Köthe dohad - Köthe conjecture

v matematika, Köthe dohad je problém v teorie prstenů, otevřeno od roku 2020. Je formulován různými způsoby. Předpokládejme to R je prsten. Jedním ze způsobů, jak uvést domněnku, je, že pokud R nemá žádný žádný ideální, jiné než {0}, nemá nic jednostranný ideál, jiné než {0}.

Tuto otázku položil v roce 1930 Gottfried Köthe (1905–1989). Ukázalo se, že Kötheho domněnka platí pro různé třídy prstenů, jako např polynomiální identita kroužky[1] a správně Noetherian prsteny,[2] ale obecné řešení zůstává nepolapitelné.

Ekvivalentní formulace

Domněnka má několik různých formulací:[3][4][5]

  1. (Kötheho domněnka) V libovolném kruhu je součet dvou žádných ideálů levé nuly nulový.
  2. V každém kruhu je součet dvou jednostranných nulových ideálů nulový.
  3. V libovolném prstenci je každý nulový levý nebo pravý ideál prstence obsažen v horní nulový radikál prstenu.
  4. Pro jakýkoli prsten R a pro jakýkoli nulový ideál J z R, maticový ideál Mn(J) je nulový ideál M.n(R) pro každého n.
  5. Pro jakýkoli prsten R a pro jakýkoli nulový ideál J z R, maticový ideál M2(J) je nulový ideál M.2(R).
  6. Pro jakýkoli prsten R, horní nilradikál M.n(R) je sada matic s položkami z horní nilradikály R pro každé kladné celé číslo n.
  7. Pro jakýkoli prsten R a pro jakýkoli nulový ideál J z R, polynomy s neurčitými X a koeficienty z J ležet v Jacobson radikální polynomiálního kruhu R[X].
  8. Pro jakýkoli prsten RJacobsonův radikál z R[X] sestává z polynomů s koeficienty z horní nilradikály z R.

Související problémy

Amitsurova domněnka zněla: „Pokud J je nulový ideální R, pak J[X] je nulový ideál polynomiálního kruhu R[X]."[6] Tato domněnka, pokud je pravdivá, by dokázala domněnku Köthe prostřednictvím ekvivalentních výroků výše, nicméně protipříklad byl vytvořen Agata Smoktunowicz.[7] I když nejde o vyvrácení Kötheho domněnky, vyvolalo to podezření, že Kötheho domněnka může být obecně falešná.[8]

V (Kegel 1962 ), bylo prokázáno, že prsten, který je přímým součtem dvou nilpotentních podřetězců, je sám o sobě nilpotentní. Vyvstala otázka, zda lze „nilpotentní“ nahradit „lokálně nilpotentní“ nebo „nulový“. Částečného pokroku bylo dosaženo, když Kelarev[9] vytvořil příklad prstenu, který není nulový, ale je přímým součtem dvou lokálně nilpotentních prstenů. To ukazuje, že Kegelova otázka s „lokálně nilpotentní“ nahrazující „nilpotentní“ je zodpovězena záporně.

Součet nilpotentního podřetězce a nulového podřetězce je vždy nulový.[10]

Reference

  • Köthe, Gottfried (1930), „Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist“, Mathematische Zeitschrift, 32 (1): 161–186, doi:10.1007 / BF01194626
  1. ^ John C. McConnell, James Christopher Robson, Lance W. Small, Nekomutativní netherianské prsteny (2001), str. 484.
  2. ^ Lam, T.Y., První kurz v nekomutativních kruzích (2001), s. 164.
  3. ^ Krempa, J., „Logické souvislosti mezi některými otevřenými problémy týkajícími se nulových prstenů,“ Fundamenta Mathematicae 76 (1972), č. 2, 121–130.
  4. ^ Lam, T.Y., První kurz v nekomutativních kroužcích (2001), s. 171.
  5. ^ Lam, T.Y., Cvičení z teorie klasického prstenu (2003), str. 160.
  6. ^ Amitsur, S.A. Žádné radikály. Historické poznámky a některé nové výsledky Prsteny, moduly a radikály (Proc. Internat. Colloq., Keszthely, 1971), str. 47–65. Colloq. Matematika. Soc. János Bolyai, sv. 6, North-Holland, Amsterdam, 1973.
  7. ^ Smoktunowicz, Agata. Polynomiální kroužky nad nulovými kruhy nemusí být nulové J. Algebra 233 (2000), č. 2, s. 427–436.
  8. ^ Lam, T.Y., První kurz v nekomutativních kruzích (2001), s. 171.
  9. ^ Kelarev, A. V., Součet dvou lokálně nilpotentních prstenů nemusí být nulový, Arch. Matematika. 60 (1993), str. 431–435.
  10. ^ Ferrero, M., Puczylowski, E. R., Na prstencích, které jsou součtem dvou podřetězců, Arch. Matematika. 53 (1989), str. 4–10.

externí odkazy