Implicitní povrch - Implicit surface

Implicitní povrchový torus (R = 40, a = 15).

Implicitní povrch rodu 2.

Implicitní nealgebraický povrch (sklenice na víno).

v matematika, an implicitní povrch je povrch v Euklidovský prostor definovaný rovnicí

{ displaystyle F (x, y, z) = 0.}

Implicitní povrch je množina nul funkce tří proměnných. Implicitní znamená, že rovnice není vyřešena pro X nebo y nebo z.

Graf funkce je obvykle popsán rovnicí ${ displaystyle z = f (x, y)}$ a nazývá se explicitní zastoupení. Třetím základním popisem povrchu je parametrické jeden: ${ displaystyle (x (s, t), y (s, t), z (s, t))}$ , Kde X-, y- a z- souřadnice povrchových bodů jsou reprezentovány třemi funkcemi ${ Displaystyle x (s, t) ,, y (s, t) ,, z (s, t)}$ v závislosti na společných parametrech ${ displaystyle s, t}$ . Obecně je změna reprezentací jednoduchá, pouze když je to explicitní reprezentace ${ displaystyle z = f (x, y)}$ je dáno: ${ displaystyle z-f (x, y) = 0}$ (implicitní), ${ displaystyle (s, t, f (s, t))}$ (parametrické).

Příklady:

letadlo ${ displaystyle x + 2y-3z + 1 = 0.}$
koule ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -4 = 0.}$
torus ${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0.}$
Povrch rod 2: ${ displaystyle 2y (y ^ {2} -3x ^ {2}) (1-z ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - (9z ^ {2 } -1) (1-z ^ {2}) = 0}$ (viz schéma).
Revoluční plocha ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - ( ln (z + 3.2)) ^ {2} -0,02 = 0}$ (viz schéma sklenice na víno).

Pro rovinu, kouli a torus existují jednoduchá parametrická znázornění. To neplatí pro čtvrtý příklad.

The věta o implicitní funkci popisuje podmínky, za kterých rovnice ${ displaystyle F (x, y, z) = 0}$ lze vyřešit (alespoň implicitně) pro X, y nebo z. Obecně však řešení nemusí být výslovné. Tato věta je klíčem k výpočtu základních geometrických rysů povrchu: tečná roviny, normály povrchu, zakřivení (viz. níže). Ale mají zásadní nevýhodu: jejich vizualizace je obtížná.

Li ${ displaystyle F (x, y, z)}$ je polynom v X, y a zse nazývá povrch algebraický. Příklad 5 je ne-algebraický.

Navzdory obtížnosti vizualizace poskytují implicitní plochy relativně jednoduché techniky, které lze teoreticky generovat (např. Steinerův povrch ) a prakticky (viz níže) zajímavé povrchy.

Vzorce

V následujících úvahách je implicitní plocha představována rovnicí ${ displaystyle F (x, y, z) = 0}$ kde funkce ${ displaystyle F}$ splňuje nezbytné podmínky rozlišitelnosti. The částečné derivace z ${ displaystyle F}$ jsou ${ displaystyle F_ {x}, F_ {y}, F_ {z}, F_ {xx}, ldots}$ .

Tečná rovina a normální vektor

Povrchový bod ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ je nazýván pravidelný kdyby a jen kdyby the spád z ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ není nulový vektor ${ displaystyle (0,0,0)}$ , význam

{ displaystyle (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) neq (0,0,0)}

.

Pokud povrchový bod ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ je ne regulární, nazývá se to jednotné číslo.

Rovnice tečné roviny v pravidelném bodě ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ je

{ displaystyle F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0 }) (y-y_ {0}) + F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0,}

a a normální vektor je

{ displaystyle mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) ^ {T}.}

Normální zakřivení

Aby byl vzorec jednoduchý, argumenty ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ jsou vynechány:

{ displaystyle kappa _ {n} = { frac { mathbf {v} ^ { top} H_ {F} mathbf {v}} { | operatorname {grad} F |}}}

je normální zakřivení povrchu v pravidelném bodě pro směr tečny jednotky ${ displaystyle mathbf {v}}$ . ${ displaystyle H_ {F}}$ je Hesenská matice z ${ displaystyle F}$ (matice druhých derivátů).

Důkaz tohoto vzorce se opírá (jako v případě implicitní křivky) o větu o implicitní funkci a vzorec pro normální zakřivení a parametrický povrch.

Aplikace implicitních povrchů

Stejně jako v případě implicitních křivek je snadný úkol generovat implicitní povrchy s požadovanými tvary pomocí algebraických operací (sčítání, násobení) na jednoduchých primitivech.

Ekvipotenciální plocha 4 bodových nábojů

Ekvipotenciální povrch bodových nábojů

Elektrický potenciál bodového náboje ${ displaystyle q_ {i}}$ v bodě ${ displaystyle mathbf {p} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$ generuje v bodě ${ displaystyle mathbf {p} = (x, y, z)}$ potenciál (vynechání fyzických konstant)

{ displaystyle F_ {i} (x, y, z) = { frac {q_ {i}} { | mathbf {p} - mathbf {p} _ {i} |}}.}

Ekvipotenciální plocha pro potenciální hodnotu ${ displaystyle c}$ je implicitní povrch ${ displaystyle F_ {i} (x, y, z) -c = 0}$ což je koule se středem v bodě ${ displaystyle mathbf {p} _ {i}}$ .

Potenciál ${ displaystyle 4}$ bodové poplatky představují

{ displaystyle F (x, y, z) = { frac {q_ {1}} { | mathbf {p} - mathbf {p} _ {1} |}} + { frac {q_ { 2}} { | mathbf {p} - mathbf {p} _ {2} |}} + { frac {q_ {3}} { | mathbf {p} - mathbf {p} _ {3} |}} + { frac {q_ {4}} { | mathbf {p} - mathbf {p} _ {4} |}}.}

Pro obrázek jsou čtyři náboje rovny 1 a jsou umístěny v bodech ${ displaystyle ( pm 1, pm 1,0)}$ . Zobrazená plocha je ekvipotenciální plocha (implicitní plocha) ${ displaystyle F (x, y, z) -2,8 = 0}$ .

Konstantní vzdálenost povrchu produktu

Ovál Cassini lze definovat jako množinu bodů, pro kterou je součin vzdáleností ke dvěma daným bodům konstantní (na rozdíl od elipsy součet je konstantní). Podobným způsobem lze definovat implicitní povrchy součinem konstantní vzdálenosti k několika pevným bodům.

V diagramu proměny levá horní plocha je generována tímto pravidlem: S

{ displaystyle { begin {zarovnáno} F (x, y, z) = {} & { Big (} { sqrt {(x-1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 }}} cdot { sqrt {(x + 1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} & qquad cdot { sqrt {x ^ {2} + ( y-1) ^ {2} + z ^ {2}}} cdot { sqrt {x ^ {2} + (y + 1) ^ {2} + z ^ {2}}} { Big)} end {zarovnáno}}}

povrch produktu s konstantní vzdáleností ${ displaystyle F (x, y, z) -1,1 = 0}$ je zobrazen.

Metamorfózy mezi dvěma implicitními povrchy: torus a povrch produktu s konstantní vzdáleností.

Metamorfózy implicitních povrchů

Další jednoduchá metoda pro generování nových implicitních ploch se nazývá metamorfóza implicitních ploch:

Pro dva implicitní povrchy ${ displaystyle F_ {1} (x, y, z) = 0, F_ {2} (x, y, z) = 0}$ (v diagramu: povrch produktu s konstantní vzdáleností a torus) definujeme nové povrchy pomocí parametru návrhu ${ displaystyle mu v [0,1]}$ :

{ displaystyle F (x, y, z) = mu F_ {1} (x, y, z) + (1- mu) F_ {2} (x, y, z) = 0}

V diagramu je návrhový parametr postupně ${ displaystyle mu = 0, , 0,33, , 0,66, , 1}$ .

Aproximace tří tori (paralelní projekce )

POV-Ray obraz (centrální projekce) aproximace tří tori.

Hladké aproximace několika implicitních povrchů

${ displaystyle Pi}$ -povrchy ^[1] lze použít k přiblížení libovolného daného hladkého a ohraničeného objektu v ${ displaystyle R ^ {3}}$ jehož povrch je definován jediným polynomem jako produkt pomocných polynomů. Jinými slovy, můžeme navrhnout jakýkoli hladký objekt s jediným algebraickým povrchem. Označme definující polynomy jako ${ displaystyle f_ {i} in mathbb {R} [x_ {1}, ldots, x_ {n}] (i = 1, ldots, k)}$ . Potom je přibližný objekt definován polynomem

{ displaystyle F (x, y, z) = prod _ {i} f_ {i} (x, y, z) -r}

^[1]

kde ${ displaystyle r in mathbb {R}}$ znamená parametr míchání, který řídí přibližnou chybu.

Analogicky k plynulé aproximaci s implicitními křivkami, rovnice

{ displaystyle F (x, y, z) = F_ {1} (x, y, z) cdot F_ {2} (x, y, z) cdot F_ {3} (x, y, z) - r = 0}

představuje pro vhodné parametry ${ displaystyle c}$ plynulé aproximace tří protínajících se tori s rovnicemi

{ displaystyle { begin {aligned} F_ {1} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} - 4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0, [3pt] F_ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + z ^ {2}) = 0, [3pt] F_ {3} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (y ^ {2} + z ^ {2 }) = 0. end {zarovnáno}}}

(V diagramu jsou parametry ${ displaystyle R = 1, , a = 0,2, , r = 0,01.}$ )

POV-Ray image: metamorfózy mezi koulí a konstantní vzdáleností povrchu produktu (6 bodů).

Vizualizace implicitních ploch

Existují různé algoritmy pro vykreslování implicitní povrchy,^[2] včetně algoritmus pochodových kostek.^[3] V zásadě existují dva nápady pro vizualizaci implicitní plochy: Jeden generuje síť polygonů, která je vizualizována (viz povrchová triangulace ) a druhý se spoléhá na sledování paprsku který určuje průsečíky paprsků s povrchem.^[4]

Viz také

Implicitní křivka

Reference

^ ^A ^b Adriano N. Raposo; Abel J.P.Gomes (2019). „Pi-povrchy: produkty implicitních povrchů ke konstruktivní kompozici 3D objektů“. WSCG 2019 27. Mezinárodní konference o počítačové grafice, vizualizaci a počítačovém vidění ve střední Evropě. arXiv:1906.06751.
^ Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15. srpna 1997). Úvod do implicitních povrchů. Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5.
^ Ian Stephenson (1. prosince 2004). Vykreslování výroby: návrh a implementace. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3.
^ Eric Haines, Tomáš Akenine-Moller: Ray Tracing Gems, Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2

Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C .: Implicitní křivky a povrchy: matematika, datové struktury a algoritmy, 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882-405-8
Thorpe: Základní témata v diferenciální geometrii, Springer-Verlag, New York, 1979, ISBN 0-387-90357-7

externí odkazy

[RaposoGomes2019-1] A ^b Adriano N. Raposo; Abel J.P.Gomes (2019). „Pi-povrchy: produkty implicitních povrchů ke konstruktivní kompozici 3D objektů“. WSCG 2019 27. Mezinárodní konference o počítačové grafice, vizualizaci a počítačovém vidění ve střední Evropě. arXiv:1906.06751.

[BloomenthalBajaj1997-2] Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15. srpna 1997). Úvod do implicitních povrchů. Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5.

[Stephenson2004-3] Ian Stephenson (1. prosince 2004). Vykreslování výroby: návrh a implementace. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3.

[4] Eric Haines, Tomáš Akenine-Moller: Ray Tracing Gems, Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2

[1]

[2]

[3]

[4]