Multiplikativní sekvence - Multiplicative sequence - Wikipedia

v matematika, a multiplikativní sekvence nebo m-sekvence je sekvence z polynomy spojené s formálním skupina struktura. Mají uplatnění v cobordism ring v algebraická topologie.

Definice

Nechat K._n být polynomy nad a prsten A u neurčitých str₁, ... váženo tak str_i má váhu i (s str₀ = 1) a všechny termíny v K._n mít váhu n (aby K._n je polynom v str₁, ..., str_n). Sekvence K._n je multiplikativní pokud totožnost

${ displaystyle sum _ {i} p_ {i} z ^ {i} = sum _ {i} p '_ {i} z ^ {i} cdot sum _ {i} p' '_ {i } z ^ {i}}$

naznačuje

${ displaystyle sum _ {i} K_ {i} (p_ {1}, ldots, p_ {i}) z ^ {i} = sum _ {j} K_ {j} (p '_ {1} , ldots, p '_ {j}) z ^ {j} cdot sum _ {k} K_ {k} (p' '_ {1}, ldots, p' '_ {k}) z ^ {k}}$

Jinými slovy, ${ displaystyle p mapsto K (p)}$ musí být endomorfismus multiplikátoru monoidní ${ displaystyle (A [[X]], cdot)}$.

The výkonová řada

${ displaystyle sum K_ {n} (1,0, ldots, 0) z ^ {n}}$

je charakteristická výkonová řada zK._n. Multiplikativní posloupnost je určena její charakteristickou výkonovou řadou Q(z) a všechny výkonová řada s konstantním členem 1 vede k multiplikativní posloupnosti.

Obnovit multiplikativní sekvenci z charakteristické výkonové řady Q(z) uvažujeme koeficient z^j v produktu

${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {m} Q ( beta _ {i} z) }$

pro všechnym > j. Toto je symetrické v β_i a homogenní hmotnosti j: lze tedy vyjádřit jako polynom K._j(str₁, ..., str_j) v elementární symetrické funkce str zβ. Pak K._j definuje multiplikativní sekvenci.

Příklady

Jako příklad posloupnost K._n = str_n je multiplikativní a má charakteristickou výkonovou řadu 1 +z.

Zvažte výkonovou řadu

${ displaystyle Q (z) = { frac { sqrt {z}} { tanh { sqrt {z}}}} = 1- součet _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {2 ^ {2k}} {(2k)!}} B_ {k} z ^ {k} }$

kde B_k je k-th Bernoulliho číslo. Multiplikativní sekvence s Q jak je označena charakteristická výkonová řada L_j(str₁, ..., str_j).

Multiplikativní posloupnost s charakteristickými výkonovými řadami

${ displaystyle Q (z) = { frac {2 { sqrt {z}}} { sinh 2 { sqrt {z}}}}}$

je označen A_j(str₁,...,str_j).

Multiplikativní posloupnost s charakteristickými výkonovými řadami

${ displaystyle Q (z) = { frac {z} {1- exp (-z)}} = 1 + { frac {x} {2}} - součet _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {B_ {k}} {(2k)!}} z ^ {2k} }$

je označen T_j(str₁,...,str_j): tohle jsou Toddovy polynomy.

Rod

The rod multiplikativní sekvence je a kruhový homomorfismus, od cobordism ring hladce orientované kompaktní rozdělovače do jiného kruhu, obvykle do kruhu racionální čísla.

Například Rod Todd je spojena s Toddovými polynomy s charakteristickými výkonovými řadami ${ displaystyle { frac {z} {1- exp (-z)}}}$.

Reference

• Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Topologické metody v algebraické geometrii. Klasika z matematiky. Překlad z němčiny a dodatek jedna R. L. E. Schwarzenbergera. Dodatek dva od A. Borela (Dotisk 2., opravný tisk 3. vydání). Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-58663-6. Zbl  0843.14009.