Topologická algebra - Topological algebra

v matematika, a topologická algebra ${ displaystyle A}$ je algebra a zároveň a topologický prostor, kde algebraické a topologické struktury jsou v určitém smyslu koherentní.

Definice

A topologická algebra ${ displaystyle A}$ přes topologické pole ${ displaystyle K}$ je topologický vektorový prostor společně s bilineárním násobením

${ displaystyle cdot: A krát A až A}$,

${ displaystyle (a, b) mapsto a cdot b}$

to se otočí ${ displaystyle A}$ do algebra přes ${ displaystyle K}$ a je kontinuální v určitém smyslu. Obvykle kontinuita násobení je vyjádřen jedním z následujících (neekvivalentních) požadavků:

• společná kontinuita:^[1] pro každého sousedství nula ${ displaystyle U subseteq A}$ existují nulová sousedství ${ displaystyle V subseteq A}$ a ${ displaystyle W subseteq A}$ takhle ${ displaystyle V cdot W subseteq U}$ (jinými slovy, tato podmínka znamená, že násobení je spojité jako mapa mezi topologickými prostory ${ displaystyle A krát A až A}$), nebo
• kontinuita stereotypů:^[2] pro každého zcela ohraničená množina ${ displaystyle S subseteq A}$ a pro každé sousedství nuly ${ displaystyle U subseteq A}$ sousedství je nulové ${ displaystyle V subseteq A}$ takhle ${ displaystyle S cdot V subseteq U}$ a ${ displaystyle V cdot S subseteq U}$nebo
• samostatná kontinuita:^[3] pro každý prvek ${ displaystyle a v A}$ a pro každé sousedství nuly ${ displaystyle U subseteq A}$ sousedství je nulové ${ displaystyle V subseteq A}$ takhle ${ displaystyle a cdot V subseteq U}$ a ${ displaystyle V cdot a subseteq U}$.

(Jistě, společná kontinuita znamená stereotypní kontinuitu a stereotypní kontinuita znamená samostatnou kontinuitu.) V prvním případě ${ displaystyle A}$ se nazývá „topologická algebra se společně spojitým množením„a poslední,“se samostatně spojitým množením".

Unital asociativní topologická algebra se (někdy) nazývá a topologický prsten.

Dějiny

Termín vytvořil David van Dantzig; objevuje se v názvu jeho disertační práce (1931).

Příklady

1. Fréchetské algebry jsou příklady asociativních topologických algeber se společně spojitým množením.

2. Banachovy algebry jsou speciální případy Fréchetské algebry.

3. Stereotypní algebry jsou příklady asociativních topologických algeber se stereotypním kontinuálním množením.

Poznámky

externí odkazy

• Topologická algebra v nLab

Reference

• Beckenstein, E .; Narici, L .; Suel, C. (1977). Topologické algebry. Amsterdam: Severní Holandsko. ISBN  9780080871356.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Akbarov, S. S. (2003). "Pontryaginova dualita v teorii topologických vektorových prostorů a v topologické algebře". Journal of Mathematical Sciences. 113 (2): 179–349. doi:10.1023 / A: 1020929201133.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Mallios, A. (1986). Topologické algebry. Amsterdam: Severní Holandsko. ISBN  9780080872353.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Balachandran, V.K. (2000). Topologické algebry. Amsterdam: Severní Holandsko. ISBN  9780080543086.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Fragoulopoulou, M. (2005). Topologické algebry s involucí. Amsterdam: Severní Holandsko. ISBN  9780444520258.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Tento související s topologií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.