Lefschetzova věta o (1,1) třídách - Lefschetz theorem on (1,1)-classes

v algebraická geometrie, pobočka matematika, Lefschetzova věta o (1,1) třídách, pojmenoval podle Solomon Lefschetz, je klasický výrok týkající se holomorfní svazky řádků na kompaktní Kähler potrubí do tříd v jeho integrálu kohomologie. Je to jediný případ Hodgeova domněnka což bylo prokázáno u všech potrubí Kähler.^[1]

Výrok věty

Nechat X být kompaktní potrubí Kähler. První Třída Chern C₁ dává mapu od svazků holomorfních čar do H²(X, Z). Podle Hodgeova teorie, de Rhamova kohomologie skupina H²(X, C) se rozkládá jako přímý součet H^0,2(X) ⊕ H^1,1(X) ⊕ H^2,0(X), a lze prokázat, že obraz C₁ leží v H^1,1(X). Věta říká, že mapa na H²(X, Z) ∩ H^1,1(X) je surjektivní.

Ve zvláštním případě, kdy X je projektivní rozmanitost, svazky holomorfních čar jsou v bijekci s třídou lineárních ekvivalentů dělitele a dostal dělitele D na X s přidruženým svazkem linek O (D), třída C₁(O (D)) je Poincaré duální do třídy homologie dané D. Tím se tedy zavádí obvyklá formulace Hodgeova domněnky pro dělitele v projektivních variantách.

Důkaz použití běžných funkcí

Lefschetzův původní důkaz^[2] pracoval na projektivních plochách a používal normální funkce, které představil Poincaré. Předpokládejme to C_t je tužka křivek X. Každá z těchto křivek má a Jacobian odrůda JC_t (je-li křivka singulární, existuje vhodná zobecněná jakobijská odrůda). Ty lze sestavit do rodiny ${ displaystyle { mathcal {J}}}$, Jacobian tužky, který je dodáván s projekční mapou π k základně T tužky. A normální funkce je (holomorfní) část π.

Opravte vložení X v P^Na vyberte tužku křivek C_t na X. Pro pevnou křivku Γ zapnuto X, křižovatka Γ a C_t je dělitel str₁(t) + ... + str_d(t) na C_t, kde d je stupeň X. Opravte základní bod str₀ tužky. Pak dělitel str₁(t) + ... + str_d(t) − dp₀ je dělitelem stupně nula a následně určuje třídu ν_Γ(t) v Jacobian JC_t pro všechny t. Mapa z t do ν_Γ(t) je normální funkce.

Henri Poincaré dokázal, že pro obecnou tužku křivek všechny normální funkce vznikly jako ν_Γ(t) pro nějakou volbu Γ. Lefschetz dokázal, že jakákoli normální funkce určuje třídu v H²(X, Z) a že třída ν_Γ je základní třída Γ. Dále dokázal, že třída v H²(X, Z) je třída normální funkce právě tehdy, pokud leží v H^1,1. Spolu s teorémem o existenci Poincaré to dokazuje teorém o (1,1) třídách.

Důkaz pomocí svazkové kohomologie

Protože X je komplexní potrubí, připouští exponenciální svazek sekvence^[3]

${ displaystyle 0 to { underline { mathbf {Z}}} { stackrel {2 pi i} { longrightarrow}} { mathcal {O}} _ {X} { stackrel { operatorname {exp }} { longrightarrow}} { mathcal {O}} _ {X} ^ { times} na 0.}$

Vezmeme-li svazek cohomologie této přesné sekvence, poskytneme mapy

${ displaystyle H ^ {1} (X, { mathcal {O}} _ {X} ^ { times}) { stackrel {c_ {1}} { to}} H ^ {2} (X, mathbf {Z}) { stackrel {i _ {*}} { to}} H ^ {2} (X, { mathcal {O}} _ {X}).}$

Skupina Obr X z svazky řádků na X je izomorfní s ${ displaystyle H ^ {1} (X, { mathcal {O}} _ {X} ^ { times})}$. První mapa třídy Chern je C₁ podle definice, takže to stačí ukázat i_* je nula.

Protože X je Kähler, Hodgeova teorie to naznačuje ${ displaystyle H ^ {2} (X, { mathcal {O}} _ {X}) cong H ^ {0,2} (X)}$. Nicméně, i_* faktory prostřednictvím mapy z H²(X, Z) až H²(X, C) a dále H²(X, C), i_* je omezení projekce na H^0,2(X). Z toho vyplývá, že je nulová H²(X, Z) ∩ H^1,1(X), a následně, že mapa třídy cyklu je surjektivní.^[4]

Reference

Bibliografie

• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principy algebraické geometrie, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118032527, ISBN  978-0-471-05059-9, PAN  1288523
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique„Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (ve francouzštině), Paříž: Gauthier-Villars Přetištěno Lefschetz, Solomon (1971), Vybrané příspěvky, New York: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0234-7, PAN  0299447