Kvantová relativní entropie - Quantum relative entropy

v teorie kvantové informace, kvantová relativní entropie je míra rozlišitelnosti mezi dvěma kvantové stavy. Je to kvantově mechanický analog relativní entropie.

Motivace

Pro zjednodušení se předpokládá, že všechny objekty v článku jsou konečně trojrozměrné.

Nejprve probereme klasický případ. Předpokládejme, že pravděpodobnosti konečné posloupnosti událostí jsou dány rozdělením pravděpodobnosti P = {str₁...str_n}, ale nějak jsme to mylně předpokládali Q = {q₁...q_n}. Můžeme například zaměnit neférovou minci za spravedlivou. Podle tohoto chybného předpokladu naše nejistota ohledně j-tá událost, nebo ekvivalentně, množství informací poskytnutých po pozorování j-tá událost, je

${displaystyle; -log q_ {j}.}$

(Předpokládaná) průměrná nejistota všech možných událostí je tedy

${displaystyle; -sum _ {j} p_ {j} log q_ {j}.}$

Na druhou stranu Shannonova entropie rozdělení pravděpodobnosti str, definován

${displaystyle; -sum _ {j} p_ {j} log p_ {j},}$

je skutečná míra nejistoty před pozorováním. Proto je rozdíl mezi těmito dvěma veličinami

${displaystyle; -sum _ {j} p_ {j} log q_ {j} -left (-sum _ {j} p_ {j} log p_ {j} ight) = součet _ {j} p_ {j} log p_ {j} -sum _ {j} p_ {j} přihlásit q_ {j}}$

je míra rozlišitelnosti dvou rozdělení pravděpodobnosti str a q. Toto je přesně klasická relativní entropie, nebo Kullback – Leiblerova divergence:

${displaystyle D_ {mathrm {KL}} (P | Q) = součet _ {j} p_ {j} log {frac {p_ {j}} {q_ {j}}} !.}$

Poznámka

1. Ve výše uvedených definicích se předpokládá konvence, že 0 · log 0 = 0, protože lim_X → 0 X logX = 0. Intuitivně by se dalo očekávat, že dojde k události nulová pravděpodobnost nepřispívat ničím k entropii.
2. Relativní entropie není a metrický. Například to není symetrické. Nesrovnalosti v nejistotě při mylném chápání spravedlivé mince jako nespravedlivé nejsou stejné jako v opačné situaci.

Definice

Stejně jako u mnoha dalších objektů v teorii kvantové informace je kvantová relativní entropie definována rozšířením klasické definice z distribucí pravděpodobnosti na matice hustoty. Nechat ρ být maticí hustoty. The von Neumannova entropie z ρ, což je kvantově mechanický analog Shannonovy entropie, je dán vztahem

${displaystyle S (ho) = - operatorname {Tr} ho log ho.}$

Pro dvě matice hustoty ρ a σ, kvantová relativní entropie ρ s ohledem na σ je definováno

${displaystyle S (ho | sigma) = - operatorname {Tr} ho log sigma -S (ho) = operatorname {Tr} ho log ho -operatorname {Tr} ho log sigma = operatorname {Tr} ho (log ho -log sigma ).}$

Vidíme, že když jsou stavy klasicky příbuzné, tj. ρσ = σρ, definice se shoduje s klasickým případem.

Ne-konečná (divergentní) relativní entropie

Obecně platí, že Podpěra, podpora matice M je ortogonální doplněk jeho jádro, tj. ${displaystyle {ext {supp}} (M) = {ext {ker}} (M) ^ {perp}}$. Když uvažujeme o kvantové relativní entropii, předpokládáme konvenci, že -s · Log 0 = ∞ pro libovolné s > 0. To vede k definici, že

${displaystyle S (ho | sigma) = infty}$

když

${displaystyle {ext {supp}} (ho) cap {ext {ker}} (sigma) eq 0.}$

To lze interpretovat následujícím způsobem. Neformálně je kvantová relativní entropie měřítkem naší schopnosti rozlišit dva kvantové stavy, kde větší hodnoty označují stavy, které se liší. Být ortogonální představuje nejrůznější kvantové stavy, jaké mohou být. To se odráží u neomezené kvantové relativní entropie pro ortogonální kvantové stavy. Po argumentu uvedeném v části Motivace, pokud mylně předpokládáme stav ${displaystyle ho}$ má podporu v ${displaystyle {ext {ker}} (sigma)}$, jedná se o chybu, ze které se nelze zotavit.

Měli bychom si však dávat pozor, abychom neuzavřeli, že divergence kvantové relativní entropie ${displaystyle S (ho | sigma)}$ znamená, že státy ${displaystyle ho}$ a ${displaystyle sigma}$ jsou kolmé nebo dokonce velmi odlišné od jiných měr. Konkrétně ${displaystyle S (ho | sigma)}$ se mohou rozcházet, když ${displaystyle ho}$ a ${displaystyle sigma}$ se liší o mizivě malé množství měřeno nějakou normou. Například pojďme ${displaystyle sigma}$ mít diagonální zobrazení

${displaystyle sigma = sum _ {n} lambda _ {n} | f_ {n} úhel langle f_ {n} |}$

s ${displaystyle lambda _ {n}> 0}$ pro ${displaystyle n = 0,1,2, ldots}$ a ${displaystyle lambda _ {n} = 0}$ pro ${displaystyle n = -1, -2, ldots}$ kde ${displaystyle {| f_ {n} úhel, nin mathbb {Z}}}$ je ortonormální sada. Jádro ${displaystyle sigma}$ je prostor překlenutý množinou ${displaystyle {| f_ {n} úhel, n = -1, -2, ldots}}$. Dále nechte

${displaystyle ho = sigma + epsilon | f _ {- 1} úhelník f _ {- 1} | -epsilon | f_ {1} úhelník f_ {1} |}$

za malé kladné číslo ${displaystyle epsilon}$. Tak jako ${displaystyle ho}$ má podporu (konkrétně stát ${displaystyle | f _ {- 1} úhel}$) v jádře ${displaystyle sigma}$, ${displaystyle S (ho | sigma)}$ se liší, i když stopová norma rozdílu ${displaystyle (ho -sigma)}$ je ${displaystyle 2epsilon}$ . To znamená, že rozdíl mezi ${displaystyle ho}$ a ${displaystyle sigma}$ měřeno stopovou normou je mizivě malé jako ${displaystyle epsilon o 0}$ Přestože ${displaystyle S (ho | sigma)}$ je divergentní (tj. nekonečný). Tato vlastnost kvantové relativní entropie představuje vážný nedostatek, pokud s ním není zacházeno opatrně.

Nezápornost relativní entropie

Odpovídající klasický výrok

Pro klasiku Kullback – Leiblerova divergence, lze ukázat, že

${displaystyle D_ {mathrm {KL}} (P | Q) = součet _ {j} p_ {j} log {frac {p_ {j}} {q_ {j}}} geq 0,}$

a rovnost platí tehdy a jen tehdy P = Q. Hovorově to znamená, že nejistota vypočtená pomocí chybných předpokladů je vždy větší než skutečné množství nejistoty.

Abychom ukázali nerovnost, přepíšeme

${displaystyle D_ {mathrm {KL}} (P | Q) = součet _ {j} p_ {j} log {frac {p_ {j}} {q_ {j}}} = součet _ {j} (- log { frac {q_ {j}} {p_ {j}}}) (p_ {j}).}$

Všimněte si, že log je konkávní funkce. Proto -log je konvexní. Přihlašování Jensenova nerovnost, získáváme

${displaystyle D_ {mathrm {KL}} (P | Q) = součet _ {j} (- log {frac {q_ {j}} {p_ {j}}}) (p_ {j}) geq -log (součet _ {j} {frac {q_ {j}} {p_ {j}}} p_ {j}) = 0.}$

Jensenova nerovnost rovněž uvádí, že rovnost platí tehdy a jen tehdy, pro všechny i, q_i = (∑q_j) str_i, tj. str = q.

Výsledek

Kleinova nerovnost uvádí, že kvantová relativní entropie

${displaystyle S (ho | sigma) = operatorname {Tr} ho (log ho -log sigma).}$

není obecně negativní. Je nula právě tehdy ρ = σ.

Důkaz

Nechat ρ a σ mít spektrální rozklady

${displaystyle ho = součet _ {i} p_ {i} v_ {i} v_ {i} ^ {*};,; sigma = součet _ {i} q_ {i} w_ {i} w_ {i} ^ {* }.}$sum_i; ,; sigma

Tak

${displaystyle log ho = sum _ {i} (log p_ {i}) v_ {i} v_ {i} ^ {*};,; log sigma = sum _ {i} (log q_ {i}) w_ {i } w_ {i} ^ {*}.}$

Přímý výpočet dává

${displaystyle S (ho | sigma)}$

${displaystyle = sum _ {k} p_ {k} log p_ {k} -sum _ {i, j} (p_ {i} log q_ {j}) | v_ {i} ^ {*} w_ {j} | ^ {2}}$

${displaystyle = sum _ {i} p_ {i} (log p_ {i} -sum _ {j} log q_ {j} | v_ {i} ^ {*} w_ {j} | ^ {2})}$

${displaystyle; = součet _ {i} p_ {i} (log p_ {i} -sum _ {j} (log q_ {j}) P_ {ij}),}$

kde P_{já j} = |proti_i* w_j|².

Protože matice (P_{já j})_{já j} je dvojnásobně stochastická matice a log je konvexní funkce, výše uvedený výraz je

${displaystyle geq sum _ {i} p_ {i} (log p_ {i} -log (sum _ {j} q_ {j} P_ {ij}))}}$

Definovat r_i = ∑_jq_j P_{já j}. Pak {r_i} je rozdělení pravděpodobnosti. Z nezápornosti klasické relativní entropie máme

${displaystyle S (ho | sigma) geq součet _ {i} p_ {i} log {frac {p_ {i}} {r_ {i}}} geq 0.}$

Druhá část nároku vyplývá ze skutečnosti, že jelikož -log je striktně konvexní, rovnosti je dosaženo v

${displaystyle sum _ {i} p_ {i} (log p_ {i} -sum _ {j} (log q_ {j}) P_ {ij}) geq sum _ {i} p_ {i} (log p_ {i } -log (součet _ {j} q_ {j} P_ {ij}))}$

kdyby a jen kdyby (P_{já j}) je permutační matice, což znamená ρ = σ, po vhodném označení vlastních vektorů {proti_i} a {w_i}.

Společná konvexita relativní entropie

Relativní entropie je společně konvexní. Pro ${displaystyle 0leq lambda leq 1}$ a státy ${displaystyle ho _ {1 (2)}, sigma _ {1 (2)}}$ my máme

${displaystyle D (lambda ho _ {1} + (1-lambda) ho _ {2} | lambda sigma _ {1} + (1-lambda) sigma _ {2}) leq lambda D (ho _ {1} | sigma _ {1}) + (1-lambda) D (ho _ {2} | sigma _ {2})}$

Monotónnost relativní entropie

Relativní entropie klesá monotónně pod zcela pozitivní stopa zachování (CPTP) operací ${displaystyle {mathcal {N}}}$ na matice hustoty,

${displaystyle S ({mathcal {N}} (ho) | {mathcal {N}} (sigma)) leq S (ho | sigma)}$.

Tato nerovnost se nazývá Monotónnost kvantové relativní entropie.

Opatření zapletení

Nechť složený kvantový systém má stavový prostor

${displaystyle H = mnohokrát _ {k} H_ {k}}$

a ρ být maticí hustoty působící na H.

The relativní entropie zapletení z ρ je definováno

${displaystyle; D_ {mathrm {REE}} (ho) = min _ {sigma} S (ho | sigma)}$

kde je minimum převzato rodinou oddělitelné stavy. Fyzikální interpretace veličiny je optimální rozlišitelnost stavu ρ ze oddělitelných států.

Je zřejmé, kdy ρ není zapletený

${displaystyle; D_ {mathrm {REE}} (ho) = 0}$

Kleinovou nerovností.

Vztah k ostatním kvantovým informacím

Jedním z důvodů, proč je kvantová relativní entropie užitečná, je to, že několik dalších důležitých kvantových informačních množství je její speciální případ. Věty jsou často uváděny jako kvantová relativní entropie, která vede k okamžitým důsledkům týkajícím se ostatních veličin. Níže uvádíme některé z těchto vztahů.

Nechat ρ_AB být společným stavem bipartitního systému se subsystémem A dimenze n_A a B dimenze n_B. Nechat ρ_A, ρ_B být příslušnými redukovanými státy a Já_A, Já_B příslušné identity. The maximálně smíšené státy jsou Já_A/n_A a Já_B/n_B. Pak je možné to přímým výpočtem ukázat

${displaystyle S (ho _ {A} || I_ {A} / n_ {A}) = mathrm {log} (n_ {A}) - S (ho _ {A}) ,;}$

${displaystyle S (ho _ {AB} || ho _ {A} vícekrát ho _ {B}) = S (ho _ {A}) + S (ho _ {B}) - S (ho _ {AB}) = I (A: B),}$

${displaystyle S (ho _ {AB} || ho _ {A} mnohokrát I_ {B} / n_ {B}) = mathrm {log} (n_ {B}) + S (ho _ {A}) - S ( ho _ {AB}) = mathrm {log} (n_ {B}) - S (B | A),}$

kde Já(A:B) je kvantová vzájemná informace a S(B|A) je kvantová podmíněná entropie.

Reference

• Vedral, V. (8. března 2002). "Role relativní entropie v kvantové teorii informací". Recenze moderní fyziky. Americká fyzická společnost (APS). 74 (1): 197–234. arXiv:quant-ph / 0102094. Bibcode:2002RvMP ... 74..197V. doi:10.1103 / revmodphys.74.197. ISSN  0034-6861.
• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, „Kvantové výpočty a kvantové informace“