Liouvillianova funkce - Liouvillian function

V matematice je Liouvillianovy funkce obsahují sadu funkce včetně základní funkce a jejich opakování integrály. Liouvillianovy funkce mohou být rekurzivně definované jako integrály dalších Liouvillianových funkcí.

Přesněji řečeno, je to funkce jednoho proměnná který je složení konečného počtu aritmetické operace (+ – × ÷), exponenciály, konstanty, řešení algebraických rovnic (zobecnění nth kořeny ), a antiderivativa. The logaritmus funkce nemusí být výslovně zahrnuta, protože je nedílnou součástí ${ displaystyle 1 / x}$.

Z definice přímo vyplývá, že množina Liouvillianových funkcí je Zavřeno v rámci aritmetických operací, složení a integrace. Je také uzavřen pod diferenciace. Není uzavřen pod limity a nekonečné částky.

Liouvillianovy funkce zavedl Joseph Liouville v sérii prací z let 1833 až 1841.

Příklady

Všechno základní funkce jsou Liouvillian.

Příklady známých funkcí, které jsou Liouvillian, ale nejsou elementární, jsou neelementární integrály, například:

• The chybová funkce, ${ displaystyle mathrm {erf} (x) = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} , dt ,}$
• The exponenciální (Ei), logaritmický (Li nebo li) a Fresnel (S a C) integrály.

Všechny funkce Liouvillian jsou řešením algebraické diferenciální rovnice, ale ne naopak. Příklady funkcí, které jsou řešením algebraických diferenciálních rovnic, ale ne Liouvillian, zahrnují:^[1]

• the Besselovy funkce (kromě zvláštních případů);
• the hypergeometrické funkce (kromě zvláštních případů).

Příklady funkcí, které jsou ne řešení algebraických diferenciálních rovnic a tedy ne Liouvillian zahrnuje všechny transcendentálně transcendentální funkce, jako:

• the funkce gama;
• the funkce zeta.

Viz také

• Uzavřený výraz
• Teorie Picard – Vessiot
• Diferenciální Galoisova teorie

Reference

Další čtení

• Davenport, J. H. (2007). „Co by mohlo znamenat„ porozumět funkci “? In Kauers, M .; Kerber, M .; Miner, R .; Windsteiger, W. (eds.). Směrem k mechanizovaným matematickým asistentům. Berlín / Heidelberg: Springer. str.55 –65. ISBN  3-540-73083-4.

externí odkazy