Sub-Riemannian potrubí - Sub-Riemannian manifold - Wikipedia

v matematika, a sub-Riemannian potrubí je určitý typ zobecnění a Riemannovo potrubí. Zhruba řečeno, k měření vzdáleností v sub-Riemannově varietě máte povoleno jít pouze po křivkách tečny k tzv. horizontální podprostory.

Sub-Riemannian potrubí (a tak, tím spíše, Riemannian manifolds) nesou přirozené vnitřní metrika volal metrika Carnot – Carathéodory. The Hausdorffova dimenze takových metrické prostory je vždy celé číslo a větší než jeho topologická dimenze (pokud to není ve skutečnosti Riemannovo potrubí).

Sub-Riemannian rozdělovače se často vyskytují při studiu omezených systémů v klasická mechanika, jako je pohyb vozidel na povrchu, pohyb robotických ramen a orbitální dynamika satelitů. Geometrické veličiny, jako je Berryho fáze lze chápat v jazyce sub-Riemannovy geometrie. The Skupina Heisenberg, důležité kvantová mechanika, nese přirozenou sub-Riemannovskou strukturu.

Definice

Podle a rozdělení na ${ displaystyle M}$ myslíme a podskupina z tečný svazek z ${ displaystyle M}$.

Vzhledem k distribuci ${ displaystyle H (M) podmnožina T (M)}$ vektorové pole v ${ displaystyle H (M)}$ je nazýván horizontální. Křivka ${ displaystyle gamma}$ na ${ displaystyle M}$ je nazýván horizontální -li ${ displaystyle { dot { gamma}} (t) v H _ { gamma (t)} (M)}$ pro všechny ${ displaystyle t}$.

Distribuce zapnuta ${ displaystyle H (M)}$ je nazýván zcela neintegrovatelný pokud pro nějaké ${ displaystyle x v M}$ máme, že jakýkoli tangensový vektor může být prezentován jako a lineární kombinace vektorů následujících typů ${ displaystyle A (x), [A, B] (x), [A, [B, C]] (x), [A, [B, [C, D]]] (x), dotsc in T_ {x} (M)}$ kde jsou všechna vektorová pole ${ displaystyle A, B, C, D, tečky}$ jsou vodorovné.

A sub-Riemannian potrubí je trojnásobek ${ displaystyle (M, H, g)}$, kde ${ displaystyle M}$ je rozlišitelný potrubí, ${ displaystyle H}$ je zcela neintegrovatelný "horizontální" distribuce a ${ displaystyle g}$ je plynulá část pozitivního konečného výsledku kvadratické formy na ${ displaystyle H}$.

Žádný sub-Riemannian potrubí nese přirozené vnitřní metrika, nazvaný metrika Carnot – Carathéodory, definováno jako

${ displaystyle d (x, y) = inf int _ {0} ^ {1} { sqrt {g ({ dot { gamma}} (t), { dot { gamma}} (t ))}} , dt,}$

kde se všemu bere infimum vodorovné křivky ${ displaystyle gamma: [0,1] až M}$ takhle ${ displaystyle gamma (0) = x}$, ${ displaystyle gamma (1) = y}$.

Příklady

Poloha automobilu v letadle je dána třemi parametry: dvěma souřadnicemi ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ pro umístění a úhel ${ displaystyle alpha}$ který popisuje orientaci automobilu. Polohu vozu lze tedy popsat bodem v potrubí

${ displaystyle mathbb {R} ^ {2} krát S ^ {1}.}$

Lze se zeptat, jaká je minimální vzdálenost, kterou by měl člověk ujet, aby se dostal z jedné polohy do druhé? To definuje a Carnot – Carathéodory metrika na potrubí

${ displaystyle mathbb {R} ^ {2} krát S ^ {1}.}$

Úzce související příklad sub-Riemannovy metriky lze zkonstruovat na a Skupina Heisenberg: Vezměte dva prvky ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ v odpovídající Lieově algebře takové, že

${ displaystyle { alfa, beta, [ alfa, beta] }}$

pokrývá celou algebru. Horizontální rozdělení ${ displaystyle H}$ překlenuta levým posunem o ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ je zcela neintegrovatelný. Poté zvolíte libovolnou hladkou kladnou kvadratickou formu ${ displaystyle H}$ dává sub-Riemannovu metriku o skupině.

Vlastnosti

Pro každé sub-Riemannovo potrubí existuje a Hamiltonian, nazvaný sub-Riemannian Hamiltonian, zkonstruované z metriky pro potrubí. Naopak každý takový kvadratický Hamiltonián indukuje sub-Riemannovo potrubí. Existence geodetiky odpovídající Hamilton – Jacobiho rovnice pro sub-Riemannian Hamiltonian je dán Věta Chow – Rashevskii.

Viz také

• Carnotova skupina, třída Lež skupiny které tvoří sub-Riemannovy rozdělovače
• Rozdělení

Reference

• Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), Sub-Riemannova geometrie Pokrok v matematice, 144Birkhäuser Verlag, ISBN  978-3-7643-5476-3, PAN  1421821
• Gromov, Mikhael (1996), „Carnot-Carathéodoryovy ​​prostory viděné zevnitř“, Bellaïche, André; Risler., Jean-Jacques (eds.), Sub-Riemannova geometrie (PDF), Progr. Matematika., 144, Basilej, Boston, Berlín: Birkhäuser, s. 79–323, ISBN  3-7643-5476-3, PAN  1421823
• Le Donne, Enrico, Přednášky o sub-Riemannově geometrii (PDF)
• Richard Montgomery, Prohlídka subriemannských geometrií, jejich geodetiky a aplikací (Matematické průzkumy a monografie, svazek 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN  0-8218-1391-9.