Věta o izomorfismu zbytku normy - Norm residue isomorphism theorem

v matematika, věta o izomorfismu zbytku normy je dlouho hledaným výsledkem Milnor K.-teorie a Galoisova kohomologie. Výsledek má relativně elementární formulaci a zároveň představuje klíčový bod v důkazech mnoha zdánlivě nesouvisejících vět z abstraktní algebry, teorie kvadratických forem, algebraické K-teorie a teorie motivů. Věta tvrdí, že určité tvrzení platí pro každé prvočíslo ${ displaystyle ell}$ a jakékoli přirozené číslo ${ displaystyle n}$. John Milnor^[1] spekuloval, že by tato věta mohla platit ${ displaystyle ell = 2}$ a všechno ${ displaystyle n}$a tato otázka se stala známou jako Milnorova domněnka. Obecný případ se domníval Spencer Bloch a Kazuya Kato ^[2] a stal se známý jako Bloch – Kato domněnka nebo motivická domněnka Bloch – Kato odlišit ji od domněnky Bloch – Kato hodnoty L-funkce.^[3] Věta o izomorfismu zbytkové normy byla prokázána Vladimír Voevodský s využitím řady vysoce inovativních výsledků Markus Rost.

Prohlášení

Pro jakékoli celé číslo ℓ invertibilní v poli ${ displaystyle k}$ tam je mapa${ displaystyle částečné: k ^ { times} rightarrow H ^ {1} (k, mu _ { ell})}$kde ${ displaystyle mu _ { ell}}$ označuje Galoisův modul ℓ-tých kořenů jednoty v nějakém oddělitelném uzavření k. Vyvolává izomorfismus ${ displaystyle k ^ { times} / (k ^ { times}) ^ { ell} cong H ^ {1} (k, mu _ { ell})}$. První náznak, že se to týká K.- to je teorie ${ displaystyle k ^ { times}}$ je skupina K.₁(k). Vezmeme-li tenzorové produkty a použijeme multiplikativitu etalistické kohomologie, získáme rozšíření mapy ${ displaystyle částečné}$ do map:

${ displaystyle částečné ^ {n}: k ^ { times} otimes cdots otimes k ^ { times} rightarrow H _ { rm {{ akutní {e}} t}} ^ {n} ( k, mu _ { ell} ^ { častokrát n}).}$

Tyto mapy mají tu vlastnost, že pro každý prvek A v ${ displaystyle k setminus {0,1 }}$, ${ displaystyle částečné ^ {n} ( ldots, a, ldots, 1-a, ldots)}$ zmizí. Toto je určující vztah Milnora K.-teorie. Konkrétně Milnor K.-teorie je definována jako odstupňované části prstenu:

${ displaystyle K _ {*} ^ {M} (k) = T (k ^ { times}) / ( {a otimes (1-a) dvojtečka a v k setminus {0,1 } }),}$

kde ${ displaystyle T (k ^ { times})}$ je tenzorová algebra z multiplikativní skupina ${ displaystyle k ^ { times}}$ a podíl je podle oboustranný ideál generovány všemi prvky formuláře ${ displaystyle a otimes (1-a)}$. Proto mapa ${ displaystyle částečné ^ {n}}$ faktory prostřednictvím mapy:

${ displaystyle částečné ^ {n} dvojtečka K_ {n} ^ {M} (k) až H _ { rm {{ akutní {e}} t}} ^ {n} (k, mu _ { ell} ^ { mnohokrát n}).}$

Tato mapa se nazývá Galoisův symbol nebo normální zbytek mapa.^[4][5][6] Protože étale cohomology with mod-ℓ coefficients is an ℓ-torzní skupina, tato mapa navíc faktory prostřednictvím ${ displaystyle K_ {n} ^ {M} (k) / ell}$.

Věta o izomorfismu zbytkové normy (nebo Bloch-Kato domněnka) uvádí, že pro pole k a celé číslo ℓ, které je invertibilní v k, mapa zbytkových norem

${ displaystyle částečné ^ {n}: K_ {n} ^ {M} (k) / ell až H _ { rm {{ akutní {e}} t}} ^ {n} (k, mu _ { ell} ^ { otimes n})}$

z Teorie Milnora K. mod-ℓ až étale cohomology je izomorfismus. Pouzdro ℓ = 2 je Milnor domněnka a případ n = 2 je Merkurjev – Suslinova věta.^[6][7]

Dějiny

Etaleova kohomologie pole je identická s Galoisova kohomologie, takže domněnka se rovná ℓté cotorsion (kvocient podskupiny ℓ-dělitelných prvků) Milnor K.-skupina a pole k s Galoisova kohomologie z k s koeficienty v Galoisově modulu prvních kořenů jednoty. Smyslem domněnky je, že existují vlastnosti, které jsou pro Milnora snadno viditelné K.-skupiny, ale ne pro Galoisovu kohomologii a naopak; věta o izomorfismu zbytkových norem umožňuje aplikovat techniky použitelné na objekt na jedné straně izomorfismu na objekt na druhé straně izomorfismu.

Případ, kdy n je 0 je triviální, a případ, kdy n = 1 snadno vyplývá z Hilbertova věta 90. Pouzdro n = 2 a ℓ = 2 bylo prokázáno (Merkurjev 1981 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFMerkurjev1981 (Pomoc). Byl to důležitý pokrok n = 2 a ℓ libovolné. Tento případ byl prokázán (Merkurjev a Suslin 1982 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFMerkurjevSuslin1982 (Pomoc) a je známý jako Merkurjev – Suslinova věta. Později případ prokázali Merkurjev a Suslin a samostatně Rost n = 3 a ℓ = 2 (Merkurjev a Suslin 1991 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFMerkurjevSuslin1991 (Pomoc) (Rost 1986 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFRost1986 (Pomoc).

Název "zbytky normy" původně odkazoval na Hilbertův symbol ${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2})}$, který bere hodnoty v Brauerova skupina z k (když pole obsahuje všechny ℓ-té kořeny jednoty). Jeho použití je zde analogické se standardem teorie místní třídy pole a očekává se, že bude součástí (dosud nevyvinuté) teorie pole „vyšší“ třídy.

Věta o izomorfismu zbytkové normy implikuje Quillen – Lichtenbaumova domněnka. Je to ekvivalent věty, jejíž výrok byl kdysi označován jako Domněnka Beilinson – Lichtenbaum.

Historie důkazu

Milnorova domněnka byla prokázána Vladimír Voevodský.^{[8][9][10][11]} Později Voevodsky dokázal obecnou domněnku Bloch-Kato.^[12][13]

Výchozím bodem důkazu je řada domněnek kvůli Lichtenbaum (1983) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFLichtenbaum1983 (Pomoc) a Beilinson (1987) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFBeilinson1987 (Pomoc). Domnívali se o existenci motivické komplexy, komplexy snopů, jejichž kohomologie souvisela s motivická kohomologie. Mezi hypotetickými vlastnostmi těchto komplexů byly tři vlastnosti: jedna spojující jejich Zariskiho kohomologii s Milnorovou K-teorií, jedna spojující jejich etální kohomologii s cohomologií s koeficienty v svazcích kořenů jednoty a druhá spojující jejich Zariskiho kohomologii s jejich etální kohomologií. Tyto tři vlastnosti jako velmi zvláštní případ implikovaly, že mapa zbytkových norem by měla být izomorfismem. Podstatnou charakteristikou důkazu je, že využívá indukci na „váhu“ (která se v dimenzi rovná dimenzi kohomologické skupiny), kde indukční krok vyžaduje znát nejen výrok Bloch-Kato domněnky, ale mnohem obecnější prohlášení, které obsahuje velkou část domněnek Beilinson-Lichtenbaum. V důkazech indukcí se často stává, že prokazovaný výrok musí být posílen, aby se prokázal indukční krok. V tomto případě bylo nutné posílení vyžadovat vývoj velkého množství nové matematiky.

Nejstarší důkaz Milnorova domněnky je obsažen v předtisku Voevodského z roku 1995^[8] a je inspirován myšlenkou, že by měly existovat algebraické analogy Morava K.-teorie (tyto algebraické moravské K-teorie byly později postaveny Simone Borghesi^[14]). V předtisku z roku 1996 se Voevodskému podařilo odstranit Moravu K.-teorie z obrázku zavedením místo toho algebraické cobordismy a použití některých jejich vlastností, které v té době nebyly prokázány (tyto vlastnosti byly prokázány později). Konstrukce předtisků z let 1995 a 1996 jsou nyní známé jako správné, ale první dokončený důkaz Milnorova domněnky používal poněkud odlišné schéma.

Je to také schéma, které následuje důkaz úplné domněnky Bloch-Kato. Byl navržen Voevodským několik měsíců poté, co se objevil předtisk z roku 1996. Provedení tohoto režimu vyžadovalo značné pokroky v oblasti teorie motivické homotopy stejně jako hledání způsobu, jak vytvořit algebraické odrůdy se specifikovaným seznamem vlastností. Z teorie motivické homotopy důkaz vyžadoval následující:

1. Konstrukce motivického analogu základní přísady Spanier – Whiteheadská dualita v podobě motivické základní třídy jako morfismu z motivické sféry do Thomův prostor motivického normálního svazku přes hladkou projektivní algebraickou rozmanitost.
2. Konstrukce motivického analogu Steenrodova algebra.
3. Důkaz tvrzení, že nad polem charakteristické nuly je motivická Steenrodova algebra charakterizuje všechny bistabilní kohomologické operace v motivické kohomologii.

První dvě stavby byly vyvinuty Voevodským do roku 2003. V kombinaci s výsledky známými od konce 80. let stačily k vyvrácení Milnor domněnka.

Také v roce 2003 Voevodsky zveřejnil na webu předtisk, který téměř obsahoval důkaz obecné věty. Postupovalo podle původního schématu, ale chyběly důkazy tří prohlášení. Dvě z těchto tvrzení souvisela s vlastnostmi motivických Steenrodových operací a vyžadovala výše uvedenou třetí skutečnost, zatímco třetí vyžadovala tehdy neznámá fakta o „normálních odrůdách“. Vlastnosti, které tyto odrůdy musely mít, formuloval Voevodsky v roce 1997 a samotné odrůdy zkonstruoval Markus Rost v letech 1998–2003. Důkaz, že mají požadované vlastnosti, byl vyplněn uživatelem Andrei Suslin a Seva Joukhovitski v roce 2006.

Třetí výše uvedený fakt vyžadoval vývoj nových technik v teorii motivické homotopy. Cílem bylo dokázat, že funktor, o kterém se nepředpokládalo, že by dojížděl s omezeními nebo kolimity, zachoval slabé ekvivalence mezi objekty určité formy. Jednou z hlavních obtíží bylo, že standardní přístup ke studiu slabých ekvivalencí je založen na faktorizačních systémech Bousfield – Quillen a kategorie modelu struktur, a ty byly nedostatečné. Museli být vyvinuty další metody a tuto práci dokončil Voevodsky až v roce 2008.^{[Citace je zapotřebí ]}

V průběhu vývoje těchto technik vyšlo najevo, že první tvrzení použité bez důkazu v předtisku Voevodského z roku 2003 je nepravdivé. Důkaz musel být mírně upraven, aby vyhovoval opravené formě tohoto prohlášení. Zatímco Voevodsky pokračoval ve zpracování závěrečných podrobností důkazů hlavních vět o motivice Eilenberg – MacLaneovy mezery, Charles Weibel vynalezl přístup k opravě místa v důkazu, který musel být upraven. Weibel také publikoval v roce 2009 dokument, který obsahoval souhrn konstrukcí Voevodského v kombinaci s opravou, kterou objevil.^{[Citace je zapotřebí ]}

Domněnka Beilinson – Lichtenbaum

Nechat X být hladkou odrůdou na poli obsahujícím ${ displaystyle 1 / ell}$. Beilinson a Lichtenbaum se domnívali, že motivická kohomologie skupina ${ displaystyle H ^ {p, q} (X, mathbf {Z} / ell)}$ je isomorfní s étale cohomology skupina ${ displaystyle H _ { rm {{ akutní {e}} t}} ^ {p} (X, mu _ { ell} ^ { otimes q})}$ když str≤q. Tato domněnka byla nyní prokázána a je ekvivalentní teorému izomorfismu zbytku normy.

Reference

Bibliografie

• Bloch, Spencer; Kato, Kazuya (1986). "p-adic etale cohomology". Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 63: 107–152. doi:10.1007 / bf02831624.
• Borghesi, Simone (2000), Algebraické Morava K-teorie a vzorec vyššího stupně Předtisk
• Efrat, Ido (2006). Ocenění, objednávky a Milnor K.-teorie. Matematické průzkumy a monografie. 124. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-4041-X. Zbl  1103.12002.
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Centrální jednoduché algebry a galoisova kohomologie. Cambridge studia pokročilé matematiky. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-86103-9. Zbl  1137.12001.
• Milnor, John (1970). "Algebraická K-teorie a kvadratické formy". Inventiones Mathematicae. 9 (4): 318–344. Bibcode:1970InMat ... 9..318M. doi:10.1007 / bf01425486.
• Rost, Markus (1998). "Řetězové lemma pro rozdělení polí symbolů".
• Srinivas, V. (2008). Algebraický K.-teorie. Modern Birkhäuser Classics (brožovaný dotisk 2. vydání z roku 1996). Boston, MA: Birkhäuser. ISBN  978-0-8176-4736-0. Zbl  1125.19300.
• Voevodsky, Vladimir (1995), Bloch-Kato domněnka pro Z / 2 koeficienty a algebraické Morava K-teorie, Předtisk, CiteSeerX  10.1.1.154.922
• Voevodsky, Vladimir (1996), Milnorská domněnka Předtisk
• Voevodsky, Vladimir (2001), Na 2-torze v motivické kohomologii, Předtisk, arXiv:matematika / 0107110, Bibcode:2001math ...... 7110V
• Voevodsky, Vladimir (2003a), „Omezené energetické operace v motivické kohomologii“, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publikace Mathématiques, 98 (1): 1–57, arXiv:matematika / 0107109, doi:10.1007 / s10240-003-0009-z, ISSN  0073-8301, PAN  2031198
• Voevodsky, Vladimir (2003b), „Motivální kohomologie se Z / 2 koeficienty“, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publikace Mathématiques, 98 (1): 59–104, doi:10.1007 / s10240-003-0010-6, ISSN  0073-8301, PAN  2031199
• Voevodsky, Vladimir (2008). "O motivické kohomologii se Z / l koeficienty". arXiv:0805.4430 [math.AG ].
• Weibel, Charles (2009). "Věta o izomorfismu zbytku normy". Časopis topologie. 2 (2): 346–372. doi:10.1112 / jtopol / jtp013. PAN  2529300.
• Voevodsky, Vladimir (2011). „O motivické kohomologii se Z / l koeficienty“. Annals of Mathematics. 174 (1): 401–438. arXiv:0805.4430. doi:10.4007 / annals.2011.174.1.11.