Plocha povrchu - Surface area

A koule poloměru r má povrchovou plochu 4πr².

The plocha povrchu a pevný objekt je měřítkem součtu plocha že povrch objektu zabírá.^[1] Matematická definice povrchové plochy v přítomnosti zakřivených povrchů je podstatně více zapojena než definice délka oblouku jednorozměrných křivek nebo plochy povrchu pro mnohostěn (tj. objekty s plochým polygonem tváře ), pro které je povrchová plocha součtem ploch jeho tváří. Hladké povrchy, například a koule, je jim přiřazena plocha pomocí jejich vyjádření jako parametrické povrchy. Tato definice povrchu je založena na metodách nekonečně malý počet a zahrnuje částečné derivace a dvojitá integrace.

Hledala se obecná definice povrchu Henri Lebesgue a Hermann Minkowski na přelomu dvacátého století. Jejich práce vedla k rozvoji teorie geometrických měr, který studuje různé představy o povrchu pro nepravidelné objekty jakékoli dimenze. Důležitým příkladem je Minkowského obsah povrchu.

Definice

Zatímco oblasti mnoha jednoduchých povrchů jsou známy již od starověku, je to přísná matematika definice oblasti vyžaduje velkou péči. To by mělo poskytovat funkci

${displaystyle Smapsto A (S)}$

který přiřadí klad reálné číslo do určité třídy povrchy který splňuje několik přirozených požadavků. Nejzákladnější vlastností povrchu je jeho aditivita: plocha celku je součtem ploch částí. Přísněji, pokud povrch S je spojení konečně mnoha kusů S₁, …, S_r které se tedy nepřekrývají, kromě jejich hranic

${displaystyle A (S) = A (S_ {1}) + cdots + A (S_ {r}).}$

Povrchové plochy plochých polygonálních tvarů musí souhlasit s jejich geometricky definovanými plocha. Protože povrchová plocha je geometrický pojem, plochy o shodný povrchy musí být stejné a plocha musí záviset pouze na tvaru povrchu, ale ne na jeho poloze a orientaci v prostoru. To znamená, že povrch je neměnný pod skupina euklidovských pohybů. Tyto vlastnosti jednoznačně charakterizují povrchovou plochu pro širokou třídu nazývaných geometrických povrchů po částech hladké. Takové povrchy se skládají z konečně mnoha kusů, které mohou být reprezentovány v parametrický tvar

${displaystyle S_ {D}: {vec {r}} = {vec {r}} (u, v), quad (u, v) v D}$

s průběžně diferencovatelné funkce ${displaystyle {vec {r}}.}$ Plocha jednotlivého kusu je definována vzorcem

${displaystyle A (S_ {D}) = iint _ {D} vlevo | {vec {r}} _ {u} imes {vec {r}} _ {v} ight |, du, dv.}$

Tedy oblast S_D se získá integrací délky normálního vektoru ${displaystyle {vec {r}} _ {u} imes {vec {r}} _ {v}}$ na povrch přes příslušnou oblast D v parametrickém uv letadlo. Plocha celého povrchu se poté získá sečtením ploch kusů pomocí aditivity povrchu. Hlavní vzorec lze specializovat na různé třídy povrchů, zejména pak vzorce pro oblasti grafů z = F(X,y) a rotační plochy.

Schwarzova lucerna s ${displaystyle M}$ axiální řezy a ${displaystyle N}$ radiální vrcholy. Limit oblasti jako ${displaystyle M}$ a ${displaystyle N}$ inklinují k nekonečnu nesbližuje. Zejména se neshromažďuje do oblasti válce.

Jedna z jemností povrchové plochy ve srovnání s délka oblouku křivek je, že povrchovou plochu nelze definovat jednoduše jako limit ploch polyhedrálních tvarů přibližujících se danému hladkému povrchu. Ukázalo se to Hermann Schwarz že již pro válec mohou různé volby aproximace plochých povrchů vést k různým mezním hodnotám oblasti; tento příklad je znám jako Schwarzova lucerna.^[2][3]

Koncem devatenáctého a na počátku dvacátého století byly vyvinuty různé přístupy k obecné definici povrchové plochy Henri Lebesgue a Hermann Minkowski. Zatímco u po částech hladkých povrchů existuje jedinečná přirozená představa o povrchové ploše, pokud je povrch velmi nepravidelný nebo drsný, nemusí být možné k němu vůbec přiřadit plochu. Typickým příkladem je povrch s hustými hroty roztaženými po celém povrchu. Mnoho povrchů tohoto typu se vyskytuje při studiu fraktály. Jsou studována rozšíření pojmu oblast, která částečně plní svoji funkci a lze ji definovat i pro velmi špatně nepravidelné povrchy teorie geometrických měr. Specifickým příkladem takového rozšíření je Minkowského obsah povrchu.

Běžné vzorce

Povrchy běžných pevných látek

Tvar	Rovnice	Proměnné
Krychle	${displaystyle 6s ^ {2},}$	s = délka strany
Kvádr	${displaystyle 2 (ell w + ell h + wh),}$	ℓ = délka, w = šířka, h = výška
Trojhranný hranol	${displaystyle bh + l (a + b + c)}$	b = základní délka trojúhelníku, h = výška trojúhelníku, l = vzdálenost mezi trojúhelníkovými základnami, A, b, C = strany trojúhelníku
Všechno hranoly	${displaystyle 2B + Ph,}$	B = plocha jedné základny, P = obvod jedné základny, h = výška
Koule	${displaystyle 4pi r ^ {2} = pi d ^ {2},}$	r = poloměr koule, d = průměr
Sférické lune	${displaystyle 2r ^ {2} heta,}$	r = poloměr koule, θ = vzepětí úhel
Torus	${displaystyle (2pi r) (2pi R) = 4pi ^ {2} Rr}$	r = menší poloměr (poloměr trubky), R = hlavní poloměr (vzdálenost od středu trubice ke středu torusu)
Zavřeno válec	${displaystyle 2pi r ^ {2} + 2pi rh = 2pi r (r + h),}$	r = poloměr kruhové základny, h = výška válce
Boční povrch a kužel	${displaystyle pi rleft ({sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} ight) = pi rs,}$	${displaystyle s = {sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$ s = šikmá výška kužele, r = poloměr kruhové základny, h = výška kužele
Celá plocha kužele	${displaystyle pi rleft (r + {sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} ight) = pi r (r + s),}$	s = šikmá výška kužele, r = poloměr kruhové základny, h = výška kužele
Pyramida	${displaystyle B + {frac {PL} {2}}}$	B = plocha základny, P = obvod základny, L = šikmá výška
Čtvercová pyramida	${displaystyle b ^ {2} + 2bs = b ^ {2} + 2b {sqrt {left ({frac {b} {2}} ight) ^ {2} + h ^ {2}}}}$	b = délka základny, s = šikmá výška, h = svislá výška
Obdélníková pyramida	${displaystyle lw + l {sqrt {left ({frac {w} {2}} ight) ^ {2} + h ^ {2}}} + w {sqrt {left ({frac {l} {2}} ight ) ^ {2} + h ^ {2}}}}$	ℓ = délka, w = šířka, h = výška
Čtyřstěn	${displaystyle {sqrt {3}} a ^ {2}}$	A = délka strany

Poměr povrchových ploch koule a válce se stejným poloměrem a výškou

Kužel, koule a válec o poloměru r a výška h.

Níže uvedené vzorce lze použít k ukázání, že povrchová plocha a koule a válec stejného poloměru a výšky jsou v poměru 2 : 3, jak následuje.

Nechť je poloměr r a výška být h (což je 2r pro sféru).

${displaystyle {egin {array} {rlll} {ext {Sphere surface area}} & = 4pi r ^ {2} && = (2pi r ^ {2}) imes 2 {ext {Cylinder surface area}} & = 2pi r (h + r) & = 2pi r (2r + r) & = (2pi r ^ {2}) je 3end {pole}}}$

Objev tohoto poměru se připisuje Archimedes.^[4]

V chemii

Povrch částic různých velikostí.

Povrch je důležitý v chemická kinetika. Zvětšení povrchu látky obecně zvyšuje hodnotit a chemická reakce. Například, žehlička v jemném prášku spálit, zatímco v pevných blocích je dostatečně stabilní pro použití v konstrukcích. Pro různé aplikace může být požadována minimální nebo maximální plocha povrchu.

V biologii

Vnitřní membrána mitochondrie má velkou plochu díky infoldings, což umožňuje vyšší rychlost buněčné dýchání (elektron mikrograf ).

Povrch organismu je důležitý v několika ohledech, jako je regulace tělesné teploty a trávení. Zvířata používají své zuby rozdrtit jídlo na menší částice a zvětšit tak povrchovou plochu dostupnou pro trávení. Obsahuje epiteliální tkáň lemující trávicí trakt mikrovilli, což značně zvyšuje plochu dostupnou pro absorpci. Sloni mít velké uši, což jim umožňuje regulovat vlastní tělesnou teplotu. V jiných případech budou zvířata muset minimalizovat povrch; lidé si například za studena založí paže přes hruď, aby minimalizovali tepelné ztráty.

The poměr povrchu k objemu (SA: V) a buňka ukládá horní limity velikosti, protože objem se zvyšuje mnohem rychleji než povrchová plocha, čímž se omezuje rychlost, při které látky difundují z vnitřku přes buněčná membrána do intersticiálních prostor nebo do jiných buněk. Ve skutečnosti představuje buňku jako idealizovanou koule poloměru r, objem a povrchová plocha jsou PROTI = (4/3)πr³ a SA = 4πr². Výsledný poměr povrchu k objemu je tedy 3/r. Pokud má tedy buňka poloměr 1 μm, poměr SA: V je 3; zatímco pokud je poloměr buňky namísto 10 μm, pak poměr SA: V bude 0,3. Při poloměru buňky 100 je poměr SA: V 0,03. S rostoucím objemem tedy povrch prudce klesá.

Viz také

• Délka obvodu
• Teorie BET, technika pro měření specifického povrchu materiálů
• Sférická oblast
• Plošný integrál

Reference

• Yu.D. Burago; V.A. Zalgaller (2001) [1994], "Plocha", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

externí odkazy

• Plošné video ve společnosti Thinkwell