Diskrétní Čebyševovy polynomy - Discrete Chebyshev polynomials - Wikipedia

V matematice diskrétní Čebyševovy polynomynebo Gram polynomy, jsou typem diskrétní ortogonální polynomy použito v teorie aproximace, představil Pafnuty Čebyšev  (1864 ) a znovu objeven Gram  (1883 ).

Základní definice

Diskrétní Čebyševův polynom ${ displaystyle t_ {n} ^ {N} (x)}$ je polynom stupně n v X,pro ${ displaystyle n = 0,1,2, ldots, N-1}$, konstruované tak, že dva polynomy nerovného stupně jsou kolmé vzhledem k váhové funkci

${ displaystyle w (x) = součet _ {r = 0} ^ {N-1} delta (x-r)}$

s ${ displaystyle delta ( cdot)}$ jako delta funkce Dirac. To znamená

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} t_ {n} ^ {N} (x) t_ {m} ^ {N} (x) w (x) = 0 quad { rm { pokud }} quad n neq m.}$

Integrál vlevo je vlastně součet kvůli funkci delta a máme,

${ displaystyle sum _ {r = 0} ^ {N-1} t_ {n} ^ {N} (r) t_ {m} ^ {N} (r) = 0 quad { rm {if } } quad n neq m.}$

Tedy i přesto ${ displaystyle t_ {n} ^ {N} (x)}$ je polynom v ${ displaystyle x}$, pouze jeho hodnoty v diskrétní sadě bodů,${ displaystyle x = 0,1,2, ldots, N-1}$ mají jakýkoli význam. Protože však tyto polynomy lze definovat z hlediska ortogonality s ohledem na nezápornou váhovou funkci, je použitelná celá teorie ortogonálních polynomů. Polynomy jsou zejména úplné v tom smyslu

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {N-1} t_ {n} ^ {N} (r) t_ {n} ^ {N} (s) = 0 quad { rm {if } } quad r neq s.}$

Čebyšev zvolil normalizaci tak

${ displaystyle sum _ {r = 0} ^ {N-1} t_ {n} ^ {N} (r) t_ {n} ^ {N} (r) = { frac {N} {2n + 1 }} prod _ {k = 1} ^ {n} (N ^ {2} -k ^ {2}).}$

To opravuje polynomy úplně spolu se znaménkovou konvencí, ${ displaystyle t_ {n} ^ {N} (N-1)> 0}$.

Pokročilá definice

Nechat F být plynulá funkce definované na uzavřený interval [−1, 1], jehož hodnoty jsou známé výslovně pouze v bodech X_k := −1 + (2k − 1)/m, kde k a m jsou celá čísla a 1 ≤k ≤ m. Úkolem je přiblížit se F jako polynomiální stupně n < m. Zvažte a pozitivní semi-definitivní bilineární forma

${ displaystyle left (g, h right) _ {d}: = { frac {1} {m}} součet _ {k = 1} ^ {m} {g (x_ {k}) h ( x_ {k})},}$

kde G a h jsou kontinuální na [-1,1] a nechte

${ displaystyle left | g right | _ {d}: = (g, g) _ {d} ^ {1/2}}$

být diskrétní polořadovka. Nechat ${ displaystyle varphi _ {k}}$ být rodina polynomů navzájem kolmých

${ displaystyle left ( varphi _ {k}, varphi _ {i} right) _ {d} = 0}$

kdykoli i není rovno k. Předpokládejme všechny polynomy ${ displaystyle varphi _ {k}}$ mít pozitivní vedoucí koeficient a jsou normalizováno takovým způsobem, že

${ displaystyle left | varphi _ {k} right | _ {d} = 1.}$

The ${ displaystyle varphi _ {k}}$ se nazývají diskrétní Čebyševovy (nebo Gramovy) polynomy.^[1]

Reference

• Čebyšev, P. (1864), „Sur l'interpolation“, Zapiski Akademii Nauk, 4, Oeuvres Vol 1 str. 539–560
• Gram, J. P. (1883), „Ueber die Entwickelung reeller Functionen in Reihen mittelst der Methode der kleinsten Quadrate“, Journal für die reine und angewandte Mathematik (v němčině), 1883 (94): 41–73, doi:10,1515 / crll.1883,94,41, JFM  15.0321.03