Řád čtveřice Hurwitzů - Hurwitz quaternion order

The Řád čtveřice Hurwitzů je specifický objednat v čtveřice algebra přes vhodný pole s číslem. Pořadí má zvláštní význam v Riemannův povrch teorie, ve spojení s povrchy s maximem symetrie, jmenovitě Hurwitzovy povrchy.^[1] Řád čtveřice Hurwitzů studoval v roce 1967 Goro Shimura,^[2] ale nejprve je výslovně popsal Noam Elkies v roce 1998.^[3] Alternativní použití tohoto pojmu viz Hurwitzův čtveřice (obě použití jsou v literatuře aktuální).

Definice

Nechat ${displaystyle K}$ být maximálním skutečným podpolím ${displaystyle mathbb {Q}}$${displaystyle (ho)}$ kde ${displaystyle ho}$ je 7. primitivní kořen jednoty. The kruh celých čísel z ${displaystyle K}$ je ${displaystyle mathbb {Z} [eta]}$, kde prvek ${displaystyle eta = ho + {ar {ho}}}$ lze identifikovat s pozitivním reálným ${displaystyle 2cos ({frac {2pi} {7}})}$. Nechat ${displaystyle D}$ být čtveřice algebra nebo algebra symbolů

${displaystyle D: =, (eta, eta) _ {K},}$

aby ${displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = eta}$ a ${displaystyle ij = -ji}$ v ${displaystyle D.}$ Také nechte ${displaystyle au = 1 + eta + eta ^ {2}}$ a ${displaystyle j '= {frac {1} {2}} (1 + eta i + au j)}$. Nechat

${displaystyle {mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}} = mathbb {Z} [eta] [i, j, j '].}$

Pak ${displaystyle {mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}}}$ je maximum objednat z ${displaystyle D}$, výslovně popsal Noam Elkies.^[4]

Struktura modulu

Objednávka ${displaystyle Q_ {mathrm {Hur}}}$ je také generován prvky

${displaystyle g_ {2} = {frac {1} {eta}} ij}$

a

${displaystyle g_ {3} = {frac {1} {2}} (1+ (eta ^ {2} -2) j + (3-eta ^ {2}) ij).}$

Objednávka je ve skutečnosti zdarma ${displaystyle mathbb {Z} [eta]}$-modul nad základem ${displaystyle, 1, g_ {2}, g_ {3}, g_ {2} g_ {3}}$. Zde generátory uspokojují vztahy

${displaystyle g_ {2} ^ {2} = g_ {3} ^ {3} = (g_ {2} g_ {3}) ^ {7} = - 1,}$

které sestupují k příslušným vztahům v (2,3,7) trojúhelníková skupina, po kvocientu středem.

Podskupiny hlavní kongruence

Podskupina hlavní kongruence definovaná ideálem ${displaystyle Isubset mathbb {Z} [eta]}$ je podle definice skupina

${displaystyle {mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}} ^ {1} (I) = {xin {mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}} ^ {1}: xequiv 1 (}$mod ${displaystyle I {mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}})},}$

jmenovitě skupina prvků snížená norma 1 palec ${displaystyle {mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}}}$ ekvivalent 1 modulo ideální ${displaystyle I {mathcal {Q}} _ {mathrm {Hur}}}$. Odpovídající fuchsiová skupina se získá jako obraz hlavní podskupiny kongruence pod reprezentací PSL (2, R).

aplikace

Objednávku využili Katz, Schaps a Vishne^[5] zkonstruovat rodinu povrchů Hurwitz uspokojujících asymptotickou dolní hranici pro systolu: ${displaystyle sys> {frac {4} {3}} přihlásit se}$ kde g je rod, vylepšuje dřívější výsledek Peter Buser a Peter Sarnak;^[6] vidět systoly povrchů.

Viz také

• (2,3,7) trojúhelníková skupina
• Kleinova kvartika
• Macbeathův povrch
• První Hurwitz triplet

Reference