Cyklomtomický znak - Cyclotomic character - Wikipedia

v teorie čísel, a cyklotomický charakter je charakter a Galoisova skupina dávat Galois akce na skupina z kořeny jednoty. Jako jednorozměrný zastoupení přes prsten R, své reprezentační prostor je obecně označován R(1) (to znamená, že se jedná o reprezentaci χ: G → Aut_R(R(1)) ≈ GL (1, R)).

p-adický cyklotomický charakter

Li p je primární, a G je absolutní skupina Galois z racionální čísla, p-adický cyklotomický charakter je skupinový homomorfismus

${ displaystyle chi _ {p}: G rightarrow mathbf {Z} _ {p} ^ { times}}$

kde Z_p^× je skupina jednotek prstenu z celá čísla p-adic. Tento homomorfismus je definován následovně. Nechat ζ_n být primitivní pⁿ kořen jednoty. Každý pⁿ kořen jednoty je síla ζ_n jednoznačně definován jako prvek kruhu celých čísel modulo pⁿ. Primitivní kořeny jednoty odpovídají invertibilní prvky, tj. do (Z/pⁿ)^×. Prvek G skupiny Galois G posílá ζ_n k jinému primitivu pⁿ kořen jednoty

${ displaystyle theta = zeta _ {n} ^ {a_ {g, n}}}$

kde A_G,n ∈ (Z/pⁿ)^×. Za dané G, tak jako n se liší A_G,n tvoří kompatibilní systém v tom smyslu, že dávají prvek inverzní limit z (Z/pⁿ)^×, který je Z_p^×. Proto p-adic cyklotomic znak odešle G do systému (A_G,n)_n, tedy kódování akce G na všech p- mocenské kořeny jednoty.

Ve skutečnosti, ${ displaystyle chi _ {p}}$ je kontinuální homomorfismus (kde topologie na G je Krullova topologie a to dál Z_p^× je p-adic topologie).

Jako kompatibilní systém ℓ-adických reprezentací

Změnou ing ve všech prvočíslech, a kompatibilní systém ℓ-adic reprezentací se získává z tom-adických cyklotomických znaků (když uvažujeme o kompatibilních systémech reprezentací, standardní terminologií je použití symbolu ℓ k označení prvočísla místo p). To znamená, χ = {χ_ℓ }_ℓ je „rodina“ ℓ-adických reprezentací

${ displaystyle chi _ { ell}: G _ { mathbf {Q}} rightarrow operatorname {GL} _ {1} ( mathbf {Z} _ { ell})}$

uspokojení určité kompatibility mezi různými prvočísly. Ve skutečnosti je χ_ℓ tvoří a přísně kompatibilní systém ℓ-adic reprezentací.

Geometrické realizace

The p-adický cyklotomický charakter je p-adic Tate modul z multiplikativní skupinové schéma G_m,Q přes Q. Jako takový lze jeho reprezentační prostor považovat za inverzní limit ze skupin pⁿth kořeny jednoty v Q.

Ve smyslu kohomologie, p-adický cyklotomický charakter je dvojí první p-adic etomle cohomology skupina G_m. Lze jej také najít v étale cohomology a projektivní rozmanitost, jmenovitě projektivní linie: je to dvojí H²_ét( P¹ ).

Ve smyslu motivy, p-adický cyklotomický charakter je p-adická realizace Tate motiv Z(1). Jako Grothendieckův motiv, motiv Tate je dvojí H²( P¹ ).^[1]

Vlastnosti

The p-adický cyklotomický charakter splňuje několik pěkných vlastností.

• to je unramified ve všech prvočíslech ℓ ≠ p (tj setrvačná podskupina at ℓ působí triviálně).
• Pokud Frob_ℓ je Frobeniův prvek pro ℓ ≠ p, pak χ_p(Frob_ℓ) = ℓ
• to je krystalický na p.

Viz také

• Tate twist

Reference