Spernerova vlastnost částečně objednané sady - Sperner property of a partially ordered set

v řádová teoretická matematika, a odstupňované částečně objednaná sada se říká, že má Spernerův majetek (a proto se nazývá a Spernerova poseta), jestli ne antichain v něm je větší než největší úroveň (jedna ze sad prvků stejné úrovně) v posetu.[1] Vzhledem k tomu, že každá úroveň je sama o sobě antichain, je Spernerova vlastnost rovnocenně vlastností, že některá úroveň ranků je maximální antichain.[2] Vlastnost Sperner a Sperner posety jsou pojmenovány po Emanuel Sperner, který dokázal Spernerova věta s uvedením, že rodina všech podskupin konečné množiny (částečně seřazené zahrnutím množiny) má tuto vlastnost. Mřížka oddílů konečné sady obvykle postrádá Spernerovu vlastnost.[3]

Variace

A k-Spernerova poseta je odstupňovaná poseta, ve které neexistuje spojení k antichains je větší než svazek k největší hodnostní úrovně,[1] nebo ekvivalentně má poset maximum k-rodina skládající se z k úrovně.[2]

A přísná Spernerova poseta je odstupňovaná poseta, ve které jsou všechny maximální antichainy na úrovních.[2]

A silně Spernerova poseta je odstupňovaná poset, což je k-Sperner pro všechny hodnoty k až do nejvyšší hodnoty hodnosti.[2]

Reference

  1. ^ A b Stanley, Richard (1984), "Quotients of Peck posets", Objednat, 1 (1): 29–34, doi:10.1007 / BF00396271, PAN  0745587.
  2. ^ A b C d Příručka diskrétní a kombinatorické matematiky, Kenneth H. Rosen, John G. Michaels
  3. ^ Graham, R. L. (Červen 1978), „Maximum antichains in the partition lattice“ (PDF), Matematický zpravodaj, 1 (2): 84–86, doi:10.1007 / BF03023067, PAN  0505555