Mittag-Lefflersova věta - Mittag-Lefflers theorem - Wikipedia

v komplexní analýza, Mittag-Lefflerova věta se týká existence meromorfní funkce s předepsaným póly. Naopak lze použít k vyjádření jakékoli meromorfní funkce jako součet dílčí zlomky. Je to sestra Weierstrassova faktorizační věta, který tvrdí existenci holomorfní funkce s předepsaným nuly. Je pojmenován po Gösta Mittag-Leffler.

Teorém

Nechat ${ displaystyle D}$ být otevřená sada v ${ displaystyle mathbb {C}}$ a ${ displaystyle E podmnožina D}$ A Zavřeno oddělený podmnožina. Pro každého ${ displaystyle a}$ v ${ displaystyle E}$, nechť ${ displaystyle p_ {a} (z)}$ být polynomem v ${ displaystyle 1 / (z-a)}$. Existuje meromorfní funkce ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle D}$ takové, že pro každého ${ displaystyle a v E}$, funkce ${ displaystyle f (z) -p_ {a} (z)}$ má jen a odnímatelná singularita na ${ displaystyle a}$. Zejména hlavní část z ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle a}$ je ${ displaystyle p_ {a} (z)}$.

Jeden možný obrys důkazu je následující. Li ${ displaystyle E}$ je konečný, stačí vzít ${ displaystyle f (z) = součet _ {a v E} p_ {a} (z)}$. Li ${ displaystyle E}$ není konečný, zvažte konečný součet ${ displaystyle S_ {F} (z) = součet _ {a in F} p_ {a} (z)}$ kde ${ displaystyle F}$ je konečná podmnožina ${ displaystyle E}$. Zatímco ${ displaystyle S_ {F} (z)}$ nemusí konvergovat jako F přístupy E, lze odečíst dobře zvolené racionální funkce s póly mimo D (poskytuje Rungeova věta ) beze změny hlavních částí ${ displaystyle S_ {F} (z)}$ a takovým způsobem, aby byla zaručena konvergence.

Příklad

Předpokládejme, že si přejeme meromorfní funkci s jednoduchými póly zbytek 1 ve všech kladných celých číslech. S notací jako výše, nechám

${ displaystyle p_ {k} = { frac {1} {z-k}}}$

a ${ displaystyle E = mathbb {Z} ^ {+}}$, Mittag-Lefflerova věta tvrdí (nekonstruktivně) existenci meromorfní funkce ${ displaystyle f}$ s hlavní částí ${ displaystyle p_ {k} (z)}$ na ${ displaystyle z = k}$ pro každé kladné celé číslo ${ displaystyle k}$. Tento ${ displaystyle f}$ má požadované vlastnosti. Konstruktivněji to můžeme nechat

${ displaystyle f (z) = z součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k (z-k)}}}$.

Tato série konverguje normálně na ${ displaystyle mathbb {C}}$ (jak lze ukázat pomocí M-test ) na meromorfní funkci s požadovanými vlastnostmi.

Pole expanze meromorfních funkcí

Zde je několik příkladů rozšíření pólů meromorfních funkcí:

${ displaystyle tan (z) = součet limity _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {8z} {(2n + 1) ^ {2} pi ^ {2} -4z ^ { 2}}}}$

${ displaystyle csc (z) = součet _ {n in mathbb {Z}} { frac {(-1) ^ {n}} {zn pi}} = { frac {1} {z }} + 2z sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {1} {z ^ {2} - (n , pi) ^ {2}} }}$

${ displaystyle sec (z) equiv - csc left (z - { frac { pi} {2}} right) = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac { (-1) ^ {n-1}} {z- left (n + { frac {1} {2}} right) pi}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (2n + 1) pi} {(n + { frac {1} {2}}) ^ {2} pi ^ {2} -z ^ {2}} }}$

${ displaystyle cot (z) equiv { frac { cos (z)} { sin (z)}} = součet _ {n in mathbb {Z}} { frac {1} {zn pi}} = { frac {1} {z}} + 2z sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {z ^ {2} - (k , pi) ^ {2}}}}$

${ displaystyle csc ^ {2} (z) = součet _ {n in mathbb {Z}} { frac {1} {(z-n , pi) ^ {2}}}}$

${ displaystyle sec ^ {2} (z) = { dfrac {d} {dz}} tan (z) = součet limity _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {8 ( (2n + 1) ^ {2} pi ^ {2} + 4z ^ {2})} {((2n + 1) ^ {2} pi ^ {2} -4z ^ {2}) ^ {2 }}}}$

${ displaystyle { frac {1} {z sin (z)}} = { frac {1} {z ^ {2}}} + sum _ {n neq 0} { frac {(-1 ) ^ {n}} { pi n (z- pi n)}} = { frac {1} {z ^ {2}}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} {( -1) ^ {n}} { frac {2} {z ^ {2} - (n , pi) ^ {2}}}}$

Viz také

• Riemann – Rochova věta
• Liouvilleova věta
• Mittag-Lefflerův stav inverzní meze
• Součet Mittag-Leffler
• Funkce Mittag-Leffler

Reference

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Ahlfors, Larsi (1953), Složitá analýza (3. vyd.), McGraw Hill (publikováno 1979), ISBN  0-07-000657-1.
• Conway, John B. (1978), Funkce jedné komplexní proměnné I. (2. vyd.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-90328-3.

externí odkazy

• „Mittag-Lefflerova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• „Mittag-Lefflerova věta“. PlanetMath.