Chyba sledování - Tracking error

v finance, chyba sledování nebo aktivní riziko je měřítkem rizika v investiční portfolio to je kvůli aktivní management rozhodnutí učiněná správce portfolia; udává, jak úzce portfolio sleduje index, na který je srovnáváno. Nejlepším opatřením je standardní odchylka rozdílu mezi výnosy portfolia a indexu.

Mnoho portfolií je spravováno na základě benchmarku, obvykle indexu. Očekává se, že některá portfolia budou před obchodováním a dalšími náklady přesně replikovat výnosy indexu (např indexový fond ), zatímco od ostatních se očekává, že „aktivně spravovat „portfolio se mírně odchylovalo od indexu za účelem generování aktivní výnosy. Tracking error is a measure of the deviation from the benchmark; výše uvedený indexový fond by měl chybu sledování blízkou nule, zatímco aktivně spravované portfolio by mělo obvykle vyšší chybu sledování. Chyba sledování tedy nezahrnuje žádné riziko (návratnost), které je pouze funkcí pohybu trhu. Navíc riziko (návratnost) z konkrétního výběru akcií nebo odvětví a faktor „betas“, může také zahrnovat riziko (návratnost) z načasování trhu rozhodnutí.

Dělení aktivního výnosu portfolia chybou sledování portfolia dává informační poměr, což je měřítko výkonu přizpůsobené riziku.

Definice

Pokud se chyba sledování měří historicky, nazývá se to chyba sledování „realizovaná“ nebo „ex post“. Pokud se model používá k předpovědi chyby sledování, nazývá se chyba sledování ex ante. Chyba sledování ex-post je užitečnější pro vykazování výkonu, zatímco chyba sledování ex-ante je obecně používána správci portfolia k řízení rizika. Existují různé typy chybových modelů sledování ex-ante, od jednoduchých akciových modelů, které používají beta jako primární determinant složitější vícefaktorové modely s pevným výnosem. V faktorovém modelu portfolia se nesystematické riziko (tj. Standardní odchylka reziduí) v oblasti investic nazývá „chyba sledování“. Druhý způsob výpočtu chyby sledování doplňuje níže uvedené vzorce, ale výsledky se mohou lišit (někdy až dvakrát).

Vzorce

Vzorec chyby sledování ex-post je standardní odchylka aktivních výnosů daných:

{ displaystyle TE = omega = { sqrt { operatorname {Var} (r_ {p} -r_ {b})}} = { sqrt {{E} [(r_ {p} -r_ {b}) ^ {2}] - ({E} [r_ {p} -r_ {b}]) ^ {2}}} = { sqrt {(w_ {p} -w_ {b}) ^ {T} Sigma (w_ {p} -w_ {b})}}}

kde ${ displaystyle r_ {p} -r_ {b}}$ je aktivní výnos, tj. rozdíl mezi výnosem portfolia a srovnávacím výnosem.^[1] The optimalizace problém maximalizace návratnosti, s výhradou chyby sledování a lineárních omezení, lze vyřešit pomocí programování kuželů druhého řádu:

{ displaystyle max _ {w} ; mu ^ {T} (w-w_ {b}), quad { text {st}} ; (w-w_ {b}) ^ {T} Sigma (w-w_ {b}) leq omega ^ {2}, ; Axe leq b, ; Cx = d}

Výklad

Za předpokladu normality výnosů by aktivní riziko x procent znamenalo, že lze očekávat, že přibližně 2/3 aktivních výnosů portfolia (jedna standardní odchylka od průměru) bude klesat mezi + x a -x procenta lze očekávat, že průměrný nadměrný výnos a přibližně 95% aktivních výnosů portfolia (dvě standardní odchylky od průměru) klesnou mezi + 2x a -2x procenta průměrného nadměrného výnosu.

Příklady

Indexové fondy se očekává, že budou mít minimální chyby sledování.
Inverzní fondy obchodované na burze jsou navrženy tak, aby fungovaly jako inverzní indexu nebo jiné srovnávací hodnoty, a odrážejí tak chyby ve sledování ve vztahu ke krátkým pozicím v podkladovém indexu nebo referenční hodnotě.

Tvorba indexového fondu

Očekává se, že indexové fondy minimalizují chybu sledování s ohledem na index pokouší se replikovat a tento problém lze vyřešit pomocí standardních optimalizačních technik. Nejprve definujte ${ displaystyle omega ^ {2}}$ být:

{ displaystyle omega ^ {2} = (w-w_ {b}) ^ {T} Sigma (w-w_ {b})}

kde

{ displaystyle w_ {b}}

je měřítko vrátit se a

{ displaystyle Sigma}

je kovarianční matice aktiv v indexu. Při vytváření indexového fondu by to mohlo zahrnovat držení všech

{ displaystyle N}

investovatelných aktiv do indexu, je někdy lepší praxe investovat pouze do podmnožiny

{ displaystyle K}

aktiv. Tyto úvahy vedou k následujícímu kvadratické programování se smíšenými čísly (MIQP) problém:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} min _ {w} & quad omega ^ {2} { text {st}} & quad w_ {j} leq y_ {j}, quad součet _ {j = 1} ^ {N} y_ {j} leq K & quad ell _ {j} y_ {j} leq w_ {j} leq u_ {j} y_ {j}, quad y_ {j} in {0,1 }, quad ell _ {j}, ; u_ {j} geq 0 end {zarovnáno}}}

kde

{ displaystyle y_ {j}}

je logická podmínka, zda je aktivum zahrnuto do indexového fondu či nikoli, a je definováno jako:

{ displaystyle y_ {j} = { začátek {případů} 1, quad & w_ {j}> 0 0, quad & { text {jinak}} end {případů}}}

Reference

^ Cornuejols, Gerard; Tütüncü, Reha (2007). Optimalizační metody ve financích. Matematika, finance a rizika. Cambridge University Press. 178–180. ISBN 0521861705.

externí odkazy

[1] Cornuejols, Gerard; Tütüncü, Reha (2007). Optimalizační metody ve financích. Matematika, finance a rizika. Cambridge University Press. 178–180. ISBN 0521861705.

[1]