Potenciální gradient - Potential gradient
v fyzika, chemie a biologie, a potenciální gradient je místní rychlost změny z potenciál s ohledem na posunutí, tj. prostorovou derivaci nebo gradient. Toto množství se často vyskytuje v rovnicích fyzikálních procesů, protože vede k nějaké formě tok.
Definice
Jedna dimenze
Nejjednodušší definice potenciálního gradientu F v jedné dimenzi je následující:[1]
kde ϕ(X) je nějaký typ skalární potenciál a X je přemístění (ne vzdálenost ) v X směru, indexy označují dvě různé pozice X1, X2a potenciály v těchto bodech, ϕ1 = ϕ(X1), ϕ2 = ϕ(X2). V limitu infinitezimální posunutí, poměr rozdílů se stane poměrem diferenciály:
Směr gradientu elektrického potenciálu je od na .
Tři rozměry
v tři rozměry, Kartézské souřadnice ujasněte, že výsledný gradient potenciálu je součtem gradientů potenciálu v každém směru:
kde EX, Ey, Ez jsou jednotkové vektory v x, y, z Pokyny. To lze kompaktně napsat ve smyslu spád operátor ∇,
i když tato konečná podoba platí v každém křivočarý souřadnicový systém, nejen kartézský.
Tento výraz představuje významnou vlastnost všech konzervativní vektorové pole F, jmenovitě F má odpovídající potenciál ϕ.[2]
Použitím Stokesova věta, toto je ekvivalentně uvedeno jako
což znamená kučera, označené ∇ ×, vektorového pole zmizí.
Fyzika
Newtonova gravitace
V případě gravitační pole G, což lze prokázat jako konzervativní,[3] rovná se přechodu v gravitační potenciál Φ:
Mezi gravitačním polem a potenciálem existují opačné znaky, protože gradient potenciálu a pole jsou opačné ve směru: jak se potenciál zvyšuje, síla gravitačního pole klesá a naopak.
Elektromagnetismus
v elektrostatika, elektrické pole E je nezávislá na čase t, takže nedochází k indukci časově závislé magnetické pole B podle Faradayův zákon indukce:
z čehož vyplývá E je gradient elektrického potenciálu PROTI, identické s klasickým gravitačním polem:[4]
v elektrodynamika, E pole je časově závislé a indukuje časově závislé B pole také (opět podle Faradayova zákona), takže zvlnění E není nula jako dříve, což znamená, že elektrické pole již není gradientem elektrického potenciálu. Je třeba přidat termínově závislý termín:[5]
kde A je elektromagnetický vektorový potenciál. Tento poslední potenciální výraz ve skutečnosti snižuje Faradayův zákon na identitu.
Mechanika tekutin
v mechanika tekutin, rychlostní pole proti popisuje pohyb tekutiny. An irrotační tok znamená, že rychlostní pole je konzervativní nebo ekvivalentně vířivost pseudovektor pole ω je nula:
To umožňuje rychlostní potenciál být definován jednoduše jako:
Chemie
V elektrochemické půlčlánku, na rozhraní mezi elektrolyt (an iontový řešení ) a kov elektroda, standardní rozdíl elektrického potenciálu je:[6]
kde R = plynová konstanta, T = teplota řešení, z = mocenství z kovu, E = základní náboj, NA = Avogadro konstantní, a AM+ z je aktivita iontů v roztoku. Veličiny s horním indexem ⊖ označují, že se měření bere pod standardní podmínky. Gradient potenciálu je relativně náhlý, protože mezi kovem a roztokem existuje téměř určitá hranice, proto termín rozhraní.[je zapotřebí objasnění ]
Biologie
v biologie, potenciální gradient je čistý rozdíl v elektrický náboj přes a buněčná membrána.
Nejedinečnost potenciálů
Protože gradienty v potenciálech odpovídají fyzikální pole, nezáleží na tom, jestli je přidána konstanta (je vymazána operátorem přechodu.) ∇ který zahrnuje částečná diferenciace ). To znamená, že neexistuje způsob, jak zjistit, co je „absolutní hodnota“ potenciálu „- nulová hodnota potenciálu je zcela libovolná a lze ji libovolně volit kdekoli (i„ v nekonečnu “). Tato myšlenka platí také pro vektorové potenciály a je využívána v klasická teorie pole a také teorie měřicího pole.
Absolutní hodnoty potenciálů nejsou fyzicky pozorovatelné, pouze gradienty a rozdíly potenciálu závislé na dráze. Nicméně Aharonov – Bohmův efekt je kvantově mechanické efekt, který ilustruje tuto nenulovou hodnotu elektromagnetické potenciály podél uzavřené smyčky (i když E a B pole jsou všude v regionu nulová) vedou ke změnám ve fázi vlnová funkce elektricky nabitá částice v regionu, takže se zdá, že potenciály mají měřitelný význam.
Teorie potenciálu
Polní rovnice, jako jsou Gaussovy zákony pro elektřinu, pro magnetismus, a pro gravitaci, lze psát ve tvaru:
kde ρ je elektrický hustota náboje, monopol hustota (pokud existují), nebo hustota hmoty a X je konstanta (ve smyslu fyzikální konstanty G, ε0, μ0 a další numerické faktory).
Skalární potenciální přechody vedou k Poissonova rovnice:
Generál teorie potenciálů byla vyvinuta k vyřešení této rovnice potenciálu. Gradient tohoto řešení dává fyzikálnímu poli řešení rovnice pole.
Viz také
Reference
- ^ Základní principy fyziky, P.M. Whelan, M. J. Hodgeson, 2. vydání, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1
- ^ Vektorová analýza (2. vydání), M.R. Spiegel, S.Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
- ^ Dynamika a relativita, J. R. Forshaw, A. G. Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
- ^ Elektromagnetismus (2. vydání), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9
- ^ Úvod do elektrodynamiky (3. vydání), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3
- ^ Fyzikální chemie, P.W. Atkins, Oxford University Press, 1978, ISBN 0-19-855148-7