Amitsur – Levitzkiho věta - Amitsur–Levitzki theorem - Wikipedia

V algebře je Amitsur – Levitzkiho věta uvádí, že algebra z n podle n matice splňuje určitou identitu stupně 2n. Bylo prokázáno Amitsur a Levický  (1950 ). Zejména maticové kroužky jsou polynomiální identita kroužky taková, že nejmenší identita, které uspokojí, má stupeň přesně 2n.

Prohlášení

The standardní polynom stupně n je

${ displaystyle S_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = součet _ { sigma v S_ {n}} { textu {sgn}} ( sigma) x _ { sigma (1)} cdots x _ { sigma (n)}}$

v nekomutativních proměnných X₁,...,X_n, kde je součet převzat vše n! prvky symetrická skupina S_n.

Věta Amitsur – Levitzki říká, že pro n podle n matice A₁,...,A_2n pak

${ displaystyle S_ {2n} (A_ {1}, ldots, A_ {2n}) = 0 .}$

Důkazy

Amitsur a Levitzki (1950 ) poskytl první důkaz.

Kostant (1958) odvodil Amitsur – Levitzki teorém z Koszul – Samelsonova věta o primitivní kohomologii Lieových algeber.

Labuť (1963) a Labuť (1969) poskytl jednoduchý kombinatorický důkaz následovně. Podle linearity stačí dokázat teorém, když má každá matice pouze jednu nenulovou položku, která je 1. V tomto případě může být každá matice zakódována jako směrovaná hrana grafu s n vrcholy. Takže všechny matice společně dávají graf n vrcholy s 2n směrované hrany. Identita platí za předpokladu, že pro libovolné dva vrcholy A a B grafu, počet lichých euleriánských cest od A na B je stejný jako počet sudých. (Zde se cesta nazývá lichá nebo sudá v závislosti na tom, zda její hrany přijaté za účelem liché nebo sudé permutace 2n Swan ukázal, že tomu tak bylo za předpokladu, že počet hran v grafu je alespoň 2n, což dokazuje větu Amitsur – Levitzki.

Razmyslov (1974) poskytl důkaz týkající se Cayley-Hamiltonova věta.

Rosset (1976) poskytl krátký důkaz pomocí vnější algebry vektorového prostoru dimenze 2n.

Procesi (2013) poskytl další důkaz, který ukázal, že Amitsur – Levitzkiho věta je Cayley – Hamiltonovou identitou pro obecnou Grassmanovu matici.

Reference

• Amitsur, A. S.; Levitzki, Jakob (1950), "Minimální identity pro algebry" (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 1 (4): 449–463, doi:10.1090 / S0002-9939-1950-0036751-9, ISSN  0002-9939, JSTOR  2032312, PAN  0036751
• Amitsur, A. S .; Levitzki, Jakob (1951), „Poznámky k minimální identitě algeber“ (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 2 (2): 320–327, doi:10.2307/2032509, ISSN  0002-9939, JSTOR  2032509
• Formanek, E. (2001) [1994], „Amitsur – Levitzkiho věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Formanek, Edward (1991), Polynomiální identity a invarianty n×n matice, Regionální konferenční seriál z matematiky, 78, Providence, RI: Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-0730-7, Zbl  0714.16001
• Kostant, Bertram (1958), „Věta Frobeniova, věta Amitsur – Levitski a teorie kohomologie“, J. Math. Mech., 7 (2): 237–264, doi:10.1512 / iumj.1958.7.07019, PAN  0092755
• Razmyslov, Ju. P. (1974), „Identity with trace in full matrix algebras over a field of charakteristické nuly“, Matematika SSSR-Izvestiya, 8 (4): 727, doi:10.1070 / IM1974v008n04ABEH002126, ISSN  0373-2436, PAN  0506414
• Rosset, Shmuel (1976), „Nový důkaz identity Amitsur – Levitski“, Israel Journal of Mathematics, 23 (2): 187–188, doi:10.1007 / BF02756797, ISSN  0021-2172, PAN  0401804, S2CID  121625182
• Labuť, Richard G. (1963), „Aplikace teorie grafů na algebru“ (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 14 (3): 367–373, doi:10.2307/2033801, ISSN  0002-9939, JSTOR  2033801, PAN  0149468
• Swan, Richard G. (1969), „Oprava na“ Aplikace teorie grafů na algebru"" (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 21 (2): 379–380, doi:10.2307/2037008, ISSN  0002-9939, JSTOR  2037008, PAN  0255439
• Procesi, Claudio (2013), K teorému Amitsur - Levitzki, arXiv:1308.2421, Bibcode:2013arXiv1308.2421P