V matematice Watsonovo lemma , prokázáno G. N. Watson (1918, s. 133), má významné uplatnění v rámci teorie o asymptotické chování z integrály .
Prohlášení o lemmatu Nechat 0 < T ≤ ∞ { displaystyle 0 být opraven. Převzít φ ( t ) = t λ G ( t ) { displaystyle varphi (t) = t ^ { lambda} , g (t)} , kde G ( t ) { displaystyle g (t)} má nekonečné množství derivátů v sousedství t = 0 { displaystyle t = 0} , s G ( 0 ) ≠ 0 { displaystyle g (0) neq 0} , a λ > − 1 { displaystyle lambda> -1} .
Předpokládejme navíc, buď to
| φ ( t ) | < K. E b t ∀ t > 0 , { displaystyle | varphi (t) | 0,} kde K. , b { displaystyle K, b} jsou nezávislé na t { displaystyle t} nebo tak
∫ 0 T | φ ( t ) | d t < ∞ . { displaystyle int _ {0} ^ {T} | varphi (t) | , mathrm {d} t < infty.} Pak je pravda, že pro všechny pozitivní X { displaystyle x} že
| ∫ 0 T E − X t φ ( t ) d t | < ∞ { displaystyle left | int _ {0} ^ {T} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t vpravo | < infty} a to následující asymptotická ekvivalence drží:
∫ 0 T E − X t φ ( t ) d t ∼ ∑ n = 0 ∞ G ( n ) ( 0 ) Γ ( λ + n + 1 ) n ! X λ + n + 1 , ( X > 0 , X → ∞ ) . { displaystyle int _ {0} ^ {T} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t sim sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {g ^ {(n)} (0) Gamma ( lambda + n + 1)} {n! x ^ { lambda + n + 1}}}, (x> 0, x rightarrow infty).} Viz například Watson (1918) pro původní doklad nebo Miller (2006) pro novější vývoj.
Důkaz Prokážeme verzi Watsonova lemmatu, která to předpokládá | φ ( t ) | { displaystyle | varphi (t) |} má nanejvýš exponenciální růst jako t → ∞ { displaystyle t to infty} . Základní myšlenka za důkazem je, že se budeme přibližovat G ( t ) { displaystyle g (t)} konečně mnoha termíny své Taylorovy řady. Vzhledem k tomu, deriváty G { displaystyle g} předpokládá se, že existují pouze v sousedství původu, budeme v podstatě postupovat odstraněním ocasu integrálu, použitím Taylorova věta se zbytkem ve zbývajícím malém intervalu, poté na konci přidáme ocas zpět. V každém kroku pečlivě odhadneme, kolik zahodíme nebo přidáme. Tento důkaz je modifikací toho, který se nachází v Miller (2006) .
Nechat 0 < T ≤ ∞ { displaystyle 0 a předpokládejme to φ { displaystyle varphi} je měřitelná funkce formuláře φ ( t ) = t λ G ( t ) { displaystyle varphi (t) = t ^ { lambda} g (t)} , kde λ > − 1 { displaystyle lambda> -1} a G { displaystyle g} má v intervalu nekonečné množství spojitých derivací [ 0 , δ ] { displaystyle [0, delta]} pro některé 0 < δ < T { displaystyle 0 < delta , a to | φ ( t ) | ≤ K. E b t { displaystyle | varphi (t) | leq Ke ^ {bt}} pro všechny δ ≤ t ≤ T { displaystyle delta leq t leq T} , kde konstanty K. { displaystyle K} a b { displaystyle b} jsou nezávislé na t { displaystyle t} .
Můžeme ukázat, že integrál je konečný pro X { displaystyle x} dostatečně velká na psaní
( 1 ) ∫ 0 T E − X t φ ( t ) d t = ∫ 0 δ E − X t φ ( t ) d t + ∫ δ T E − X t φ ( t ) d t { displaystyle (1) quad int _ {0} ^ {T} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t = int _ {0} ^ { delta} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t + int _ { delta} ^ {T} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t} a odhad každého termínu.
První termín máme
| ∫ 0 δ E − X t φ ( t ) d t | ≤ ∫ 0 δ E − X t | φ ( t ) | d t ≤ ∫ 0 δ | φ ( t ) | d t { displaystyle left | int _ {0} ^ { delta} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t vpravo | leq int _ {0} ^ { delta} e ^ {- xt} | varphi (t) | , mathrm {d} t leq int _ {0} ^ { delta} | varphi (t) | , mathrm {d} t} pro X ≥ 0 { displaystyle x geq 0} , kde poslední integrál je konečný podle předpokladů, že G { displaystyle g} je spojitý na intervalu [ 0 , δ ] { displaystyle [0, delta]} a to λ > − 1 { displaystyle lambda> -1} . Pro druhý termín použijeme předpoklad, že φ { displaystyle varphi} je exponenciálně ohraničen, aby to viděl, pro X > b { displaystyle x> b} ,
| ∫ δ T E − X t φ ( t ) d t | ≤ ∫ δ T E − X t | φ ( t ) | d t ≤ K. ∫ δ T E ( b − X ) t d t ≤ K. ∫ δ ∞ E ( b − X ) t d t = K. E ( b − X ) δ X − b . { displaystyle { begin {zarovnáno} left | int _ { delta} ^ {T} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t right | & leq int _ { delta} ^ {T} e ^ {- xt} | varphi (t) | , mathrm {d} t & leq K int _ { delta} ^ {T} e ^ { (bx) t} , mathrm {d} t & leq K int _ { delta} ^ { infty} e ^ {(bx) t} , mathrm {d} t & = K , { frac {e ^ {(bx) delta}} {xb}}. End {zarovnáno}}} Konečnost původního integrálu pak vyplývá z aplikace nerovnosti trojúhelníku na ( 1 ) { displaystyle (1)} .
Z výše uvedeného výpočtu můžeme odvodit, že
( 2 ) ∫ 0 T E − X t φ ( t ) d t = ∫ 0 δ E − X t φ ( t ) d t + Ó ( X − 1 E − δ X ) { displaystyle (2) quad int _ {0} ^ {T} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t = int _ {0} ^ { delta} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t + O vlevo (x ^ {- 1} e ^ {- delta x} vpravo)} tak jako X → ∞ { displaystyle x to infty} .
Odvoláním na Taylorova věta se zbytkem víme to pro každé celé číslo N ≥ 0 { displaystyle N geq 0} ,
G ( t ) = ∑ n = 0 N G ( n ) ( 0 ) n ! t n + G ( N + 1 ) ( t ∗ ) ( N + 1 ) ! t N + 1 { displaystyle g (t) = součet _ {n = 0} ^ {N} { frac {g ^ {(n)} (0)} {n!}} , t ^ {n} + { frac {g ^ {(N + 1)} (t ^ {*})} {(N + 1)!}} , t ^ {N + 1}} pro 0 ≤ t ≤ δ { displaystyle 0 leq t leq delta} , kde 0 ≤ t ∗ ≤ t { displaystyle 0 leq t ^ {*} leq t} . Připojením k prvnímu termínu v ( 2 ) { displaystyle (2)} dostaneme
( 3 ) ∫ 0 δ E − X t φ ( t ) d t = ∫ 0 δ E − X t t λ G ( t ) d t = ∑ n = 0 N G ( n ) ( 0 ) n ! ∫ 0 δ t λ + n E − X t d t + 1 ( N + 1 ) ! ∫ 0 δ G ( N + 1 ) ( t ∗ ) t λ + N + 1 E − X t d t . { displaystyle { begin {aligned} (3) quad int _ {0} ^ { delta} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t & = int _ {0 } ^ { delta} e ^ {- xt} t ^ { lambda} g (t) , mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ {N} { frac { g ^ {(n)} (0)} {n!}} int _ {0} ^ { delta} t ^ { lambda + n} e ^ {- xt} , mathrm {d} t + { frac {1} {(N + 1)!}} int _ {0} ^ { delta} g ^ {(N + 1)} (t ^ {*}) , t ^ { lambda + N +1} e ^ {- xt} , mathrm {d} t. End {zarovnáno}}} K vázání pojmu zahrnujícího zbytek použijeme předpoklad, že G ( N + 1 ) { displaystyle g ^ {(N + 1)}} je spojitý na intervalu [ 0 , δ ] { displaystyle [0, delta]} a zejména je to tam ohraničeno. Vidíme to jako takové
| ∫ 0 δ G ( N + 1 ) ( t ∗ ) t λ + N + 1 E − X t d t | ≤ sup t ∈ [ 0 , δ ] | G ( N + 1 ) ( t ) | ∫ 0 δ t λ + N + 1 E − X t d t < sup t ∈ [ 0 , δ ] | G ( N + 1 ) ( t ) | ∫ 0 ∞ t λ + N + 1 E − X t d t = sup t ∈ [ 0 , δ ] | G ( N + 1 ) ( t ) | Γ ( λ + N + 2 ) X λ + N + 2 . { displaystyle { begin {zarovnáno} left | int _ {0} ^ { delta} g ^ {(N + 1)} (t ^ {*}) , t ^ { lambda + N + 1 } e ^ {- xt} , mathrm {d} t vpravo | & leq sup _ {t v [0, delta]} vlevo | g ^ {(N + 1)} (t) right | int _ {0} ^ { delta} t ^ { lambda + N + 1} e ^ {- xt} , mathrm {d} t & < sup _ {t in [ 0, delta]} left | g ^ {(N + 1)} (t) right | int _ {0} ^ { infty} t ^ { lambda + N + 1} e ^ {- xt } , mathrm {d} t & = sup _ {t in [0, delta]} left | g ^ {(N + 1)} (t) right | , { frac { Gamma ( lambda + N + 2)} {x ^ { lambda + N + 2}}}. End {zarovnáno}}} Zde jsme využili skutečnost, že
∫ 0 ∞ t A E − X t d t = Γ ( A + 1 ) X A + 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} t ^ {a} e ^ {- xt} , mathrm {d} t = { frac { Gamma (a + 1)} {x ^ { a + 1}}}} -li X > 0 { displaystyle x> 0} a A > − 1 { displaystyle a> -1} , kde Γ { displaystyle Gamma} je funkce gama .
Z výše uvedeného výpočtu vidíme z ( 3 ) { displaystyle (3)} že
( 4 ) ∫ 0 δ E − X t φ ( t ) d t = ∑ n = 0 N G ( n ) ( 0 ) n ! ∫ 0 δ t λ + n E − X t d t + Ó ( X − λ − N − 2 ) { displaystyle (4) quad int _ {0} ^ { delta} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t = součet _ {n = 0} ^ {N } { frac {g ^ {(n)} (0)} {n!}} int _ {0} ^ { delta} t ^ { lambda + n} e ^ {- xt} , mathrm {d} t + O vlevo (x ^ {- lambda -N-2} vpravo)} tak jako X → ∞ { displaystyle x to infty} .
Nyní přidáme ocasy ke každému integrálu v ( 4 ) { displaystyle (4)} . Pro každého n { displaystyle n} my máme
∫ 0 δ t λ + n E − X t d t = ∫ 0 ∞ t λ + n E − X t d t − ∫ δ ∞ t λ + n E − X t d t = Γ ( λ + n + 1 ) X λ + n + 1 − ∫ δ ∞ t λ + n E − X t d t , { displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ { delta} t ^ { lambda + n} e ^ {- xt} , mathrm {d} t & = int _ {0} ^ { infty} t ^ { lambda + n} e ^ {- xt} , mathrm {d} t- int _ { delta} ^ { infty} t ^ { lambda + n} e ^ { -xt} , mathrm {d} t [5pt] & = { frac { Gamma ( lambda + n + 1)} {x ^ { lambda + n + 1}}} - int _ { delta} ^ { infty} t ^ { lambda + n} e ^ {- xt} , mathrm {d} t, end {zarovnáno}}} a ukážeme, že zbývající integrály jsou exponenciálně malé. Opravdu, pokud provedeme změnu proměnných t = s + δ { displaystyle t = s + delta} dostaneme
∫ δ ∞ t λ + n E − X t d t = ∫ 0 ∞ ( s + δ ) λ + n E − X ( s + δ ) d s = E − δ X ∫ 0 ∞ ( s + δ ) λ + n E − X s d s ≤ E − δ X ∫ 0 ∞ ( s + δ ) λ + n E − s d s { displaystyle { begin {aligned} int _ { delta} ^ { infty} t ^ { lambda + n} e ^ {- xt} , mathrm {d} t & = int _ {0} ^ { infty} (s + delta) ^ { lambda + n} e ^ {- x (s + delta)} , ds [5pt] & = e ^ {- delta x} int _ { 0} ^ { infty} (s + delta) ^ { lambda + n} e ^ {- xs} , ds [5pt] & leq e ^ {- delta x} int _ {0} ^ { infty} (s + delta) ^ { lambda + n} e ^ {- s} , ds end {zarovnáno}}} pro X ≥ 1 { displaystyle x geq 1} , aby
∫ 0 δ t λ + n E − X t d t = Γ ( λ + n + 1 ) X λ + n + 1 + Ó ( E − δ X ) tak jako X → ∞ . { displaystyle int _ {0} ^ { delta} t ^ { lambda + n} e ^ {- xt} , mathrm {d} t = { frac { gama ( lambda + n + 1 )} {x ^ { lambda + n + 1}}} + O left (e ^ {- delta x} right) { text {as}} x to infty.} Pokud dosadíme tento poslední výsledek do ( 4 ) { displaystyle (4)} najdeme to
∫ 0 δ E − X t φ ( t ) d t = ∑ n = 0 N G ( n ) ( 0 ) Γ ( λ + n + 1 ) n ! X λ + n + 1 + Ó ( E − δ X ) + Ó ( X − λ − N − 2 ) = ∑ n = 0 N G ( n ) ( 0 ) Γ ( λ + n + 1 ) n ! X λ + n + 1 + Ó ( X − λ − N − 2 ) { displaystyle { begin {seřazeno} int _ {0} ^ { delta} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { N} { frac {g ^ {(n)} (0) Gamma ( lambda + n + 1)} {n! X ^ { lambda + n + 1}}} + O left (e ^ {- delta x} right) + O left (x ^ {- lambda -N-2} right) & = sum _ {n = 0} ^ {N} { frac {g ^ {(n)} (0) Gamma ( lambda + n + 1)} {n! x ^ { lambda + n + 1}}} + O left (x ^ {- lambda -N -2} vpravo) konec {zarovnáno}}} tak jako X → ∞ { displaystyle x to infty} . Nakonec to dosadíme do ( 2 ) { displaystyle (2)} dospěli jsme k závěru, že
∫ 0 T E − X t φ ( t ) d t = ∑ n = 0 N G ( n ) ( 0 ) Γ ( λ + n + 1 ) n ! X λ + n + 1 + Ó ( X − λ − N − 2 ) + Ó ( X − 1 E − δ X ) = ∑ n = 0 N G ( n ) ( 0 ) Γ ( λ + n + 1 ) n ! X λ + n + 1 + Ó ( X − λ − N − 2 ) { displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ {T} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ {N } { frac {g ^ {(n)} (0) Gamma ( lambda + n + 1)} {n! x ^ { lambda + n + 1}}} + O left (x ^ {- lambda -N-2} right) + O left (x ^ {- 1} e ^ {- delta x} right) & = sum _ {n = 0} ^ {N} { frac {g ^ {(n)} (0) Gamma ( lambda + n + 1)} {n! x ^ { lambda + n + 1}}} + O left (x ^ { - lambda -N-2} right) end {zarovnáno}}} tak jako X → ∞ { displaystyle x to infty} .
Protože tento poslední výraz platí pro každé celé číslo N ≥ 0 { displaystyle N geq 0} to jsme tedy ukázali
∫ 0 T E − X t φ ( t ) d t ∼ ∑ n = 0 ∞ G ( n ) ( 0 ) Γ ( λ + n + 1 ) n ! X λ + n + 1 { displaystyle int _ {0} ^ {T} e ^ {- xt} varphi (t) , mathrm {d} t sim sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {g ^ {(n)} (0) Gamma ( lambda + n + 1)} {n! x ^ { lambda + n + 1}}}} tak jako X → ∞ { displaystyle x to infty} , kde je nekonečná řada interpretována jako asymptotická expanze daného integrálu.
Příklad Když 0 < A < b { displaystyle 0 , konfluentní hypergeometrická funkce prvního druhu má integrální zastoupení
1 F 1 ( A , b , X ) = Γ ( b ) Γ ( A ) Γ ( b − A ) ∫ 0 1 E X t t A − 1 ( 1 − t ) b − A − 1 d t , { displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a, b, x) = { frac { gama (b)} { gama (a) gama (ba)}} int _ {0} ^ {1} e ^ {xt} t ^ {a-1} (1-t) ^ {ba-1} , mathrm {d} t,} kde Γ { displaystyle Gamma} je funkce gama . Změna proměnných t = 1 − s { displaystyle t = 1-s} dá to do formy
1 F 1 ( A , b , X ) = Γ ( b ) Γ ( A ) Γ ( b − A ) E X ∫ 0 1 E − X s ( 1 − s ) A − 1 s b − A − 1 d s , { displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a, b, x) = { frac { gama (b)} { gama (a) gama (ba)}} , e ^ {x } int _ {0} ^ {1} e ^ {- xs} (1-s) ^ {a-1} s ^ {ba-1} , ds,} který je nyní přístupný použití Watsonova lemmatu. Brát λ = b − A − 1 { displaystyle lambda = b-a-1} a G ( s ) = ( 1 − s ) A − 1 { displaystyle g (s) = (1-s) ^ {a-1}} , Říká nám to Watsonovo lema
∫ 0 1 E − X s ( 1 − s ) A − 1 s b − A − 1 d s ∼ Γ ( b − A ) X A − b tak jako X → ∞ s X > 0 , { displaystyle int _ {0} ^ {1} e ^ {- xs} (1-s) ^ {a-1} s ^ {ba-1} , ds sim Gamma (ba) x ^ { ab} quad { text {as}} x to infty { text {with}} x> 0,} což nám umožňuje dospět k závěru, že
1 F 1 ( A , b , X ) ∼ Γ ( b ) Γ ( A ) X A − b E X tak jako X → ∞ s X > 0. { displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a, b, x) sim { frac { gama (b)} { gama (a)}} , x ^ {ab} e ^ { x} quad { text {as}} x to infty { text {with}} x> 0.} Reference Miller, P.D. (2006), Aplikovaná asymptotická analýza „Providence, RI: American Mathematical Society, str. 467, ISBN 978-0-8218-4078-8 .Watson, G. N. (1918), "Harmonické funkce spojené s parabolickým válcem" , Proceedings of the London Mathematical Society , 2 (17), s. 116–148, doi :10.1112 / plms / s2-17.1.116 .Ablowitz, M. J., Fokas, A. S. (2003). Složité proměnné: úvod a aplikace. Cambridge University Press .