Polynomiální identita prsten - Polynomial identity ring - Wikipedia

v matematika, v podpoli teorie prstenů, prsten R je polynomiální identita prsten pokud existuje, pro některé N > 0, prvek P jiné než 0 z bezplatná algebra, Z⟨X₁, X₂, ..., X_N⟩, přes kruh celých čísel v N proměnné X₁, X₂, ..., X_N takové, že pro všechny N-n-tice r₁, r₂, ..., r_N vzáno z R stane se to

{ displaystyle P (r_ {1}, r_ {2}, ldots, r_ {N}) = 0. }

Přísně X_i zde jsou „neurčující osoby nedojíždějící“, a proto je „polynomiální identita“ nepatrná zneužívání jazyka, protože „polynom“ zde znamená to, co se obvykle nazývá „nekomutativní polynom“. Zkratka PI-kroužek je běžné. Obecněji volná algebra nad jakýmkoli prstencem S lze použít a dává koncept PI-algebra.

Pokud je stupeň polynomu P je definován obvyklým způsobem, polynomem P je nazýván monic pokud alespoň jeden z jeho členů nejvyššího stupně má koeficient rovný 1.

Každý komutativní kruh je PI-kruh, který splňuje polynomiální identitu XY - YX = 0. Proto se PI-kroužky obvykle berou jako blízké zobecnění komutativních kruhů. Pokud prsten má charakteristický p odlišné od nuly, pak splňuje polynomiální identitu pX = 0. Pro vyloučení takových příkladů je někdy definováno, že PI-kroužky musí splňovat monickou polynomiální identitu.^[1]

Příklady

Například pokud R je komutativní prsten je to PI-ring: to je pravda

{ displaystyle P (X_ {1}, X_ {2}) = X_ {1} X_ {2} -X_ {2} X_ {1} = 0 ~}

Kroužek matice 2 krát 2 nad komutativním prstencem splňuje Hall identita

{ displaystyle (xy-yx) ^ {2} z = z (xy-yx) ^ {2}}

Tuto identitu použil M. Hall (1943 ), ale byl nalezen dříve Wagnerem (1937 ).

V teorii hraje hlavní roli standardní identita s_N, délky N, který zobecňuje příklad uvedený pro komutativní prstence (N = 2). Vyplývá to z Leibnizův vzorec pro determinanty

{ displaystyle det (A) = součet _ { sigma v S_ {N}} operatorname {sgn} ( sigma) prod _ {i = 1} ^ {N} a_ {i, sigma ( i)}}

nahrazením každého produktu v součtu produktem produktu X_i v pořadí daném permutací σ. Jinými slovy každý z N! objednávky se sčítají a koeficient je 1 nebo -1 podle podpis.

{ displaystyle s_ {N} (X_ {1}, ldots, X_ {N}) = součet _ { sigma v S_ {N}} operatorname {sgn} ( sigma) X _ { sigma (1 )} dotsm X _ { sigma (N)} = 0 ~}

The m×m maticový prsten přes jakýkoli komutativní prsten splňuje standardní identitu: Amitsur – Levitzkiho věta uvádí, že to vyhovuje s_2m. Stupeň této identity je optimální, protože maticový kruh nemůže uspokojit žádný monický polynom stupně menšího než 2m.

Dáno pole k charakteristické nuly, vezměte R být vnější algebra přes počítatelně nekonečný -dimenzionální vektorový prostor se základem E₁, E₂, E₃, ... Pak R je generován prvky tohoto základu a

E_iE_j = −E_jE_i.

Tento prsten nesplňuje s_N pro všechny N a proto nemohou být vloženy do žádného maticového kruhu. Ve skutečnosti s_N(E₁,E₂,...,E_N) = N!E₁E₂...E_N ≠ 0. Na druhou stranu je to PI-kroužek, protože splňuje [[X, y], z] := xyz − yxz − zxy + zyx = 0. To stačí zkontrolovat pro monomie v E's. Nyní monomiál rovnoměrného stupně dojíždí s každým prvkem. Proto pokud X nebo y je monomie rovnoměrného stupně [X, y] := xy − yx = 0. Pokud jsou oba lichého stupně, pak [X, y] = xy − yx = 2xy má rovnoměrný titul, a proto dojíždí s z, tj. [[X, y], z] = 0.

Vlastnosti

Žádný podřízený nebo homomorfní obraz PI-kruhu je PI-kruh.
Konečný přímý produkt PI-kroužků je PI-kroužek.
Přímým produktem PI-kroužků, uspokojujícím stejnou identitu, je PI-kroužek.
Vždy se dá předpokládat, že identita, kterou PI-kroužek splňuje, je multilineární.
Pokud je prsten definitivně generován n prvky jako a modul přes jeho centrum pak uspokojí každý střídavý multilineární polynom stupně většího než n. Zejména uspokojuje s_N pro N > n a proto se jedná o PI-kruh.
Li R a S jsou PI-kroužky pak jejich tenzorový produkt přes celá čísla, ${ displaystyle R otimes _ { mathbb {Z}} S}$ , je také PI-kroužek.
Li R je PI-kroužek, pak také takový n×n-matrice s koeficienty v R.

PI-kroužky jako zobecnění komutativních kruhů

Mezi nekomutativními kroužky uspokojují PI-kroužky Köthe dohad. Afinní PI-algebry nad a pole uspokojit Kurosh dohad, Nullstellensatz a majetek trolejového vedení pro hlavní ideály.

Li R je PI-kroužek a K. je podřetězec jeho středu takový, že R je integrál přes K. pak vlastnosti nahoru a dolů pro hlavní ideály R a K. jsou spokojeni. Také ležet vlastnost (pokud p je hlavním ideálem K. pak je hlavní ideál P z R takhle ${ displaystyle p}$ je minimální ${ displaystyle P cap K}$ ) a nesrovnatelnost vlastnost (pokud P a Q jsou hlavními ideály R a ${ displaystyle P podmnožina Q}$ pak ${ displaystyle P cap K podmnožina Q cap K}$ ) jsou spokojeni.

Sada identit, které PI-kroužek uspokojuje

Li F : = Z⟨X₁, X₂, ..., X_N⟩ Je bezplatná algebra v N proměnné a R je PI-kroužek splňující polynom P v N proměnné P je v jádro jakéhokoli homomorfismu

{ displaystyle tau}

:F

{ displaystyle rightarrow}

R.

Ideál Já z F je nazýván T-ideální -li ${ displaystyle f (I) podmnožina I}$ pro každého endomorfismus F z F.

Vzhledem k PI-kroužku R, množina všech polynomiálních identit, které splňuje, je ideál ale ještě více je to T-ideální. Naopak, pokud Já je T-ideál F pak F/Já je PI-kroužek uspokojující všechny identity v Já. Předpokládá se, že Já obsahuje monické polynomy, když jsou k uspokojení monických polynomických identit vyžadovány PI-kroužky

Viz také

Reference

^ J.C. McConnell, J.C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, Postgraduální studium matematiky, Sv. 30

Latyshev, V.N. (2001) [1994], "PI-algebra", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Formanek, E. (2001) [1994], „Amitsur – Levitzkiho věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Polynomiální identity v kruhové teorii Louis Halle Rowen, Academic Press, 1980, ISBN 978-0-12-599850-5
Polynomiální prsteny identity, Vesselin S. Drensky, Edward Formanek, Birkhäuser, 2004, ISBN 978-3-7643-7126-5
Polynomiální identity a asymptotické metody, A. Giambruno, Michail Zaicev, knihkupectví AMS, 2005, ISBN 978-0-8218-3829-7
Výpočtové aspekty polynomiálních identit, Alexei Kanel-Belov, Louis Halle Rowen, A K Peters Ltd., 2005, ISBN 978-1-56881-163-5

Další čtení

Formanek, Edward (1991). Polynomiální identity a invarianty n×n matice. Regionální konferenční seriál z matematiky. 78. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-0730-7. Zbl 0714.16001.
Kanel-Belov, Alexej; Rowen, Louis Halle (2005). Výpočtové aspekty polynomiálních identit. Výzkumné poznámky z matematiky. 9. Wellesley, MA: K Peters. ISBN 1-56881-163-2. Zbl 1076.16018.

externí odkazy

[1] J.C. McConnell, J.C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, Postgraduální studium matematiky, Sv. 30

[1]