Kvazitranzitivní vztah - Quasitransitive relation

Kvazitranzitivní vztah X≤5/4y. Jeho symetrická a přechodná část je zobrazena modře a zeleně.

Matematický pojem kvazitransitivita je oslabená verze tranzitivita který se používá v teorie sociální volby a mikroekonomie. Neformálně je relace kvazitranzitivní, pokud je symetrická pro některé hodnoty a tranzitivní jinde. Koncept představil Sen (1969) studovat důsledky Arrowova věta.

Formální definice

A binární relace T přes a soubor X je kvazitranzitivní pokud pro všechny A, b, a C v X platí:

{displaystyle (aoperatorname {T} b) klín např. (boperatorname {T} a) klín (boperatorname {T} c) klín např. (coperatorname {T} b) Rightarrow (aoperatorname {T} c) klín např. (coperatorname {T} A).}

Pokud je vztah také antisymetrický, T je tranzitivní.

Alternativně pro vztah T definujte asymetrický nebo „přísná“ část P:

{displaystyle (aoperatorname {P} b) Šipka vlevo (aoperatorname {T} b) klín např. (boperatorname {T} a).}

Pak T je quasitransitive právě tehdy, když P je tranzitivní.

Příklady

Předvolby se v některých ekonomických kontextech předpokládá, že jsou kvazitranzitivní (spíše než tranzitivní). Klasickým příkladem je osoba lhostejná mezi 7 a 8 gramy cukru a lhostejná mezi 8 a 9 gramy cukru, ale která dává přednost 9 gramům cukru před 7.^[1] Podobně Paradox Soritů lze vyřešit oslabením předpokládané přechodnosti určitých vztahů na kvazitransitivitu.

Vlastnosti

Vztah R je kvazitranzitivní, a to pouze v případě, že je disjunktní unie symetrického vztahu J a tranzitivní vztah P.^[2] J a P nejsou jednoznačně určeny daným R;^[3] nicméně P z jen když část je minimální.^[4]
V důsledku toho je každý symetrický vztah kvazitranzitivní, stejně jako každý tranzitivní vztah.^[5] Kromě toho je antisymetrický a kvazitranzitivní vztah vždy tranzitivní.^[6]
Vztah z výše uvedeného příkladu cukru, {(7,7), (7,8), (7,9), (8,7), (8,8), (8,9), (9,8) , (9,9)}, je kvazitranzitivní, ale nikoli tranzitivní.
Kvazitranzitivní vztah nemusí být acyklický: pro každou neprázdnou sadu A, univerzální vztah A×A je cyklický i kvazitranzitivní.

Viz také

Reference

^ Robert Duncan Luce (Duben 1956). „Semiordery a teorie diskriminace z užitku“ (PDF). Econometrica. 24 (2): 178–191. doi:10.2307/1905751. JSTOR 1905751. Zde: str.179; Lucein původní příklad spočívá ve 400 srovnání (kávových šálků s různým množstvím cukru), nikoli jen ve 2.
^ Následuje pojmenování Bossert & Suzumura (2009), str. 2-3. - Pro jen když část, definovat xJy tak jako xRy ∧ yRxa definovat xPy tak jako xRy ∧ ¬yRx. - Pro -li část, předpokládejme xRy ∧ ¬yRx ∧ yRz ∧ ¬zRy drží. Pak xPy a yPz, od té doby xJy nebo YJ z by bylo v rozporu ¬yRx nebo ¬zRy. Proto xPz tranzitivitou, ¬xJz disjunktností, ¬zJx symetrií. Proto, zRx by znamenalo zPxa tranzitivitou zPy, což je v rozporu s ¬zRy. Celkově to dokazuje xRz ∧ ¬zRx.
^ Například pokud R je vztah ekvivalence, J lze zvolit jako prázdný vztah, nebo jako R sám, a P jako jeho doplněk.
^ Dáno Rkdykoli xRy ∧ ¬yRx drží, dvojice (X,y) nemůže patřit do symetrické části, ale musí patřit do tranzitivní části.
^ Protože prázdný vztah je triviálně jak tranzitivní, tak symetrický.
^ Antisymetrie R síly J být coreflexive; odtud tedy svazek J a tranzitiv P je opět tranzitivní.

Sen, A. (1969). „Kvazi-tranzitivita, racionální volba a kolektivní rozhodnutí“. Reverend Econ. Stud. 36 (3): 381–393. doi:10.2307/2296434. JSTOR 2296434. Zbl 0181.47302.
Frederic Schick (červen 1969). „Arrow's Proof and the Logic of Preference“. Filozofie vědy. 36 (2): 127–144. doi:10.1086/288241. JSTOR 186166. S2CID 121427121.
Amartya K. Sen (1970). Kolektivní volba a sociální péče. Holden-Day, Inc.
Amartya K. Sen (červenec 1971). „Volitelné funkce a odhalená preference“ (PDF). Přehled ekonomických studií. 38 (3): 307–317. doi:10.2307/2296384. JSTOR 2296384.
A. Mas-Colell a H. Sonnenschein (1972). „Věty obecné možnosti pro skupinová rozhodnutí“ (PDF). Přehled ekonomických studií. 39 (2): 185–192. doi:10.2307/2296870. JSTOR 2296870. S2CID 7295776.
Blair a R.A. Pollak (1982). "Acyclic Collective Choice Rules". Econometrica. 50 (4): 931–943. doi:10.2307/1912770. JSTOR 1912770.
Bossert, Walter; Suzumura, Kotaro (duben 2005). Racionální volba u libovolných domén: komplexní zacházení (PDF) (Technická zpráva). Université de Montréal, Hitotsubashi University Tokyo.
Bossert, Walter; Suzumura, Kotaro (březen 2009). Kvazi-tranzitivní a Suzumura konzistentní vztahy (PDF) (Technická zpráva). Université de Montréal, Waseda University Tokyo. doi:10.1007 / s00355-011-0600-z. S2CID 38375142.
Bossert, Walter; Suzumura, Kotaro (2010). Důslednost, volba a racionalita. Harvard University Press. ISBN 978-0674052994.
Alan D. Miller a Shiran Rachmilevitch (únor 2014). Arrowova věta bez přechodnosti (PDF) (Pracovní papír). University of Haifa.

[1] Robert Duncan Luce (Duben 1956). „Semiordery a teorie diskriminace z užitku“ (PDF). Econometrica. 24 (2): 178–191. doi:10.2307/1905751. JSTOR 1905751. Zde: str.179; Lucein původní příklad spočívá ve 400 srovnání (kávových šálků s různým množstvím cukru), nikoli jen ve 2.

[2] Následuje pojmenování Bossert & Suzumura (2009), str. 2-3. - Pro jen když část, definovat xJy tak jako xRy ∧ yRxa definovat xPy tak jako xRy ∧ ¬yRx. - Pro -li část, předpokládejme xRy ∧ ¬yRx ∧ yRz ∧ ¬zRy drží. Pak xPy a yPz, od té doby xJy nebo YJ z by bylo v rozporu ¬yRx nebo ¬zRy. Proto xPz tranzitivitou, ¬xJz disjunktností, ¬zJx symetrií. Proto, zRx by znamenalo zPxa tranzitivitou zPy, což je v rozporu s ¬zRy. Celkově to dokazuje xRz ∧ ¬zRx.

[3] Například pokud R je vztah ekvivalence, J lze zvolit jako prázdný vztah, nebo jako R sám, a P jako jeho doplněk.

[4] Dáno Rkdykoli xRy ∧ ¬yRx drží, dvojice (X,y) nemůže patřit do symetrické části, ale musí patřit do tranzitivní části.

[5] Protože prázdný vztah je triviálně jak tranzitivní, tak symetrický.

[6] Antisymetrie R síly J být coreflexive; odtud tedy svazek J a tranzitiv P je opět tranzitivní.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]