Hartogssova věta - Hartogss theorem - Wikipedia

v matematika, Hartogsova věta je zásadním výsledkem Friedrich Hartogs v teorii několik složitých proměnných. Zhruba řečeno uvádí, že „samostatně analytická“ funkce je spojitá. Přesněji řečeno, pokud ${ displaystyle F: { textbf {C}} ^ {n} do { textbf {C}}}$ je funkce, která je analytický v každé proměnné z_i, 1 ≤ i ≤ n, zatímco ostatní proměnné zůstávají konstantní F je spojitá funkce.

A důsledek je to funkce F je pak ve skutečnosti analytickou funkcí v n-variační smysl (tj. že lokálně má a Taylorova expanze ). Proto jsou „oddělená analytičnost“ a „analytičnost“ v teorii několika komplexních proměnných shodné pojmy.

Počínaje extra hypotézou, že funkce je spojitá (nebo omezená), je věta mnohem snazší dokázat a v této formě je známá jako Osgoodovo lemma.

Všimněte si, že neexistuje žádný analog teorém pro nemovitý proměnné. Pokud předpokládáme, že funkce ${ displaystyle f colon { textbf {R}} ^ {n} do { textbf {R}}}$ je rozlišitelný (nebo dokonce analytický ) v každé proměnné zvlášť, to není pravda ${ displaystyle f}$ bude nutně kontinuální. Protiklad ve dvou rozměrech je dán vztahem

{ displaystyle f (x, y) = { frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Pokud navíc definujeme ${ displaystyle f (0,0) = 0}$ , tato funkce má dobře definované částečné derivace v ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ v původu, ale není kontinuální v původu. (Opravdu limity v duchu ${ displaystyle x = y}$ a ${ displaystyle x = -y}$ nejsou stejné, takže neexistuje způsob, jak rozšířit definici ${ displaystyle f}$ zahrnout počátek a mít tam funkci spojitou.)

Reference

Steven G. Krantz. Teorie funkcí několika komplexních proměnných, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

externí odkazy

„Hartogsova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

Tento článek včlení materiál od Hartogsovy věty o samostatné analytičnosti PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.^{[mrtvý odkaz ]}. Ale url =http://planetmath.org/hartogsstheoremonseparateanalyticity je k dispozici.