Mehler – Heineův vzorec - Mehler–Heine formula - Wikipedia

V matematice je Mehler – Heineův vzorec představil Mehler  (1868 ) a Heine  (1861 ) popisuje asymptotické chování Legendární polynomy protože index má sklon k nekonečnu, poblíž okrajů podpory závaží. Existují zevšeobecňování ostatních klasické ortogonální polynomy, které se také nazývají Mehler – Heineův vzorec. Vzorec doplňuje vzorce Darboux, které popisují asymptotika uvnitř a vně podpěry.

Legendární polynomy

Nejjednodušší případ vzorce Mehler – Heine to říká

${ displaystyle lim _ {n to infty} P_ {n} { Bigl (} cos {z over n} { Bigr)} = J_ {0} (z)}$

kde P_n je Legendrov polynom řádu n, a J₀ A Besselova funkce. Limit je jednotný z v libovolném ohraničení doména v složité letadlo.

Jacobiho polynomy

Zobecnění na Jacobiho polynomy P^{α, β}
_n darováno (Szegő 1939, 8.1) takto:

${ displaystyle lim _ {n to infty} n ^ {- alpha} P_ {n} ^ { alpha, beta} left ( cos { frac {z} {n}} right) = left ({ frac {z} {2}} right) ^ {- alpha} J _ { alpha} (z) ~.}$

Reference

• Heine, E. (1861), Handbuch der Kugelfunktionen. Theorie und Anwendung. Neudruck. (v němčině), Georg Reimer, Berlín, Zbl  0103.29304
• Mehler, F. G. (1868), „Ueber die Vertheilung der statischen Elektricität in einem von zwei Kugelkalotten begrenzten Körper.“ (PDF), Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině), 68: 134–150, doi:10,1515 / crll.1868.68.134, ISSN  0075-4102
• Szegő, Gábor (1939), Ortogonální polynomy, Publikace kolokvia, XXIIIAmerická matematická společnost, ISBN  978-0-8218-1023-1, PAN  0372517