Stopová nerovnost - Trace inequality - Wikipedia

v matematika, existuje mnoho druhů nerovnosti zahrnující matice a lineární operátory na Hilbertovy prostory. Tento článek popisuje některé důležité nerovnosti operátorů spojené s stopy matic.^[1]^[2]^[3]^[4]

Základní definice

Nechat H_n označit prostor Hermitian $n$ × $n$ matice, H_n⁺ označit množinu skládající se z pozitivní semi-definitivní $n$ × $n$ Hermitovské matice a H_n⁺⁺ označit množinu pozitivní určitý Hermitovské matice. Pro operátory v nekonečném dimenzionálním Hilbertově prostoru požadujeme, aby byli stopová třída a samoadjung, v takovém případě platí podobné definice, ale pro zjednodušení pojednáváme pouze o maticích.

Pro jakoukoli funkci se skutečnou hodnotou $F$ v intervalu $Já$ ⊂ ℝ, lze definovat a maticová funkce $f (A)$ pro libovolného operátora $A \in H n$ s vlastní čísla $λ$ v $Já$ definováním na vlastních číslech a odpovídajícím projektory $P$ tak jako

{ displaystyle f (A) ekviv součet _ {j} f ( lambda _ {j}) P_ {j} ~,}

vzhledem k spektrální rozklad

{ displaystyle A = sum _ {j} lambda _ {j} P_ {j}.}

Monotónní provozovatel

Funkce $F : Já \to ℝ$ definované v intervalu $Já$ ⊂ ℝ se říká, že je monotónní operátor pokud ∀ $n$ , a všechno $A, B \in H n$ s vlastními hodnotami v $Já$ , platí

{ displaystyle A geq B Rightarrow f (A) geq f (B),}

kde nerovnost $A \geq B$ znamená, že operátor $A - B \geq 0$ je kladný semi-definitivní. Jeden to může zkontrolovat $f (A) = A 2$ je ve skutečnosti ne monotónní provozovatel!

Operátor konvexní

Funkce ${ displaystyle f: I rightarrow mathbb {R}}$ se říká, že je operátor konvexní pokud pro všechny ${ displaystyle n}$ a všechno $A, B \in H n$ s vlastními hodnotami v $Já$ , a ${ displaystyle 0 < lambda <1}$ , platí následující

{ Displaystyle f ( lambda A + (1- lambda) B) leq lambda f (A) + (1- lambda) f (B).}

Všimněte si, že operátor ${ displaystyle lambda A + (1- lambda) B}$ má vlastní čísla v ${ displaystyle I}$ , od té doby ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ mít vlastní čísla v $Já$ .

Funkce ${ displaystyle f}$ je operátor konkávní -li ${ displaystyle -f}$ je operátor konvexní, tj. výše uvedená nerovnost pro ${ displaystyle f}$ je obrácen.

Společná konvexita

Funkce ${ displaystyle g: I krát J rightarrow mathbb {R}}$ , definované v intervalech ${ displaystyle I, J podmnožina mathbb {R}}$ se říká, že je společně konvexní pokud pro všechny ${ displaystyle n}$ a všechno ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2} in mathbf {H} _ {n}}$ s vlastními hodnotami v ${ displaystyle I}$ a všechno ${ displaystyle B_ {1}, B_ {2} in mathbf {H} _ {n}}$ s vlastními hodnotami v ${ displaystyle J}$ a jakékoli ${ displaystyle 0 leq lambda leq 1}$ následující platí

{ displaystyle g ( lambda A_ {1} + (1- lambda) A_ {2}, lambda B_ {1} + (1- lambda) B_ {2}) leq lambda g (A_ {1 }, B_ {1}) + (1- lambda) g (A_ {2}, B_ {2}).}

Funkce $G$ je společně konkávní pokud - $G$ je společně konvexní, tj. výše uvedená nerovnost pro $G$ je obrácen.

Funkce stopování

Vzhledem k funkci $F$ : ℝ → ℝ, přidružené stopová funkce na H_n darováno

{ displaystyle A mapsto operatorname {Tr} f (A) = sum _ {j} f ( lambda _ {j}),}

kde $A$ má vlastní čísla $λ$ a Tr znamená a stopa provozovatele.

Konvexita a monotónnost stopové funkce

Nechat $F$ : ℝ → ℝ být spojitý a nechat $n$ být celé číslo. Pak, pokud ${ displaystyle t mapsto f (t)}$ monotónně roste, stejně tak roste ${ displaystyle A mapsto operatorname {Tr} f (A)}$ na H_n.

Stejně tak, pokud ${ displaystyle t mapsto f (t)}$ je konvexní, takže je ${ displaystyle A mapsto operatorname {Tr} f (A)}$ na H_n, andit je přísně konvexní, pokud $F$ je striktně konvexní.

Zobrazit důkazy a diskuzi v,^[1] například.

Löwner – Heinzova věta

Pro ${ displaystyle -1 leq p leq 0}$ , funkce ${ displaystyle f (t) = - t ^ {p}}$ je operátor monotónní a operátor konkávní.

Pro ${ displaystyle 0 leq p leq 1}$ , funkce ${ displaystyle f (t) = t ^ {p}}$ je operátor monotónní a operátor konkávní.

Pro ${ displaystyle 1 leq p leq 2}$ , funkce ${ displaystyle f (t) = t ^ {p}}$ je operátor konvexní. Dále

{ displaystyle f (t) = log (t)}

je operátor konkávní a operátor monotónní, zatímco

{ displaystyle f (t) = t log (t)}

je operátor konvexní.

Původní důkaz této věty je způsoben K. Löwner který dal nezbytnou a dostatečnou podmínku pro $F$ být operátor monotónní.^[5] Základní důkaz věty je popsán v ^[1] a jeho obecnější verze v.^[6]

Kleinova nerovnost

Pro všechny Hermitany $n$ × $n$ matice $A$ a $B$ a všechny rozlišitelné konvexní funkce $F$ : ℝ → ℝ s derivát $f '$ , nebo pro všechny Hermitany s kladnou definitivitou $n$ × $n$ matice $A$ a $B$ a všechny diferencovatelné konvexní funkce $F$ : (0, ∞) → ℝ, platí následující nerovnost,

${ displaystyle operatorname {Tr} [f (A) -f (B) - (A-B) f '(B)] geq 0 ~.}$

V obou případech, pokud $F$ je striktně konvexní, rovnost platí tehdy a jen tehdy $A$ = $B$ Populární volbou v aplikacích je $F (t) = t log t$ , viz. níže.

Důkaz

Nechat ${ displaystyle C = A-B}$ tak, že pro ${ displaystyle t v (0,1)}$ ,

{ displaystyle B + tC = (1-t) B + tA}

,

se liší od ${ displaystyle B}$ na ${ displaystyle A}$ .

Definovat

{ displaystyle F (t) = operatorname {Tr} [f (B + tC)]}

.

Konvexitou a monotónností stopových funkcí ${ displaystyle F (t)}$ je konvexní, a tak pro všechny ${ displaystyle t v (0,1)}$ ,

{ displaystyle F (0) + t (F (1) -F (0)) geq F (t)}

,

který je,

{ displaystyle F (1) -F (0) geq { frac {F (t) -F (0)} {t}}}

,

a ve skutečnosti je pravá strana monotónní a klesá ${ displaystyle t}$ .

Vezmeme-li limit ${ displaystyle t to 0}$ výnosy,

{ displaystyle F (1) -F (0) geq F '(0)}

,

což s přeskupením a substitucí je Kleinova nerovnost:

{ displaystyle mathrm {tr} [f (A) -f (B) - (A-B) f '(B)] geq 0}

Všimněte si, že pokud ${ displaystyle f (t)}$ je přísně konvexní a ${ displaystyle C neq 0}$ , pak ${ displaystyle F (t)}$ je přísně konvexní. Z toho a ze skutečnosti vyplývá konečné tvrzení ${ displaystyle { tfrac {F (t) -F (0)} {t}}}$ je monotónní klesá v ${ displaystyle t}$ .

Golden – Thompsonova nerovnost

V roce 1965 S. Golden ^[7] a C. J. Thompson ^[8] nezávisle na tom zjistili

Pro všechny matice ${ displaystyle A, B in mathbf {H} _ {n}}$ ,

{ displaystyle operatorname {Tr} e ^ {A + B} leq operatorname {Tr} e ^ {A} e ^ {B}.}

Tuto nerovnost lze zobecnit pro tři operátory:^[9] pro nezáporné operátory ${ displaystyle A, B, C in mathbf {H} _ {n} ^ {+}}$ ,

{ displaystyle operatorname {Tr} e ^ { ln A- ln B + ln C} leq int _ {0} ^ { infty} dt , operatorname {Tr} A (B + t) ^ {-1} C (B + t) ^ {- 1}.}

Nerovnost Peierls – Bogoliubov

Nechat ${ displaystyle R, F in mathbf {H} _ {n}}$ být takový, že Tr e^R = 1. Definování $G = Tr Fe R$ , my máme

{ displaystyle operatorname {Tr} e ^ {F} e ^ {R} geq operatorname {Tr} e ^ {F + R} geq e ^ {g}.}

Důkaz této nerovnosti vyplývá z výše uvedeného v kombinaci s Kleinova nerovnost. Vzít $F (X) = exp (X), A = R + F, a B = R + gI$ .^[10]

Gibbsův variační princip

Nechat ${ displaystyle H}$ být takovým operátorem, který se sám přizpůsobí ${ displaystyle e ^ {- H}}$ je stopová třída. Pak pro všechny ${ displaystyle gamma geq 0}$ s ${ displaystyle operatorname {Tr} gamma = 1,}$

{ displaystyle operatorname {Tr} gamma H + operatorname {Tr} gamma ln gamma geq - ln operatorname {Tr} e ^ {- H},}

s rovností právě tehdy ${ displaystyle gamma = exp (-H) / operatorname {Tr} exp (-H).}$

Liebova konkávní věta

Následující věta byla prokázána E. H. Lieb v.^[9] Dokazuje a zobecňuje domněnku E. P. Wignera, M. M. Yanase a F. J. Dysona.^[11] O šest let později dal další důkazy T. Ando ^[12] a B. Simon,^[3] a od té doby bylo dáno několik dalších.

Pro všechny ${ displaystyle m krát n}$ matice ${ displaystyle K}$ , a všechno ${ displaystyle q}$ a ${ displaystyle r}$ takhle ${ displaystyle 0 leq q leq 1}$ a ${ displaystyle 0 leq r leq 1}$ , s ${ displaystyle q + r leq 1}$ mapa se skutečnou hodnotou na ${ displaystyle mathbf {H} _ {m} ^ {+} times mathbf {H} _ {n} ^ {+}}$ dána

{ displaystyle F (A, B, K) = operatorname {Tr} (K ^ {*} A ^ {q} KB ^ {r})}

je společně konkávní v ${ displaystyle (A, B)}$
je konvexní ${ displaystyle K}$ .

Tady ${ displaystyle K ^ {*}}$ znamená operátor adjoint z ${ displaystyle K.}$

Liebova věta

Pro pevnou hermitovskou matici ${ displaystyle L in mathbf {H} _ {n}}$ , funkce

{ displaystyle f (A) = operatorname {Tr} exp {L + ln A }}

je konkávní ${ displaystyle mathbf {H} _ {n} ^ {++}}$ .

Věta a důkaz jsou způsobeny E. H. Liebem,^[9] Thm 6, kde tuto větu získá jako důsledek Liebovy věty o konkávnosti. Nejpřímější důkaz má H. Epstein;^[13] viz M.B. Ruské papíry,^[14]^[15] pro přezkoumání tohoto argumentu.

Andova věta o konvexitě

Důkaz T. Anda ^[12] z Liebova konkávní věta vedlo k následujícímu významnému doplnění:

Pro všechny ${ displaystyle m krát n}$ matice ${ displaystyle K}$ , a všechno ${ displaystyle 1 leq q leq 2}$ a ${ displaystyle 0 leq r leq 1}$ s ${ displaystyle q-r geq 1}$ , mapa se skutečnou hodnotou na ${ displaystyle mathbf {H} _ {m} ^ {++} times mathbf {H} _ {n} ^ {++}}$ dána

{ displaystyle (A, B) mapsto operatorname {Tr} (K ^ {*} A ^ {q} KB ^ {- r})}

je konvexní.

Společná konvexita relativní entropie

Pro dva operátory ${ displaystyle A, B in mathbf {H} _ {n} ^ {++}}$ definujte následující mapu

{ displaystyle R (A paralelní B): = operatorname {Tr} (A log A) - operatorname {Tr} (A log B).}

Pro matice hustoty ${ displaystyle rho}$ a ${ displaystyle sigma}$ , mapa ${ displaystyle R ( rho paralelní sigma) = S ( rho paralelní sigma)}$ je Umegaki kvantová relativní entropie.

Všimněte si, že nezápornost ${ displaystyle R (A paralelní B)}$ vyplývá z Kleinovy nerovnosti s ${ displaystyle f (t) = t log t}$ .

Prohlášení

Mapa ${ displaystyle R (A paralelní B): mathbf {H} _ {n} ^ {++} times mathbf {H} _ {n} ^ {++} rightarrow mathbf {R}}$ je společně konvexní.

Důkaz

Pro všechny ${ displaystyle 0$ , ${ displaystyle (A, B) mapsto operatorname {Tr} (B ^ {1-p} A ^ {p})}$ je společně konkávní tím, že Liebova konkávní věta, a tudíž

{ displaystyle (A, B) mapsto { frac {1} {p-1}} ( operatorname {Tr} (B ^ {1-p} A ^ {p}) - operatorname {Tr} A) }

je konvexní. Ale

{ displaystyle lim _ {p rightarrow 1} { frac {1} {p-1}} ( operatorname {Tr} (B ^ {1-p} A ^ {p}) - operatorname {Tr} A) = R (A paralelní B),}

a konvexnost je zachována v limitu.

Důkazem je G. Lindblad.^[16]

Jensenův operátor a trasovací nerovnosti

Verze operátora Jensenova nerovnost je kvůli C. Davisovi.^[17]

Kontinuální, skutečná funkce ${ displaystyle f}$ v intervalu ${ displaystyle I}$ splňuje Nerovnost operátora Jensena pokud platí následující

{ displaystyle f left ( sum _ {k} A_ {k} ^ {*} X_ {k} A_ {k} right) leq sum _ {k} A_ {k} ^ {*} f ( X_ {k}) A_ {k},}

pro operátory ${ displaystyle {A_ {k} } _ {k}}$ s ${ displaystyle sum _ {k} A_ {k} ^ {*} A_ {k} = 1}$ a pro operátoři s vlastním nastavením ${ displaystyle {X_ {k} } _ {k}}$ s spektrum na ${ displaystyle I}$ .

Vidět,^[17]^[18] pro důkaz následujících dvou vět.

Jensenova stopová nerovnost

Nechat $F$ být spojitá funkce definovaná v intervalu $Já$ a nechte $m$ a $n$ být přirozená čísla. Li $F$ je konvexní, pak máme nerovnost

{ displaystyle operatorname {Tr} { Bigl (} f { Bigl (} sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} ^ {*} X_ {k} A_ {k} { Bigr )} { Bigr)} leq operatorname {Tr} { Bigl (} sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} ^ {*} f (X_ {k}) A_ {k} { Bigr)},}

pro všechny ( $X$ ₁, ... , $X$ _n) samo-adjunkt $m$ × $m$ matice se spektry obsažené v $Já$ a všechno ( $A$ ₁, ... , $A$ _n) z $m$ × $m$ matice s

{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} ^ {*} A_ {k} = 1.}

Naopak, pokud je výše uvedená nerovnost pro některé uspokojena $n$ a $m$ , kde $n$ > 1 tedy $F$ je konvexní.

Jensenova nerovnost operátorů

Pro nepřetržitou funkci ${ displaystyle f}$ definované v intervalu ${ displaystyle I}$ následující podmínky jsou ekvivalentní:

${ displaystyle f}$ je operátor konvexní.
Pro každé přirozené číslo ${ displaystyle n}$ máme nerovnost

{ displaystyle f { Bigl (} sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} ^ {*} X_ {k} A_ {k} { Bigr)} leq sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} ^ {*} f (X_ {k}) A_ {k},}

pro všechny ${ displaystyle (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$ ohraničené, samočinné operátory libovolně Hilbertův prostor ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ withspectra obsažené v ${ displaystyle I}$ a všechno ${ displaystyle (A_ {1}, ldots, A_ {n})}$ na ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ s ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {k} ^ {*} A_ {k} = 1.}$

${ displaystyle f (V ^ {*} XV) leq V ^ {*} f (X) V}$ pro každou izometrii ${ displaystyle V}$ na nekonečně dimenzionálním Hilbertově prostoru ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ a

každý operátor s vlastním adjunktem ${ displaystyle X}$ se spektrem v ${ displaystyle I}$ .

${ displaystyle Pf (PXP + lambda (1-P)) P leq Pf (X) P}$ pro každou projekci ${ displaystyle P}$ na nekonečně dimenzionálním Hilbertově prostoru ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ , každý operátor s vlastním adjunktem ${ displaystyle X}$ se spektrem v ${ displaystyle I}$ a každý ${ displaystyle lambda}$ v ${ displaystyle I}$ .

Araki – Lieb – Toužící nerovnost

E. H. Lieb a W. E. Thirring prokázali v roce 2004 následující nerovnost ^[19] v roce 1976: Pro všechny ${ displaystyle A geq 0}$ , ${ displaystyle B geq 0}$ a ${ displaystyle r geq 1,}$

{ displaystyle operatorname {Tr} ((BAB) ^ {r}) leq operatorname {Tr} (B ^ {r} A ^ {r} B ^ {r}).}

V roce 1990 ^[20] H. Araki zobecnil výše uvedenou nerovnost na následující: Pro jakoukoli ${ displaystyle A geq 0}$ , ${ displaystyle B geq 0}$ a ${ displaystyle q geq 0,}$

{ displaystyle operatorname {Tr} ((BAB) ^ {rq}) leq operatorname {Tr} ((B ^ {r} A ^ {r} B ^ {r}) ^ {q}),}

pro

{ displaystyle r geq 1,}

a

{ displaystyle operatorname {Tr} ((B ^ {r} A ^ {r} B ^ {r}) ^ {q}) leq operatorname {Tr} ((BAB) ^ {rq}),}

pro

{ displaystyle 0 leq r leq 1.}

Nerovnost Lieb – Thirring má také následující zevšeobecnění:^[21] pro všechny ${ displaystyle A geq 0}$ , ${ displaystyle B geq 0}$ a ${ displaystyle alpha v [0,1],}$

{ displaystyle operatorname {Tr} (BA ^ { alpha} BBA ^ {1- alpha} B) leq operatorname {Tr} (B ^ {2} AB ^ {2}).}

Effrosova věta a její rozšíření

E. Effros v ^[22] prokázal následující větu.

Li ${ displaystyle f (x)}$ je operátorova konvexní funkce a ${ displaystyle L}$ a ${ displaystyle R}$ jsou dojíždějící ohraničené lineární operátory, tj. komutátor ${ displaystyle [L, R] = LR-RL = 0}$ , perspektivní

{ displaystyle g (L, R): = f (LR ^ {- 1}) R}

je společně konvexní, tj. pokud ${ displaystyle L = lambda L_ {1} + (1- lambda) L_ {2}}$ a ${ displaystyle R = lambda R_ {1} + (1- lambda) R_ {2}}$ s ${ displaystyle [L_ {i}, R_ {i}] = 0}$ (i = 1,2), ${ displaystyle 0 leq lambda leq 1}$ ,

{ displaystyle g (L, R) leq lambda g (L_ {1}, R_ {1}) + (1- lambda) g (L_ {2}, R_ {2}).}

Ebadian a kol. později rozšířil nerovnost na případ, kdy ${ displaystyle L}$ a ${ displaystyle R}$ nedojíždět. ^[23]

Von Neumannova stopová nerovnost a související výsledky

Von Neumannova stopová nerovnost, pojmenovaná po jejím původci John von Neumann, uvádí, že pro všechny n × n složité matice A, B s singulární hodnoty ${ displaystyle alpha _ {1} geq alpha _ {2} geq cdots geq alpha _ {n}}$ a ${ displaystyle beta _ {1} geq beta _ {2} geq cdots geq beta _ {n}}$ respektive^[24]

{ displaystyle left | operatorname {Tr} (AB) right | leq sum _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i} beta _ {i} ,.}

Jednoduchým důsledkem je následující výsledek^[25]: Pro poustevník n × n pozitivní semidefinitní komplexní matice A, B kde teď vlastní čísla jsou řazeny sestupně ( ${ displaystyle a_ {1} geq a_ {2} geq cdots geq a_ {n}}$ a ${ displaystyle b_ {1} geq b_ {2} geq cdots geq b_ {n}}$ , v uvedeném pořadí),

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {n-i + 1} leq operatorname {Tr} (AB) leq sum _ {i = 1} ^ {n } a_ {i} b_ {i} ,.}

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C E. Carlen, Stopové nerovnosti a kvantová entropie: Úvodní kurz, rozjímání. Matematika. 529 (2010) 73–140 doi:10.1090 / conm / 529/10428
^ R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, (1997).
^ ^A ^b B. Simon, Stopové ideály a jejich aplikace, Cambridge Univ. Press, (1979); Druhé vydání. Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, (2005).
^ M. Ohya, D. Petz, Kvantová entropie a její použití, Springer, (1993).
^ Löwner, Karl (1934). „Über monotónní Matrixfunktionen“. Mathematische Zeitschrift (v němčině). Springer Science and Business Media LLC. 38 (1): 177–216. doi:10.1007 / bf01170633. ISSN 0025-5874. S2CID 121439134.
^ W.F. Donoghue, Jr., Monotónní maticové funkce a analytické pokračování, Springer, (1974).
^ Golden, Sidney (1965-02-22). "Dolní hranice pro funkci Helmholtz". Fyzický přehled. Americká fyzická společnost (APS). 137 (4B): B1127 – B1128. doi:10.1103 / fyzrev.137.b1127. ISSN 0031-899X.
^ Thompson, Colin J. (1965). "Nerovnost s aplikacemi ve statistické mechanice". Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 6 (11): 1812–1813. doi:10.1063/1.1704727. ISSN 0022-2488.
^ ^A ^b ^C Lieb, Elliott H (1973). „Konvexní stopové funkce a domněnka Wigner-Yanase-Dyson“. Pokroky v matematice. Elsevier BV. 11 (3): 267–288. doi:10.1016 / 0001-8708 (73) 90011-x. ISSN 0001-8708.
^ D. Ruelle, Statistická mechanika: přísné výsledky, World Scient. (1969).
^ Wigner, Eugene P .; Yanase, Mutsuo M. (1964). „O pozitivní semidefinitní povaze určitého výrazu matice“. Kanadský žurnál matematiky. Kanadská matematická společnost. 16: 397–406. doi:10.4153 / cjm-1964-041-x. ISSN 0008-414X.
^ ^A ^b Ando, T. (1979). "Konkávnost určitých map na pozitivně určitých maticích a aplikacích na produkty Hadamard". Lineární algebra a její aplikace. Elsevier BV. 26: 203–241. doi:10.1016/0024-3795(79)90179-4. ISSN 0024-3795.
^ Epstein, H. (1973). "Poznámky ke dvěma větám E. Lieb". Komunikace v matematické fyzice. Springer Science and Business Media LLC. 31 (4): 317–325. doi:10.1007 / bf01646492. ISSN 0010-3616. S2CID 120096681.
^ Ruskai, Mary Beth (2002). "Nerovnosti pro kvantovou entropii: Recenze s podmínkami rovnosti". Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 43 (9): 4358–4375. arXiv:quant-ph / 0205064. doi:10.1063/1.1497701. ISSN 0022-2488. S2CID 3051292.
^ Ruskai, Mary Beth (2007). "Další krátký a elementární důkaz silné subadditivity kvantové entropie". Zprávy o matematické fyzice. Elsevier BV. 60 (1): 1–12. arXiv:quant-ph / 0604206. doi:10.1016 / s0034-4877 (07) 00019-5. ISSN 0034-4877. S2CID 1432137.
^ Lindblad, Göran (1974). "Očekávání a entropické nerovnosti pro konečné kvantové systémy". Komunikace v matematické fyzice. Springer Science and Business Media LLC. 39 (2): 111–119. doi:10.1007 / bf01608390. ISSN 0010-3616. S2CID 120760667.
^ ^A ^b C. Davis, Schwarzova nerovnost pro konvexní operátorské funkce, Proc. Amer. Matematika. Soc. 8, 42–44, (1957).
^ Hansen, Frank; Pedersen, Gert K. (06.06.2003). „Nerovnost Jensenova operátora“. Bulletin of London Mathematical Society. 35 (4): 553–564. arXiv:matematika / 0204049. doi:10.1112 / s0024609303002200. ISSN 0024-6093. S2CID 16581168.
^ EH Lieb, WE Thirring, Nerovnosti pro okamžiky vlastních hodnot Schrödinger Hamiltonian a jejich vztah k Sobolevovým nerovnostem, ve Studiích matematické fyziky, editoval E. Lieb, B. Simon a A. Wightman, Princeton University Press, 269– 303 (1976).
^ Araki, Huzihiro (1990). "O nerovnosti Lieb a Thirring". Dopisy z matematické fyziky. Springer Science and Business Media LLC. 19 (2): 167–170. doi:10.1007 / bf01045887. ISSN 0377-9017. S2CID 119649822.
^ Z. Allen-Zhu, Y. Lee, L. Orecchia, Využití optimalizace k získání nezávislého, paralelního, jednoduššího a rychlejšího pozitivního řešení SDP nezávislého na šířce, na sympoziu ACM-SIAM o diskrétních algoritmech, 1824–1831 (2016).
^ Effros, E. G. (2009-01-21). „Maticový konvexní přístup k některým oslavovaným kvantovým nerovnostem“. Sborník Národní akademie věd USA. Sborník Národní akademie věd. 106 (4): 1006–1008. arXiv:0802.1234. doi:10.1073 / pnas.0807965106. ISSN 0027-8424. PMC 2633548. PMID 19164582.
^ Ebadian, A .; Nikoufar, I .; Eshaghi Gordji, M. (2011-04-18). "Perspektivy konvexních funkcí matice". Sborník Národní akademie věd. Sborník Národní akademie věd USA. 108 (18): 7313–7314. doi:10.1073 / pnas.1102518108. ISSN 0027-8424.
^ Mirsky, L. (prosinec 1975). "Stopová nerovnost Johna von Neumanna". Monatshefte für Mathematik. 79 (4): 303–306. doi:10.1007 / BF01647331. S2CID 122252038.
^ Marshall, Albert W .; Olkin, Ingram; Arnold, Barry (2011). Nerovnosti: Teorie majorizace a její aplikace (2. vyd.). New York: Springer. str.340 -341. ISBN 978-0-387-68276-1.

Scholarpedia primární zdroj.

[C09-1] A ^b ^C E. Carlen, Stopové nerovnosti a kvantová entropie: Úvodní kurz, rozjímání. Matematika. 529 (2010) 73–140 doi:10.1090 / conm / 529/10428

[2] R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, (1997).

[B05-3] A ^b B. Simon, Stopové ideály a jejich aplikace, Cambridge Univ. Press, (1979); Druhé vydání. Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, (2005).

[4] M. Ohya, D. Petz, Kvantová entropie a její použití, Springer, (1993).

[5] Löwner, Karl (1934). „Über monotónní Matrixfunktionen“. Mathematische Zeitschrift (v němčině). Springer Science and Business Media LLC. 38 (1): 177–216. doi:10.1007 / bf01170633. ISSN 0025-5874. S2CID 121439134.

[6] W.F. Donoghue, Jr., Monotónní maticové funkce a analytické pokračování, Springer, (1974).

[7] Golden, Sidney (1965-02-22). "Dolní hranice pro funkci Helmholtz". Fyzický přehled. Americká fyzická společnost (APS). 137 (4B): B1127 – B1128. doi:10.1103 / fyzrev.137.b1127. ISSN 0031-899X.

[8] Thompson, Colin J. (1965). "Nerovnost s aplikacemi ve statistické mechanice". Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 6 (11): 1812–1813. doi:10.1063/1.1704727. ISSN 0022-2488.

[L73-9] A ^b ^C Lieb, Elliott H (1973). „Konvexní stopové funkce a domněnka Wigner-Yanase-Dyson“. Pokroky v matematice. Elsevier BV. 11 (3): 267–288. doi:10.1016 / 0001-8708 (73) 90011-x. ISSN 0001-8708.

[R69-10] D. Ruelle, Statistická mechanika: přísné výsledky, World Scient. (1969).

[WY64-11] Wigner, Eugene P .; Yanase, Mutsuo M. (1964). „O pozitivní semidefinitní povaze určitého výrazu matice“. Kanadský žurnál matematiky. Kanadská matematická společnost. 16: 397–406. doi:10.4153 / cjm-1964-041-x. ISSN 0008-414X.

[A79-12] A ^b Ando, T. (1979). "Konkávnost určitých map na pozitivně určitých maticích a aplikacích na produkty Hadamard". Lineární algebra a její aplikace. Elsevier BV. 26: 203–241. doi:10.1016/0024-3795(79)90179-4. ISSN 0024-3795.

[E73-13] Epstein, H. (1973). "Poznámky ke dvěma větám E. Lieb". Komunikace v matematické fyzice. Springer Science and Business Media LLC. 31 (4): 317–325. doi:10.1007 / bf01646492. ISSN 0010-3616. S2CID 120096681.

[R02-14] Ruskai, Mary Beth (2002). "Nerovnosti pro kvantovou entropii: Recenze s podmínkami rovnosti". Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 43 (9): 4358–4375. arXiv:quant-ph / 0205064. doi:10.1063/1.1497701. ISSN 0022-2488. S2CID 3051292.

[R06-15] Ruskai, Mary Beth (2007). "Další krátký a elementární důkaz silné subadditivity kvantové entropie". Zprávy o matematické fyzice. Elsevier BV. 60 (1): 1–12. arXiv:quant-ph / 0604206. doi:10.1016 / s0034-4877 (07) 00019-5. ISSN 0034-4877. S2CID 1432137.

[Ldb74-16] Lindblad, Göran (1974). "Očekávání a entropické nerovnosti pro konečné kvantové systémy". Komunikace v matematické fyzice. Springer Science and Business Media LLC. 39 (2): 111–119. doi:10.1007 / bf01608390. ISSN 0010-3616. S2CID 120760667.

[D57-17] A ^b C. Davis, Schwarzova nerovnost pro konvexní operátorské funkce, Proc. Amer. Matematika. Soc. 8, 42–44, (1957).

[HP02-18] Hansen, Frank; Pedersen, Gert K. (06.06.2003). „Nerovnost Jensenova operátora“. Bulletin of London Mathematical Society. 35 (4): 553–564. arXiv:matematika / 0204049. doi:10.1112 / s0024609303002200. ISSN 0024-6093. S2CID 16581168.

[19] EH Lieb, WE Thirring, Nerovnosti pro okamžiky vlastních hodnot Schrödinger Hamiltonian a jejich vztah k Sobolevovým nerovnostem, ve Studiích matematické fyziky, editoval E. Lieb, B. Simon a A. Wightman, Princeton University Press, 269– 303 (1976).

[20] Araki, Huzihiro (1990). "O nerovnosti Lieb a Thirring". Dopisy z matematické fyziky. Springer Science and Business Media LLC. 19 (2): 167–170. doi:10.1007 / bf01045887. ISSN 0377-9017. S2CID 119649822.

[21] Z. Allen-Zhu, Y. Lee, L. Orecchia, Využití optimalizace k získání nezávislého, paralelního, jednoduššího a rychlejšího pozitivního řešení SDP nezávislého na šířce, na sympoziu ACM-SIAM o diskrétních algoritmech, 1824–1831 (2016).

[E09-22] Effros, E. G. (2009-01-21). „Maticový konvexní přístup k některým oslavovaným kvantovým nerovnostem“. Sborník Národní akademie věd USA. Sborník Národní akademie věd. 106 (4): 1006–1008. arXiv:0802.1234. doi:10.1073 / pnas.0807965106. ISSN 0027-8424. PMC 2633548. PMID 19164582.

[23] Ebadian, A .; Nikoufar, I .; Eshaghi Gordji, M. (2011-04-18). "Perspektivy konvexních funkcí matice". Sborník Národní akademie věd. Sborník Národní akademie věd USA. 108 (18): 7313–7314. doi:10.1073 / pnas.1102518108. ISSN 0027-8424.

[24] Mirsky, L. (prosinec 1975). "Stopová nerovnost Johna von Neumanna". Monatshefte für Mathematik. 79 (4): 303–306. doi:10.1007 / BF01647331. S2CID 122252038.

[25] Marshall, Albert W .; Olkin, Ingram; Arnold, Barry (2011). Nerovnosti: Teorie majorizace a její aplikace (2. vyd.). New York: Springer. str.340 -341. ISBN 978-0-387-68276-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]