Geodetická konvexita - Geodesic convexity - Wikipedia

Tento článek je věcná přesnost je sporný. Relevantní diskuse je k dispozici na internetu diskusní stránka. Pomozte prosím zajistit, aby sporná prohlášení byla spolehlivě získáván. (Dubna 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika - konkrétně v Riemannova geometrie — geodetická konvexita je přirozené zobecnění konvexnost pro sady a funkce na Riemannovy rozdělovače. Je běžné upustit od předpony „geodesic“ a jednoduše odkazovat na „convexity“ množiny nebo funkce.

Definice

Nechť (M, G) být Riemannovo potrubí.

• Podmnožina C z M se říká, že je geodeticky konvexní množina pokud, s ohledem na jakékoli dva body v C, existuje jedinečná minimalizace geodetické obsažené uvnitř C který spojuje tyto dva body.
• Nechat C být geodeticky konvexní podmnožinou M. Funkce ${ displaystyle f: C až mathbf {R}}$ se říká, že (přísně) geodeticky konvexní funkce pokud složení

${ displaystyle f circ gamma: [0, T] to mathbf {R}}$

je (přísně) konvexní funkce v obvyklém smyslu pro každý geodetický oblouk rychlosti jednotky y : [0, T] → M obsažené uvnitř C.

Vlastnosti

• Geodeticky konvexní (podmnožina a) Riemannova potrubí je také a konvexní metrický prostor s ohledem na geodetickou vzdálenost.

Příklady

• Podmnožina n-dimenzionální Euklidovský prostor Eⁿ s obvyklou plochou metrikou je geodeticky konvexní kdyby a jen kdyby je konvexní v obvyklém smyslu a podobně pro funkce.
• „Severní polokoule“ dvourozměrné sféry S² s obvyklou metrikou je geodeticky konvexní. Podmnožina A z S² skládající se z těchto bodů s zeměpisná šířka dále na sever než 45 ° na jih ne geodeticky konvexní, protože minimalizující geodetická (velký kruh ) oblouk spojující dva odlišné body na jižní hranici A listy A (např. v případě dvou bodů vzdálených 180 ° v zeměpisná délka, geodetický oblouk prochází přes jižní pól).

Reference

• Rapcsák, Tamás (1997). Hladká nelineární optimalizace v R.ⁿ. Nekonvexní optimalizace a její aplikace. 19. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-4680-7. PAN  1480415.

• Udriste, Constantin (1994). Konvexní funkce a metody optimalizace na Riemannově potrubí. Matematika a její aplikace. 297. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-3002-1.