Metoda dominantní rovnováhy - Method of dominant balance
V matematice je metoda dominantní rovnováhy se používá k určení asymptotického chování řešení k obyčejná diferenciální rovnice bez úplného vyřešení rovnice. Proces je iterativní, protože výsledek získaný provedením metody jednou lze použít jako vstup, když se metoda opakuje, k získání co nejvíce výrazů v asymptotická expanze podle přání.[1]
Proces probíhá následovně:
- Předpokládejme, že asymptotické chování má formu
- Udělejte informovaný odhad, které výrazy v ODR mohou být v mezích zájmu zanedbatelné.
- Zrušte tyto termíny a vyřešte výsledný jednodušší ODE.
- Zkontrolujte, zda je řešení v souladu s krokem 2. Je-li tomu tak, má jeden řídící faktor asymptotického chování; jinak je třeba místo toho v kroku 2 zkusit vynechat různé výrazy.
- Opakujte postup u vyšších objednávek, spoléhejte se na výše uvedený výsledek jako hlavní termín v řešení.
Příklad
Pro libovolné konstanty C a A, zvážit
Tuto diferenciální rovnici nelze přesně vyřešit. Je však užitečné zvážit, jak se řešení chovají ve velkém X: ukázalo se, že chová se jako tak jako X → ∞ .
Přísněji budeme mít , ne Protože nás zajímá chování y ve velkém X limit, změníme proměnné na y = exp (S(X)) a znovu vyjádřit ODR, pokud jde o S(X),
nebo
kde jsme použili produktové pravidlo a řetězové pravidlo vyhodnotit deriváty y.
Nyní předpokládat za prvé, že řešení tohoto ODE uspokojí
tak jako X → ∞, takže
tak jako X → ∞. Získejte dominantní asymptotické chování nastavením
Li splňuje výše uvedené asymptotické podmínky, pak je výše uvedený předpoklad konzistentní. Podmínky, které jsme zrušili, budou ve srovnání s těmi, které jsme ponechali, zanedbatelné.
není řešením ODR pro S, ale představuje dominantní asymptotické chování, o co nás zajímá. Zkontrolujte, zda je tato volba pro je konzistentní,
Všechno je skutečně konzistentní.
Bylo tedy nalezeno dominantní asymptotické chování řešení naší ODE,
Podle konvence je celá asymptotická řada psána jako
abychom získali alespoň první člen této řady, musíme udělat další krok, abychom zjistili, zda existuje síla X zepředu.
Pokračujte zavedením nové proměnné závislé na podjímání,
a pak hledat asymptotická řešení C(X). Nahrazení do výše uvedené ODR pro S(X) shledáváme
Opakujeme stejný proces jako předtím, pokračujeme C' a (C − A)/X najít to
Hlavní asymptotické chování je tedy
Viz také
Reference
- ^ Bender, C.M.; Orszag, S.A. (1999). Pokročilé matematické metody pro vědce a inženýry. Springer. 549–568. ISBN 0-387-98931-5.