Součet Mittag-Leffler - Mittag-Leffler summation

V matematice Součet Mittag-Leffler je některá z několika variant Borelův součet možná metoda sčítání odlišný formální mocenské řady, představil Mittag-Leffler  (1908 )

Definice

Nechat

${ displaystyle y (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} y_ {k} z ^ {k}}$

být formální mocenské řady v z.

Definujte transformaci ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {B}} _ { alpha} y}$ z ${ displaystyle scriptstyle y}$ podle

${ displaystyle { mathcal {B}} _ { alpha} y (t) equiv sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {y_ {k}} { Gamma (1+ alfa k)}} t ^ {k}}$

Pak Součet Mittag-Leffler z y darováno

${ displaystyle lim _ { alpha rightarrow 0} { mathcal {B}} _ { alpha} y (z)}$

pokud každá částka konverguje a limit existuje.

Úzce související metoda sumace, nazývaná také Mittag-Lefflerova sumace, je uvedena následovně (Sansone & Gerretsen 1960 Předpokládejme, že se Borel transformuje ${ displaystyle { mathcal {B}} _ {1} y (z)}$ konverguje k analytická funkce blízko 0, které mohou být analyticky pokračovalo podél pozitivní skutečná osa na funkci rostoucí dostatečně pomalu, aby byl následující integrál dobře definován (jako nesprávný integrál). Pak Součet Mittag-Leffler z y darováno

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} { mathcal {B}} _ { alpha} y (t ^ { alpha} z) , dt}$

Když α = 1 toto je stejné jako Borelův součet.

Viz také

• Funkce Mittag-Leffler
• Nachbinova věta

Reference

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• „Mittag-Lefflerova metoda sčítání“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Mittag-Leffler, G. (1908), „Sur la représentation arithmétique des fonctions analytiques d'une variable complexe“, Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 6. – 11. Dubna 1908), Já, str. 67–86, archivovány od originál dne 24. 9. 2016, vyvoláno 2012-11-02
• Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan (1960), Přednášky o teorii funkcí komplexní proměnné. I. Holomorfní funkceP. Noordhoff, Groningen, PAN  0113988