Série Edgeworth - Edgeworth series

The Série Gram – Charlier A. (pojmenováno na počest Jørgen Pedersen Gram a Carl Charlier ) a Série Edgeworth (pojmenováno na počest Francis Ysidro Edgeworth ) jsou série že přibližné a rozdělení pravděpodobnosti pokud jde o jeho kumulanty.^[1] Série jsou stejné; ale uspořádání termínů (a tedy přesnost zkrácení řady) se liší.^[2] Klíčovou myšlenkou těchto expanzí je napsat charakteristická funkce distribuce, jejíž funkce hustoty pravděpodobnosti F je třeba aproximovat z hlediska charakteristické funkce distribuce se známými a vhodnými vlastnostmi a obnovit F přes inverzní Fourierova transformace.

Série Gram – Charlier A.

Zkoumáme spojitou náhodnou proměnnou. Nechat ${ displaystyle { hat {f}}}$ být charakteristickou funkcí jeho distribuce, jejíž hustotní funkce je F, a ${ displaystyle kappa _ {r}}$ své kumulanty. Rozšiřujeme se o známé rozdělení s funkcí hustoty pravděpodobnosti ψcharakteristická funkce ${ displaystyle { hat { psi}}}$a kumulanty ${ displaystyle gamma _ {r}}$. Hustota ψ je obecně zvolen jako normální distribuce, ale jsou možné i jiné možnosti. Podle definice kumulantů máme (viz Wallace, 1958)^[3]

${ displaystyle { hat {f}} (t) = exp left [ sum _ {r = 1} ^ { infty} kappa _ {r} { frac {(it) ^ {r}} {r!}} vpravo]}$ a

${ displaystyle { hat { psi}} (t) = exp left [ sum _ {r = 1} ^ { infty} gamma _ {r} { frac {(it) ^ {r} } {r!}} vpravo],}$

což dává následující formální identitu:

${ displaystyle { hat {f}} (t) = exp left [ sum _ {r = 1} ^ { infty} ( kappa _ {r} - gamma _ {r}) { frac {(it) ^ {r}} {r!}} vpravo] { hat { psi}} (t) ,.}$

Vlastnosti Fourierovy transformace ${ displaystyle (it) ^ {r} { hat { psi}} (t)}$ je Fourierova transformace ${ displaystyle (-1) ^ {r} [D ^ {r} psi] (- x)}$, kde D je operátor diferenciálu s ohledem na X. Tedy po změně ${ displaystyle x}$ s ${ displaystyle -x}$ na obou stranách rovnice najdeme pro F formální expanze

${ displaystyle f (x) = exp left [ sum _ {r = 1} ^ { infty} ( kappa _ {r} - gamma _ {r}) { frac {(-D) ^ {r}} {r!}} vpravo] psi (x) ,.}$

Li ψ je vybrána jako normální hustota

${ displaystyle phi (x) = { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma}} exp left [- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} vpravo]}$

se střední hodnotou a rozptylem daným vztahem F, to znamená, že ${ displaystyle mu = kappa _ {1}}$ a rozptyl ${ displaystyle sigma ^ {2} = kappa _ {2}}$, pak se stane expanze

${ displaystyle f (x) = exp left [ sum _ {r = 3} ^ { infty} kappa _ {r} { frac {(-D) ^ {r}} {r!}} right] phi (x),}$

od té doby ${ displaystyle gamma _ {r} = 0}$ pro všechny r > 2, protože vyšší kumulanty normálního rozdělení jsou 0. Rozšířením exponenciálního a sbírání členů podle pořadí derivací se dostáváme k sérii Gram – Charlier A. Taková expanze může být napsána kompaktně ve smyslu Polynomy zvonu tak jako

${ displaystyle exp left [ sum _ {r = 3} ^ { infty} kappa _ {r} { frac {(-D) ^ {r}} {r!}} right] = součet _ {n = 0} ^ { infty} B_ {n} (0,0, kappa _ {3}, ldots, kappa _ {n}) { frac {(-D) ^ {n} } {n!}}.}$

Od n-té derivace Gaussovy funkce ${ displaystyle phi}$ je uveden v termínech Poustevnický polynom tak jako

${ displaystyle phi ^ {(n)} (x) = { frac {(-1) ^ {n}} { sigma ^ {n}}} He_ {n} left ({ frac {x- mu} { sigma}} vpravo) phi (x),}$

to nám dává konečné vyjádření řady Gram – Charlier A as

${ displaystyle f (x) = phi (x) součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n! sigma ^ {n}}} B_ {n} (0, 0, kappa _ {3}, ldots, kappa _ {n}) He_ {n} left ({ frac {x- mu} { sigma}} right).}$

Integrace série nám dává kumulativní distribuční funkce

${ displaystyle F (x) = int _ {- infty} ^ {x} f (u) du = Phi (x) - phi (x) suma _ {n = 3} ^ { infty} { frac {1} {n! sigma ^ {n-1}}} B_ {n} (0,0, kappa _ {3}, ldots, kappa _ {n}) He_ {n-1 } left ({ frac {x- mu} { sigma}} right),}$

kde ${ displaystyle Phi}$ je CDF normálního rozdělení.

Pokud zahrneme pouze první dva opravné členy do normálního rozdělení, získáme

${ displaystyle f (x) přibližně { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma}} exp left [- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} vpravo] vlevo [1 + { frac { kappa _ {3}} {3! Sigma ^ {3}}} He_ {3} vlevo ({ frac {x- mu} { sigma}} right) + { frac { kappa _ {4}} {4! sigma ^ {4}}} He_ {4} left ({ frac {x- mu} { sigma}} vpravo) vpravo] ,,}$

s ${ displaystyle He_ {3} (x) = x ^ {3} -3x}$ a ${ displaystyle He_ {4} (x) = x ^ {4} -6x ^ {2} +3}$.

Upozorňujeme, že tento výraz není zaručeně kladný, a proto nejde o platné rozdělení pravděpodobnosti. Série Gram – Charlier A se v mnoha zajímavých případech liší - konverguje pouze tehdy, když ${ displaystyle f (x)}$ spadne rychleji než ${ displaystyle exp (- (x ^ {2}) / 4)}$ v nekonečnu (Cramér 1957). Pokud se nesbližuje, řada také není pravdivá asymptotická expanze, protože není možné odhadnout chybu expanze. Z tohoto důvodu je série Edgeworth (viz další část) obecně upřednostňována před sériemi Gram – Charlier A.

Série Edgeworth

Edgeworth vyvinul podobnou expanzi jako vylepšení teorém centrálního limitu.^[4] Výhodou řady Edgeworth je, že chyba je řízena, takže je pravdivá asymptotická expanze.

Nechat ${ displaystyle {Z_ {i} }}$ být posloupností nezávislé a identicky distribuované náhodné veličiny se střední hodnotou ${ displaystyle mu}$ a rozptyl ${ displaystyle sigma ^ {2}}$a nechte ${ displaystyle X_ {n}}$ být jejich standardizovanými částkami:

${ displaystyle X_ {n} = { frac {1} { sqrt {n}}} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {Z_ {i} - mu} { sigma} }.}$

Nechat ${ displaystyle F_ {n}}$ označit kumulativní distribuční funkce proměnných ${ displaystyle X_ {n}}$. Pak podle centrální limitní věty,

${ displaystyle lim _ {n to infty} F_ {n} (x) = Phi (x) equiv int _ {- infty} ^ {x} { tfrac {1} { sqrt { 2 pi}}} e ^ {- { frac {1} {2}} q ^ {2}} dq}$

pro každého ${ displaystyle x}$, pokud jsou průměr a rozptyl konečné.

Nyní předpokládejme, že kromě toho, že máme na mysli ${ displaystyle mu}$ a rozptyl ${ displaystyle sigma ^ {2}}$, i.i.d. náhodné proměnné ${ displaystyle Z_ {i}}$ mít vyšší kumulanty ${ displaystyle kappa _ {r}}$. Z aditivních a homogenních vlastností kumulantů jsou kumulanty z ${ displaystyle X_ {n}}$ pokud jde o kumulanty ${ displaystyle Z_ {i}}$ jsou pro ${ displaystyle r geq 2}$,

${ displaystyle kappa _ {r} ^ {F_ {n}} = { frac {n kappa _ {r}} { sigma ^ {r} n ^ {r / 2}}} = { frac { lambda _ {r}} {n ^ {r / 2-1}}} quad mathrm {kde} quad lambda _ {r} = { frac { kappa _ {r}} { sigma ^ {r}}}.}$

Pokud expandujeme z hlediska standardního normálního rozdělení, tedy pokud nastavíme

${ displaystyle phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} exp (- { tfrac {1} {2}} x ^ {2}),}$

pak kumulační rozdíly ve formálním vyjádření charakteristické funkce ${ displaystyle { hat {f}} _ {n} (t)}$ z ${ displaystyle F_ {n}}$ jsou

${ displaystyle kappa _ {1} ^ {F_ {n}} - gamma _ {1} = 0,}$

${ displaystyle kappa _ {2} ^ {F_ {n}} - gamma _ {2} = 0,}$

${ displaystyle kappa _ {r} ^ {F_ {n}} - gamma _ {r} = { frac { lambda _ {r}} {n ^ {r / 2-1}}}; qquad r geq 3.}$

Série Gram – Charlier A pro funkci hustoty ${ displaystyle X_ {n}}$ je teď

${ displaystyle f_ {n} (x) = phi (x) součet _ {r = 0} ^ { infty} { frac {1} {r!}} B_ {r} vlevo (0,0 , { frac { lambda _ {3}} {n ^ {1/2}}}, ldots, { frac { lambda _ {r}} {n ^ {r / 2-1}}} vpravo) He_ {r} (x).}$

Série Edgeworth je vyvinuta podobně jako série Gram – Charlier A, pouze nyní jsou termíny shromažďovány podle pravomocí ${ displaystyle n}$. Koeficienty n^{-m / 2} termín lze získat sběrem monomiálů Bellových polynomů odpovídajících celočíselným oddílům m. Máme tedy charakteristickou funkci jako

${ displaystyle { hat {f}} _ {n} (t) = left [1+ sum _ {j = 1} ^ { infty} { frac {P_ {j} (it)} {n ^ {j / 2}}} vpravo] exp (-t ^ {2} / 2) ,,}$

kde ${ displaystyle P_ {j} (x)}$ je polynomiální stupně ${ displaystyle 3j}$. Opět po inverzní Fourierově transformaci funkce hustoty ${ displaystyle f_ {n}}$ následuje jako

${ displaystyle f_ {n} (x) = phi (x) + součet _ {j = 1} ^ { infty} { frac {P_ {j} (- D)} {n ^ {j / 2 }}} phi (x) ,.}$

Podobně integrací řady získáme distribuční funkci

${ displaystyle F_ {n} (x) = Phi (x) + součet _ {j = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {j / 2}}} { frac { P_ {j} (- D)} {D}} phi (x) ,.}$

Můžeme explicitně napsat polynom ${ displaystyle P_ {m} (- D)}$ tak jako

${ displaystyle P_ {m} (- D) = součet prod _ {i} { frac {1} {k_ {i}!}} vlevo ({ frac { lambda _ {l_ {i}} } {l_ {i}!}} vpravo) ^ {k_ {i}} (- D) ^ {s},}$

kde je součet přes všechny celočíselné oddíly m takhle ${ displaystyle sum _ {i} ik_ {i} = m}$ a ${ displaystyle l_ {i} = i + 2}$ a ${ displaystyle s = sum _ {i} k_ {i} l_ {i}.}$

Například pokud m = 3, pak existují tři způsoby, jak rozdělit toto číslo: 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3. Proto musíme zkoumat tři případy:

• 1 + 1 + 1 = 1 · k₁, takže máme k₁ = 3, l₁ = 3 a s = 9.
• 1 + 2 = 1 · k₁ + 2 · k₂, takže máme k₁ = 1, k₂ = 1, l₁ = 3, l₂ = 4 a s = 7.
• 3 = 3 · k₃, takže máme k₃ = 1, l₃ = 5 a s = 5.

Požadovaný polynom tedy je

${ displaystyle { begin {aligned} P_ {3} (- D) & = { frac {1} {3!}} left ({ frac { lambda _ {3}} {3!}} vpravo) ^ {3} (- D) ^ {9} + { frac {1} {1! 1!}} vlevo ({ frac { lambda _ {3}} {3!}} vpravo) left ({ frac { lambda _ {4}} {4!}} right) (- D) ^ {7} + { frac {1} {1!}} left ({ frac { lambda _ {5}} {5!}} vpravo) (- D) ^ {5} & = { frac { lambda _ {3} ^ {3}} {1296}} (- D) ^ {9} + { frac { lambda _ {3} lambda _ {4}} {144}} (- D) ^ {7} + { frac { lambda _ {5}} {120}} ( -D) ^ {5}. End {zarovnáno}}}$

Prvních pět podmínek expanze je^[5]

${ displaystyle { begin {aligned} f_ {n} (x) & = phi (x) & quad - { frac {1} {n ^ { frac {1} {2}}}} left ({ tfrac {1} {6}} lambda _ {3} , phi ^ {(3)} (x) right) & quad + { frac {1} {n} } left ({ tfrac {1} {24}} lambda _ {4} , phi ^ {(4)} (x) + { tfrac {1} {72}} lambda _ {3} ^ {2} , phi ^ {(6)} (x) vpravo) & quad - { frac {1} {n ^ { frac {3} {2}}}} vlevo ( { tfrac {1} {120}} lambda _ {5} , phi ^ {(5)} (x) + { tfrac {1} {144}} lambda _ {3} lambda _ { 4} , phi ^ {(7)} (x) + { tfrac {1} {1296}} lambda _ {3} ^ {3} , phi ^ {(9)} (x) vpravo) & quad + { frac {1} {n ^ {2}}} vlevo ({ tfrac {1} {720}} lambda _ {6} , phi ^ {(6) } (x) + left ({ tfrac {1} {1152}} lambda _ {4} ^ {2} + { tfrac {1} {720}} lambda _ {3} lambda _ {5 } right) phi ^ {(8)} (x) + { tfrac {1} {1728}} lambda _ {3} ^ {2} lambda _ {4} , phi ^ {(10 )} (x) + { tfrac {1} {31104}} lambda _ {3} ^ {4} , phi ^ {(12)} (x) right) & quad + O vlevo (n ^ {- { frac {5} {2}}} vpravo). end {zarovnáno}}}$

Tady, φ^(j)(X) je j-tý derivát φ (·) v bodě X. Pamatuji si, že deriváty hustoty normálního rozdělení se vztahují k normální hustotě do ${ displaystyle phi ^ {(n)} (x) = (- 1) ^ {n} He_ {n} (x) phi (x)}$, (kde ${ displaystyle He_ {n}}$ je Poustevnický polynom řádu n), vysvětluje alternativní reprezentace z hlediska funkce hustoty. Blinnikov a Moessner (1998) poskytli jednoduchý algoritmus pro výpočet podmínek expanze vyššího řádu.

Všimněte si, že v případě distribucí mřížky (které mají diskrétní hodnoty) musí být přizpůsobení Edgeworth přizpůsobeno tak, aby zohledňovalo nespojité skoky mezi mřížovými body.^[6]

Ilustrace: průměrná hustota vzorku ze tří ${ displaystyle chi ^ {2}}$

Hustota střední hodnoty vzorku tří proměnných chi2. Graf porovnává skutečnou hustotu, normální aproximaci a dvě Edgeworthovy expanze.

Vzít ${ Displaystyle X_ {i} sim chi ^ {2} (k = 2), , i = 1,2,3 , (n = 3)}$ a průměr vzorku ${ displaystyle { bar {X}} = { frac {1} {3}} součet _ {i = 1} ^ {3} X_ {i}}$.

Můžeme použít několik distribucí pro ${ displaystyle { bar {X}}}$:

• Přesné rozdělení, které následuje a gama distribuce: ${ displaystyle { bar {X}} sim mathrm {Gamma} left ( alpha = n cdot k / 2, theta = 2 / n right) = mathrm {Gamma} left ( alpha = 3, theta = 2/3 vpravo)}$.
• Asymptotické normální rozdělení: ${ displaystyle { bar {X}} { xrightarrow {n to infty}} N (k, 2 cdot k / n) = N (2,4 / 3)}$.
• Dvě Edgeworthovy expanze stupňů 2 a 3.

Diskuse o výsledcích

• U konečných vzorků není zaručeno, že rozšíření Edgeworth bude správné rozdělení pravděpodobnosti protože hodnoty CDF v některých bodech mohou jít dále ${ displaystyle [0,1]}$.
• Zaručují (asymptoticky) absolutní chyby, ale relativní chyby lze snadno posoudit porovnáním vedoucího termínu Edgeworth ve zbytku s celkovým vedoucím termínem. ^[7]

Viz také

• Cornish – Fisherova expanze
• Edgeworth binomický strom

Reference

Další čtení

• H. Cramér. (1957). Matematické metody statistiky. Princeton University Press, Princeton.
• Wallace, D.L. (1958). „Asymptotické aproximace distribucí“. Annals of Mathematical Statistics. 29 (3): 635–654. doi:10.1214 / aoms / 1177706528.
• M. Kendall a A. Stuart. (1977), Pokročilá teorie statistiky, Vol 1: Distribution theory, 4th Edition, Macmillan, New York.
• P. McCullagh (1987). Tenzorové metody ve statistice. Chapman and Hall, Londýn.
• D. R. Cox a O. E. Barndorff-Nielsen (1989). Asymptotické techniky pro použití ve statistice. Chapman and Hall, Londýn.
• P. Hall (1992). Bootstrap a Edgeworth Expansion. Springer, New York.
• "Řada Edgeworth", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Blinnikov, S .; Moessner, R. (1998). „Rozšíření pro téměř gaussovské distribuce“ (PDF). Astronomy and Astrophysics Supplement Series. 130: 193–205. arXiv:astro-ph / 9711239. Bibcode:1998A & AS..130..193B. doi:10.1051 / aas: 1998221.
• Martin, Douglas; Arora, Rohit (2017). "Neúčinnost a zkreslení modifikované hodnoty v riziku a očekávaného schodku". Journal of Risk. 19 (6): 59–84. doi:10.21314 / JOR.2017.365.
• J. E. Kolassa (2006). Metody aproximace sérií ve statistice (3. vyd.). (Poznámky k přednášce ve statistice č. 88). Springer, New York.