Variační nerovnost - Variational inequality

v matematika, a variační nerovnost je nerovnost zahrnující a funkční, což musí být vyřešen pro všechny možné hodnoty dané proměnná, patřící obvykle k a konvexní sada. The matematický teorie zpočátku byla vyvinuta variační nerovnost rovnováha problémy, přesněji Signoriniho problém: v tomto modelovém problému byla příslušná funkce získána jako první variace zúčastněných potenciální energie. Proto má a variační původ, připomenout názvem obecného abstraktního problému. Použitelnost teorie byla od té doby rozšířena o problémy z ekonomika, finance, optimalizace a herní teorie.

Dějiny

Prvním problémem variační nerovnosti byl Signoriniho problém, představuje Antonio Signorini v roce 1959 a vyřešen Gaetano Fichera v roce 1963, podle odkazů (Antman 1983, s. 282–284) a (Fichera 1995 ): první články teorie byly (Fichera 1963 ) a (Fichera 1964a ), (Fichera 1964b ). Později Guido Stampacchia prokázal své zobecnění Věta Lax – Milgram v (Stampacchia 1964 ) za účelem studia problém pravidelnosti pro parciální diferenciální rovnice a razil název „variační nerovnost“ pro všechny související problémy nerovnosti tohoto druhu. Georges Duvaut povzbudil jeho maturanti studovat a rozšiřovat Ficherovu práci po konferenci v Brixen v roce 1965, kdy Fichera představil svoji studii o problému Signorini, as Antman 1983, str. 283 zpráv: teorie se tak stala široce známou v celém textu Francie. Také v roce 1965, Stampacchia a Jacques-Louis Lions rozšířené dřívější výsledky (Stampacchia 1964 ), oznamující je v novinách (Lions & Stampacchia 1965 ): úplné důkazy o jejich výsledcích se objevily později v příspěvku (Lions & Stampacchia 1967 ).

Definice

Následující Antman (1983, str. 283) je formální definice variační nerovnosti následující.

Definice 1. Vzhledem k tomu, Banachův prostor ${ displaystyle { boldsymbol {E}}}$, a podmnožina ${ displaystyle { boldsymbol {K}}}$ z ${ displaystyle { boldsymbol {E}}}$a funkční ${ displaystyle F colon { boldsymbol {K}} { boldsymbol {E}} ^ { ast}}$ z ${ displaystyle { boldsymbol {K}}}$ do dvojí prostor ${ displaystyle { boldsymbol {E}} ^ { ast}}$ prostoru ${ displaystyle { boldsymbol {E}}}$, problém variační nerovnosti je problém Řešení pro proměnná ${ displaystyle x}$ patřící ${ displaystyle { boldsymbol {K}}}$ následující nerovnost:

${ displaystyle langle F (x), y-x rangle geq 0 qquad forall y in { boldsymbol {K}}}$

kde ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle colon { boldsymbol {E}} ^ { ast} times { boldsymbol {E}} to mathbb {R}}$ je duality párování.

Obecně lze problém variační nerovnosti formulovat na jakémkoli konečný - nebo nekonečný -dimenzionální Banachův prostor. Tři zřejmé kroky při studiu problému jsou následující:

1. Prokázat existenci řešení: z tohoto kroku vyplývá: matematická správnost problému, což ukazuje, že existuje alespoň řešení.
2. Prokázat jedinečnost daného řešení: tento krok implikuje fyzická správnost problému, což ukazuje, že řešení lze použít k vyjádření fyzikálního jevu. Je to obzvláště důležitý krok, protože většina problémů modelovaných variačními nerovnostmi má fyzický původ.
3. Najděte řešení.

Příklady

Problém nalezení minimální hodnoty reálné funkce reálné proměnné

Toto je standardní příklad problému, který uvádí Antman (1983, str. 283): zvažte problém nalezení minimální hodnota a diferencovatelná funkce ${ displaystyle f}$ přes uzavřený interval ${ displaystyle I = [a, b]}$. Nechat ${ displaystyle x ^ { ast}}$ být bodem v ${ displaystyle I}$ kde nastává minimum. Mohou nastat tři případy:

1. -li ${ displaystyle a$ pak ${ displaystyle f ^ { prime} (x ^ { ast}) = 0;}$
2. -li ${ displaystyle x ^ { ast} = a,}$ pak ${ displaystyle f ^ { prime} (x ^ { ast}) geq 0;}$
3. -li ${ displaystyle x ^ { ast} = b,}$ pak ${ displaystyle f ^ { prime} (x ^ { ast}) leq 0.}$

Tyto nezbytné podmínky lze shrnout jako problém hledání ${ displaystyle x ^ { ast} v I}$ takhle

${ displaystyle f ^ { prime} (x ^ { ast}) (y-x ^ { ast}) geq 0 quad}$ pro ${ Displaystyle quad for all y in I.}$

Mezi řešením (pokud je více než jedno) předchozího je třeba hledat absolutní minimum nerovnost: Všimněte si, že řešením je a reálné číslo, proto je to konečná dimenzionální variační nerovnost.

Obecná konečně-dimenzionální variační nerovnost

Formulace obecného problému v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ je následující: daný a podmnožina ${ displaystyle K}$ z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ a a mapování ${ displaystyle F dvojtečka K až mathbb {R} ^ {n}}$, konečný -dimenzionální problém variační nerovnosti spojený s ${ displaystyle K}$ spočívá v nalezení a ${ displaystyle n}$-dimenzionální vektor ${ displaystyle x}$ patřící ${ displaystyle K}$ takhle

${ displaystyle langle F (x), y-x rangle geq 0 qquad forall y v K}$

kde ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle colon mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ je standard vnitřní produkt na vektorový prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$.

Variační nerovnost pro problém Signorini

Klasický Signoriniho problém: co bude rovnováha konfigurace oranžové sféricky tvarované elastické tělo odpočívá na modré tuhý bez tření letadlo ?

V historickém průzkumu (Fichera 1995 ), Gaetano Fichera popisuje genezi jeho řešení Signoriniho problém: problém spočívá v nalezení elastická rovnováha konfigurace ${ displaystyle { boldsymbol {u}} ({ boldsymbol {x}}) = left (u_ {1} ({ boldsymbol {x}}), u_ {2} ({ boldsymbol {x}}) , u_ {3} ({ boldsymbol {x}}) vpravo)}$ z anizotropní nehomogenní elastické tělo to spočívá v a podmnožina ${ displaystyle A}$ ze třídimenzionální euklidovský prostor jehož hranice je ${ displaystyle částečné A}$, spočívající na a tuhý bez tření povrch a podléhá pouze jeho masové síly. Řešení ${ displaystyle u}$ problému existuje a je jedinečný (za přesných předpokladů) v soubor z přípustná posunutí ${ displaystyle { mathcal {U}} _ { Sigma}}$ tj. soubor vektory posunutí uspokojení systému nejednoznačné okrajové podmínky kdyby a jen kdyby

${ displaystyle B ({ boldsymbol {u}}, { boldsymbol {v}}) - F ({ boldsymbol {v}}) geq 0 qquad forall { boldsymbol {v}} in { mathcal {U}} _ { Sigma}}$

kde ${ displaystyle B ({ boldsymbol {u}}, { boldsymbol {v}})}$ a ${ displaystyle F ({ boldsymbol {v}})}$ jsou následující funkcionáři, psané pomocí Einsteinova notace

${ displaystyle B ({ boldsymbol {u}}, { boldsymbol {v}}) = - int _ {A} sigma _ {ik} ({ boldsymbol {u}}) varepsilon _ {ik} ({ boldsymbol {v}}) , mathrm {d} x}$,    ${ displaystyle F ({ boldsymbol {v}}) = int _ {A} v_ {i} f_ {i} , mathrm {d} x + int _ { částečné A setminus Sigma} ! ! ! ! ! v_ {i} g_ {i} , mathrm {d} sigma}$,    ${ displaystyle { boldsymbol {u}}, { boldsymbol {v}} in { mathcal {U}} _ { Sigma}}$

kde pro všechny ${ displaystyle { boldsymbol {x}} v A}$,

• ${ displaystyle Sigma}$ je Kontakt povrch (nebo obecněji kontakt soubor ),
• ${ displaystyle { boldsymbol {f}} ({ boldsymbol {x}}) = left (f_ {1} ({ boldsymbol {x}}), f_ {2} ({ boldsymbol {x}}) , f_ {3} ({ boldsymbol {x}}) vpravo)}$ je tělesná síla aplikován na tělo,
• ${ displaystyle { boldsymbol {g}} ({ boldsymbol {x}}) = left (g_ {1} ({ boldsymbol {x}}), g_ {2} ({ boldsymbol {x}}) , g_ {3} ({ boldsymbol {x}}) vpravo)}$ je povrchová síla aplikován na ${ displaystyle částečné A ! setminus ! Sigma}$,
• ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = { boldsymbol { varepsilon}} ({ boldsymbol {u}}) = left ( varepsilon _ {ik} ({ boldsymbol {u}}) right ) = left ({ frac {1} {2}} left ({ frac { částečné u_ {i}} { částečné x_ {k}}} + { frac { částečné u_ {k}}) { částečné x_ {i}}} pravé) pravé)}$ je nekonečně malý tenzor napětí,
• ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = left ( sigma _ {ik} right)}$ je Cauchyho tenzor napětí, definováno jako

${ displaystyle sigma _ {ik} = - { frac { částečné W} { částečné varepsilon _ {ik}}} qquad forall i, k = 1,2,3}$

kde ${ displaystyle W ({ boldsymbol { varepsilon}}) = a_ {ikjh} ({ boldsymbol {x}}) varepsilon _ {ik} varepsilon _ {ik}}$ je elastická potenciální energie a ${ displaystyle { boldsymbol {a}} ({ boldsymbol {x}}) = left (a_ {ikjh} ({ boldsymbol {x}}) right)}$ je tenzor pružnosti.

Viz také

• Teorie komplementarity
• Diferenciální variační nerovnost
• Rozšířené matematické programování pro rovnovážné problémy
• Matematické programování s rovnovážnými omezeními
• Problém s překážkou
• Projektovaný dynamický systém
• Signoriniho problém
• Jednostranný kontakt

Reference

Historické odkazy

• Antman, Stuart (1983), "Vliv elasticity v analýze: moderní vývoj", Bulletin of the American Mathematical Society, 9 (3): 267–291, doi:10.1090 / S0273-0979-1983-15185-6, PAN  0714990, Zbl  0533.73001. Historický dokument o plodné interakci teorie pružnosti a matematická analýza: vytvoření teorie variační nerovnosti podle Gaetano Fichera je popsán v §5, strany 282–284.
• Duvaut, Georges (1971), „Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus“, Actes du Congrès international des mathématiciens, 1970, Řízení ICM, Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - svazek 3, Paříž: Gauthier-Villars, str. 71–78, archivovány od originál (PDF) dne 2015-07-25, vyvoláno 2015-07-25. Krátký výzkumný průzkum popisující pole variačních nerovností, přesně dílčí pole mechanika kontinua problémy s jednostrannými omezeními.
• Fichera, Gaetano (1995), „La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni“, Incontro scientifico italo-spagnolo. Roma, 21. října 1993, Atti dei Convegni Lincei (v italštině), 114, Romové: Accademia Nazionale dei Lincei, str. 47–53. Zrození teorie variačních nerovností si pamatujeme o třicet let později (Anglický překlad názvu) je historický článek popisující počátek teorie variačních nerovností z pohledu jejího zakladatele.

Vědecké práce

• Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Konečné dimenzionální variační nerovnosti a problémy komplementarity, sv. 1, Springer Series v operačním výzkumu, Berlín –Heidelberg –New York: Springer-Verlag, ISBN  0-387-95580-1, Zbl  1062.90001
• Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Konečné dimenzionální variační nerovnosti a problémy komplementarity, sv. 2, Springer Series v operačním výzkumu, Berlín –Heidelberg –New York: Springer-Verlag, ISBN  0-387-95581-X, Zbl  1062.90001
• Fichera, Gaetano (1963), „Sul problema elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno“, Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8 (v italštině), 34 (2): 138–142, Zbl  0128.18305. "K elastostatickému problému Signoriniho s nejednoznačnými okrajovými podmínkami„(Anglický překlad názvu) je krátká výzkumná zpráva ohlašující a popisující řešení problému Signorini.
• Fichera, Gaetano (1964a), "Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: Il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno", Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8 (v italštině), 7 (2): 91–140, Zbl  0146.21204. "Elastostatické problémy s jednostrannými omezeními: problém Signorini s nejednoznačnými okrajovými podmínkami"(Anglický překlad názvu) je první práce, kde existence a věta o jedinečnosti problém Signorini je prokázán.
• Fichera, Gaetano (1964b), „Elastostatické problémy s jednostrannými omezeními: Signoriniho problém s nejednoznačnými okrajovými podmínkami“, Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963, Řím: Edizioni Cremonese, str. 613–679. Anglický překlad (Fichera 1964a ).
• Glowinski, Roland; Lvi, Jacques-Louis; Trémolières, Raymond (1981), Numerická analýza variačních nerovností. Přeloženo z francouzštiny„Matematika a její aplikace, 8, Amsterdam –New York –Oxford: Severní Holandsko, str. xxix + 776, ISBN  0-444-86199-8, PAN  0635927, Zbl  0463.65046
• Kinderlehrer, David; Stampacchia, Guido (1980), Úvod do variačních nerovností a jejich aplikací Čistá a aplikovaná matematika, 88, Boston –Londýn –New York –San Diego –Sydney –Tokio –Toronto: Akademický tisk, ISBN  0-89871-466-4, Zbl  0457.35001.
• Lvi, Jacques-Louis; Stampacchia, Guido (1965), „Inéquations variationnelles non coercives“, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 261: 25–27, Zbl  0136.11906, Dostupné v Gallica. Sdělení o výsledcích příspěvku (Lions & Stampacchia 1967 ).
• Lvi, Jacques-Louis; Stampacchia, Guido (1967), "Variační nerovnosti", Sdělení o čisté a aplikované matematice, 20 (3): 493–519, doi:10.1002 / cpa.3160200302, Zbl  0152.34601, archivovány z originál dne 05.01.2013 Externí odkaz v | deník = (Pomoc). Důležitý článek popisující abstraktní přístup autorů k teorii variačních nerovností.
• Roubíček, Tomáš (2013), Nelineární parciální diferenciální rovnice s aplikacemi, ISNM. Mezinárodní řada numerické matematiky, 153 (2. vyd.), Basilej – Boston – Berlín: Birkhäuser Verlag, str. xx + 476, doi:10.1007/978-3-0348-0513-1, ISBN  978-3-0348-0512-4, PAN  3014456, Zbl  1270.35005.
• Stampacchia, Guido (1964), „Formy bilineaires coercitives sur les ensembles convexes“, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 258: 4413–4416, Zbl  0124.06401, Dostupné v Gallica. Papír obsahující Stampacchiove zobecnění Věta Lax – Milgram.

externí odkazy

• Panagiotopoulos, P.D. (2001) [1994], "Variační nerovnosti", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Alessio Figalli, O globálních homogenních řešeních problému Signorini,