Věta o uzavření Poncelety - Poncelets closure theorem - Wikipedia

Ilustrace Ponceletova porismu pro n = 3, trojúhelník, který je zapsán v jednom kruhu a ohraničuje další.

v geometrie, Poncelet porismus, někdy označované jako Ponceletova věta o uzavření, uvádí, že kdykoli a polygon je napsaný v jednom kuželovitý řez a popisuje jiný, polygon musí být součástí nekonečné rodiny polygonů, které jsou všechny vepsány do a ohraničují stejné dva kuželosečky.[1][2] Je pojmenována podle francouzského inženýra a matematika Jean-Victor Poncelet, který o tom napsal v roce 1822; nicméně trojúhelníkový případ byl objeven podstatně dříve, v roce 1746 William Chapple.[3]

Ponceletův porismus lze dokázat argumentem pomocí eliptická křivka, jejíž body představují kombinaci přímky tečné k jednomu kuželovitému a bodu křížení této přímky s druhým kuželovitým.

Prohlášení

Nechat C a D být dvě roviny kuželosečky. Pokud je možné najít, pro daný n > 2, jeden n-stranný polygon který je současně zapsán do C (což znamená, že všechny jeho vrcholy leží na C) a ohraničený kolem D (což znamená, že všechny jeho okraje jsou tečna na D), pak je možné najít nekonečně mnoho z nich. Každý bod C nebo D je vrchol nebo tangensa jednoho takového mnohoúhelníku.

Pokud jsou kuželosečky kruhy se nazývají polygony, které jsou zapsány do jednoho kruhu a jsou ohraničeny kolem druhého dvoustranné polygony, takže tento zvláštní případ Ponceletova porismu lze stručněji vyjádřit tvrzením, že každý bicentrický polygon je součástí nekonečné rodiny bicentrických polygonů s ohledem na stejné dva kruhy.[4]:str. 94

Důkazní skica

Pohled C a D jako křivky v složitá projektivní rovina P2. Pro jednoduchost to předpokládejme C a D setkat se příčně (to znamená, že každý průsečík těchto dvou je jednoduchý přechod). Pak Bézoutova věta, křižovatka C ∩ D dvou křivek se skládá ze čtyř komplexních bodů. Pro libovolný bod d v D, nechť ℓd být tečnou k D na d. Nechat X být podrodinou C × D skládající se z (C,d) takové, že ℓd prochází C. Dáno C, počet d s (C,d) ∈ X je 1, pokud C ∈ C ∩ D a 2 jinak. Tedy projekce X → C ≃ P1 představuje X jako kryt stupně 2 rozvětvený nad 4 body, tak X je eliptická křivka (jakmile zafixujeme základní bod X). Nechat být involucí X odeslání generála (C,d) do druhého bodu (C,d′) Se stejnou první souřadnicí. Jakákoli involuce eliptické křivky s pevným bodem, vyjádřená v zákoně o skupině, má formu X → p − X pro některé p, tak má tuto formu. Podobně projekce X → D je morfismus stupně 2 rozvětvený přes kontaktní body na D čtyř řádků tečna k oběma C a Da odpovídající involuce má formu X → q − X pro některé q. Tedy složení je překlad na X. Pokud je síla má pevný bod, tou silou musí být identita. Přeloženo zpět do jazyka C a D, to znamená, že pokud jeden bod C ∈ C (vybavené odpovídajícím d) vede k oběžné dráze, která se uzavírá (tj. dává n-gon), pak také každý bod. Degenerované případy, ve kterých C a D nejsou příčně vyplývající z argumentu limitu.

Viz také

Reference

  1. ^ Weisstein, Eric W. „Ponceletův porism.“ From MathWorld - A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html
  2. ^ King, Jonathan L. (1994). „Tři problémy při hledání opatření“. Amer. Matematika. Měsíční. 101: 609–628. doi:10.2307/2974690.
  3. ^ Del Centina, Andrea (2016), „Ponceletův porismus: dlouhý příběh obnovených objevů, já“, Archiv pro historii přesných věd, 70 (1): 1–122, doi:10.1007 / s00407-015-0163-r, PAN  3437893
  4. ^ Johnson, Roger A., Pokročilá euklidovská geometrie, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).
  • Bos, H. J. M.; Kers, C .; Oort, F .; Raven, D. W. „Ponceletova věta o uzavření“. Expositiones Mathematicae 5 (1987), č. 2. 4, 289–364.

externí odkazy