str. 32).
Interní centrální produkt je isomorfní s externím centrálním produktem s H1 = K.1 = H ∩ K. a θ identita. Externí centrální produkt je interní centrální produkt obrazů H × 1 a 1 × K. ve skupině kvocientů . To je zobrazeno pro každou definici v (Gorenstein 1980, str. 29) a (Leedham-Green & McKay 2002, s. 32–33).
Všimněte si, že externí centrální produkt není obecně určen jeho faktory H a K. sama. Typ izomorfismu ústředního produktu bude záviset na izomorfismu θ. Je však dobře definován v některých významných situacích, například když H a K. jsou konečné zvláštní speciální skupiny a a .
Příklady
- The Skupina Pauli je ústředním produktem cyklická skupina a dihedrální skupina .
- Každý zvláštní skupina je ústředním produktem zvláštních zvláštních skupin zakázek str3.
- Vrstva konečné skupiny, tj. Podskupiny generované všemi podnormální jednoduché podskupiny, je ústředním produktem jednoduchých skupin ve smyslu Gorensteina.
Aplikace
The teorie reprezentace ústředních produktů je velmi podobná teorii reprezentace přímých produktů, a proto je dobře známa, (Gorenstein 1980, Ch. 3.7).
Ústřední produkty se vyskytují v mnoha strukturálních lematech, jako například (Gorenstein 1980, str. 350, Lemma 10.5.5), který se používá v George Glauberman Výsledkem je, že konečné skupiny připouštějí a Skupina Klein čtyři automatorphismů bez pevného bodu jsou řešitelný.
Reference
- Gorenstein, Daniel (1980), Konečné skupiny, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, PAN 0569209
- Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan (2002), Struktura skupin hlavního mocenského řádu, Monografie matematické společnosti v Londýně. Nová řada, 27, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853548-5, PAN 1918951