Hopf – Rinowova věta - Hopf–Rinow theorem
Hopf – Rinowova věta je soubor prohlášení o geodetická úplnost z Riemannovy rozdělovače. Je pojmenován po Heinz Hopf a jeho student Willi Rinow, který ji publikoval v roce 1931.[1]
Prohlášení
Nechť (M, G) být připojené Riemannovo potrubí. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:
- The Zavřeno a ohraničený podmnožiny z M jsou kompaktní;
- M je kompletní metrický prostor;
- M je geodeticky kompletní; to znamená pro každého p v M, exponenciální mapa expp je definován jako celek tečný prostor TpM.
Kromě toho kterýkoli z výše uvedených znamená, že dané dva body p a q v M, existuje délka minimalizující geodetické spojení těchto dvou bodů (geodetika je obecně kritické body pro délka funkční a mohou, ale nemusí být minima).
Variace a zevšeobecnění
- Věta Hopf – Rinow je zobecněna na délkově-metrické prostory následujícím způsobem:
- Pokud délkově-metrický prostor (M, d) je kompletní a místně kompaktní pak jakékoli dva body dovnitř M lze připojit pomocí a minimalizace geodetické a jakékoli ohraničené uzavřená sada v M je kompaktní.
- Věta neplatí v nekonečných dimenzích: (Atkin 1975 ) ukázal, že dva body v nekonečném dimenzionálním úplném Hilbertově potrubí nemusí být spojeny geodetikou.[2]
- Věta také nezobecňuje na Lorentzian potrubí: Clifton – Pohl torus poskytuje příklad, který je kompaktní, ale není úplný.[3]
Poznámky
- ^ Hopf, H .; Rinow, W. (1931). „Ueber den Begriff der vollständigen diferencigeometrischen Fläche“. Commentarii Mathematici Helvetici. 3 (1): 209–225. doi:10.1007 / BF01601813. hdl:10338.dmlcz / 101427.
- ^ Atkin, C. J. (1975), „Věta Hopf – Rinow je nepravdivá v nekonečných dimenzích“ (PDF), Bulletin of London Mathematical Society, 7 (3): 261–266, doi:10.1112 / blms / 7.3.261, PAN 0400283.
- ^ O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity Čistá a aplikovaná matematika, 103, Academic Press, s. 193, ISBN 9780080570570.
Reference
- Jürgen Jost (28. července 2011). Riemannova geometrie a geometrická analýza (6. vydání). Universitext. Springer Science & Business Media. doi:10.1007/978-3-642-21298-7. ISBN 978-3-642-21298-7. Viz část 1.7.
- Voitsekhovskii, M. I. (2001) [1994], „Hopf-Rinowova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS