Lemniscate z Gerona - Lemniscate of Gerono

Lemniscate z Gerona

v algebraická geometrie, lemniscate z Geronanebo lemniscate z Huygensnebo křivka číslo osm, je rovinová algebraická křivka stupně čtyři a rod nula a je a lemniscate křivka ve tvaru ${displaystyle infty}$ symbol nebo osmička. Má rovnici

${displaystyle x ^ {4} -x ^ {2} + y ^ {2} = 0.}$

To bylo studováno Camille-Christophe Gerono.

Parametrizace

Protože křivka má rod nula, lze ji parametrizovat pomocí racionálních funkcí; jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout, je

${displaystyle x = {frac {t ^ {2} -1} {t ^ {2} +1}}, y = {frac {2t (t ^ {2} -1)} {(t ^ {2} + 1) ^ {2}}}.}$

Další zastoupení je

${displaystyle x = cos varphi, y = sin varphi, cos varphi = sin (2varphi) / 2}$

což odhaluje, že tento lemniscate je speciální případ a Lissajousova postava.

Dvojitá křivka

The dvojitá křivka (vidět Plückerův vzorec ), na obrázku níže, má tedy poněkud odlišný charakter. Jeho rovnice je

${displaystyle (x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {3} + 8y ^ {4} + 20x ^ {2} y ^ {2} -x ^ {4} -16y ^ {2} = 0 .}$

Duální na lemniscate Gerona

Reference

• J. Dennis Lawrence (1972). Katalog speciálních rovinných křivek. Dover Publications. str.124. ISBN  0-486-60288-5.

externí odkazy

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Osmá křivka“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.