Kapacita sady - Capacity of a set

v matematika, kapacita sady v Euklidovský prostor je měřítkem „velikosti“ této sady. Na rozdíl od, řekněme, Lebesgueovo opatření, který měří množinu objem nebo fyzický rozsah, kapacita je matematickým analogem schopnosti souboru držet elektrická nabíječka. Přesněji řečeno, je to kapacita sady: celkový náboj, který může sada udržovat při zachování dané hodnoty potenciální energie. Potenciální energie se počítá s ohledem na idealizovanou zem v nekonečnu pro harmonický nebo Newtonova kapacita, as ohledem na povrch pro kapacita kondenzátoru.

Historická poznámka

Pojem kapacity množiny a "kapacitní" množiny zavedl Gustave Choquet v roce 1950: podrobný účet viz odkaz (Choquet 1986 ).

Definice

Kapacita kondenzátoru

Nechť Σ být a Zavřeno, hladký, (n − 1)-dimenzionální nadpovrch v n-dimenzionální euklidovský prostor ℝⁿ, n ≥ 3; K. bude označovat n-dimenzionální kompaktní (tj., Zavřeno a ohraničený ) z nichž Σ je hranice. Nechat S být další (n - 1) -dimenzionální hyperplocha, která obklopuje Σ: s odkazem na její původ v elektromagnetismus, dvojice (Σ,S) je znám jako a kondenzátor. The kapacita kondenzátoru Σ ve vztahu k S, označeno C(Σ,S) nebo čepice (Σ,S), je dán povrchovým integrálem

${ displaystyle C ( Sigma, S) = - { frac {1} {(n-2) sigma _ {n}}} int _ {S '} { frac { částečné u} { částečné nu}} , mathrm {d} sigma ',}$

kde:

• u je jedinečný harmonická funkce definované v regionu D mezi Σ a S s okrajové podmínky u(X) = 1 na Σ a u(X) = 0 zapnuto S;
• S′ Je jakýkoli mezilehlý povrch mezi Σ a S;
• ν je navenek jednotka normální pole na S' a

${ displaystyle { frac { částečné u} { částečné nu}} (x) = nabla u (x) cdot nu (x)}$

je normální derivace z u přes S'; a

• σ_n = 2π^n⁄2 ⁄ Γ (n ⁄ 2) je povrchová plocha jednotková koule v ℝⁿ.

C(Σ,S) lze ekvivalentně definovat objemovým integrálem

${ displaystyle C ( Sigma, S) = { frac {1} {(n-2) sigma _ {n}}} int _ {D} | nabla u | ^ {2} mathrm {d } X.}$

Kapacita kondenzátoru má také a variační charakterizace: C(Σ,S) je infimum z Dirichletova energie funkční

${ displaystyle I [v] = { frac {1} {(n-2) sigma _ {n}}} int _ {D} | nabla v | ^ {2} mathrm {d} x}$

nade vše spojitě diferencovatelné funkce proti na D s proti(X) = 1 na Σ a proti(X) = 0 zapnuto S.

Harmonická / Newtonova kapacita

Heuristicky, harmonická kapacita K., oblast ohraničená Σ, lze zjistit z kondenzátorové kapacity Σ vzhledem k nekonečnu. Přesněji řečeno u být harmonickou funkcí v doplňku K. uspokojující u = 1 na Σ a u(X) → 0 jako X → ∞. Tím pádem u je Newtonovský potenciál jednoduché vrstvy Σ. Pak harmonická kapacita (také známý jako Newtonova kapacita) z K., označeno C(K.) nebo čepice (K.), je pak definován

${ displaystyle C (K) = int _ { mathbb {R} ^ {n} setminus K} | nabla u | ^ {2} mathrm {d} x.}$

Li S je opravitelný hyperplocha zcela obklopující K., pak lze harmonickou kapacitu ekvivalentně přepsat jako integrál S vnější normální derivace u:

${ displaystyle C (K) = int _ {S} { frac { částečné u} { částečné nu}} , mathrm {d} sigma.}$

Harmonickou kapacitu lze chápat také jako limit kapacity kondenzátoru. Chcete-li vtip, nechte S_r označit koule poloměru r o původu v ℝⁿ. Od té doby K. je ohraničený, dostatečně velký r, S_r přiloží K. a (Σ,S_r) vytvoří pár kondenzátoru. Harmonická kapacita je pak omezit tak jako r inklinuje k nekonečnu:

${ displaystyle C (K) = lim _ {r až infty} C ( Sigma, S_ {r}).}$

Harmonická kapacita je matematicky abstraktní verzí elektrostatická kapacita vodiče K. a je vždy nezáporná a konečná: 0 ≤C(K.) < +∞.

Zobecnění

Charakterizace kapacity sady jako minima z energie funkční dosažení konkrétních mezních hodnot, uvedených výše, lze rozšířit na další energetické funkcionály v variační počet.

Divergence tvoří eliptické operátory

Řešení jednotně eliptická parciální diferenciální rovnice s formou odchylky

${ displaystyle nabla cdot (A nabla u) = 0}$

jsou minimalizátory související energetické funkce

${ displaystyle I [u] = int _ {D} ( nabla u) ^ {T} A ( nabla u) , mathrm {d} x}$

podléhá příslušným okrajovým podmínkám.

Kapacita sady E s ohledem na doménu D obsahující E je definován jako infimum energie ve všech spojitě diferencovatelné funkce proti na D s proti(X) = 1 zapnuto E; a proti(X) = 0 na hranici D.

Minimální energie je dosažena funkcí známou jako kapacitní potenciál z E s ohledem na Da řeší problém s překážkou na D s funkcí překážky zajišťovanou funkce indikátoru z E. Kapacitní potenciál je střídavě charakterizován jako jedinečné řešení rovnice s příslušnými okrajovými podmínkami.

Viz také

• Analytická kapacita
• Kapacita
• Newtonovský potenciál
• Teorie potenciálu

Reference

• Brélot, Marcel (1967) [1960], Přednášky o teorii potenciálu (poznámky K. N. Gowrisankaran a M. K. Venkatesha Murthy.) (PDF), Tata Institute of Fundamental Research Přednášky z matematiky a fyziky. Mathematics., No. 19 (2nd ed.), Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, s. Ii + 170 + iv, PAN  0259146, Zbl  0257.31001. Druhé vydání těchto poznámek k přednášce, revidované a rozšířené pomocí S. Ramaswamyho, přepsání, korektura jednou a volně k dispozici ke stažení.
• Choquet, Gustave (1986), „La naissance de la théorie des capacités: réflexion sur une expérience staffle“, Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série générale, La Vie des sciences (francouzsky), 3 (4): 385–397, PAN  0867115, Zbl  0607.01017, dostupný z Gallica. Historický popis vývoje teorie kapacity jejím zakladatelem a jedním z hlavních přispěvatelů; anglický překlad názvu zní: „Zrození teorie kapacity: úvahy o osobní zkušenosti“.
• Doob, Joseph Leo (1984), Teorie klasického potenciálu a její pravděpodobnostní protějšek Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 262, Berlín–Heidelberg –New York: Springer-Verlag, str.xxiv + 846, ISBN  0-387-90881-1, PAN  0731258, Zbl  0549.31001
• Littman, W.; Stampacchia, G.; Weinberger, H. (1963), "Pravidelné body pro eliptické rovnice s nespojitými koeficienty", Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Řada III, 17 (12): 43–77, PAN  0161019, Zbl  0116.30302, Dostupné v NUMDAM.
• Ransford, Thomas (1995), Teorie potenciálu ve složité roviněStudentské texty London Mathematical Society, 28, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-46654-7, Zbl  0828.31001
• Solomentsev, E. D. (2001) [1994], "Kapacita sady", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS