Sprej (matematika) - Spray (mathematics)

v diferenciální geometrie, a sprej je vektorové pole H na tečný svazek TM který kóduje a kvazilineární systém druhého řádu obyčejných diferenciálních rovnic na základním potrubí M. Obvykle se vyžaduje, aby byl sprej homogenní v tom smyslu, že jeho integrální křivky t→ Φ_H^t(ξ) ∈TM dodržujte pravidlo Φ_H^t(λξ) = Φ_H^λt(ξ) v pozitivních reparameterizacích. Pokud je tento požadavek zrušen, H se nazývá a polosprej.

Spreje přirozeně vznikají v Riemannian a Finslerova geometrie jako geodetické spreje, jehož integrální křivky jsou přesně tangenciální křivky lokálně minimalizujících křivek. Semispreje vznikají přirozeně jako extrémní křivky akčních integrálů v Lagrangian mechanika. Zobecnění všech těchto příkladů, jakékoli (možná nelineární) připojení M indukuje polosprej Ha naopak jakýkoli polosprej H indukuje nelineární připojení bez zkroucení M. Pokud je původní spojení bez kroucení, shoduje se se spojením indukovaným Ha homogenní spojení bez zkroucení jsou v korespondenci jedna ku jedné s plnými spreji.^[1]

Formální definice

Nechat M být diferencovatelné potrubí a (TM, π_TM,M) jeho tečný svazek. Pak vektorové pole H na TM (tj sekce z dvojitý tečný svazek TTM) je polosprej na M, pokud platí některá ze tří následujících rovnocenných podmínek:

• (π_TM)_*H_ξ = ξ.
• JH=PROTI, kde J je tečná struktura na TM a PROTI je kanonické vektorové pole na TM\0.
• j∘H=H, kde j:TTM→TTM je kanonické převrácení a H je viděn jako mapování TM→TTM.

Polosprej H na M je (plný) sprej pokud platí některá z následujících rovnocenných podmínek:

• H_λξ = λ_*(λH_ξ), kde λ_*:TTM→TTM je posun vpřed násobení λ:TM→TM kladným skalárem λ> 0.
• Derivát lži z H podél kanonického vektorového pole PROTI splňuje [PROTI,H]=H.
• Integrální křivky t→ Φ_H^t(ξ) ∈TM 0 z H uspokojit Φ_H^t(λξ) = λΦ_H^λt(ξ) pro jakékoli λ> 0.

Nechť (Xⁱ, ξⁱ) být lokální souřadnice na TM spojené s místními souřadnicemi (Xⁱ) zapnuto M pomocí základny souřadnic pro každý tečný prostor. Pak H je polosprej M právě když má místní reprezentaci formuláře

${ displaystyle H _ { xi} = xi ^ {i} { frac { částečné} { částečné x ^ {i}}} { velké |} _ {(x, xi)} - 2G ^ { i} (x, xi) { frac { částečné} { částečné xi ^ {i}}} { Velké |} _ {(x, xi)}.}$

na každém přidruženém souřadnicovém systému dne TM. Polosprej H je (plný) sprej, pokud a pouze pokud rozstřikovací koeficienty Gⁱ uspokojit

${ displaystyle G ^ {i} (x, lambda xi) = lambda ^ {2} G ^ {i} (x, xi), quad lambda> 0. ,}$

Semispreje v lagrangické mechanice

Fyzický systém je v Lagrangeově mechanice modelován Lagrangeovou funkcí L:TM→R na tangenciálním svazku nějakého konfiguračního prostoru M. Dynamický zákon je získán z Hamiltonovského principu, který říká, že časový vývoj γ: [A,b]→M stavu systému je stacionární pro akční integrál

${ displaystyle { mathcal {S}} ( gamma): = int _ {a} ^ {b} L ( gamma (t), { dot { gamma}} (t)) dt}$.

V přidružených souřadnicích dne TM první variace akčního integrálu zní jako

${ displaystyle { frac {d} {ds}} { Big |} _ {s = 0} { mathcal {S}} ( gamma _ {s}) = { Big |} _ {a} ^ {b} { frac { částečné L} { částečné xi ^ {i}}} X ^ {i} - int _ {a} ^ {b} { Big (} { frac { částečné ^ {2} L} { částečné xi ^ {j} částečné xi ^ {i}}} { ddot { gamma}} ^ {j} + { frac { částečné ^ {2} L} { částečné x ^ {j} částečné xi ^ {i}}} { dot { gamma}} ^ {j} - { frac { částečné L} { částečné x ^ {i}}} { Velké)} X ^ {i} dt,}$

kde X:[A,b]→R je variační vektorové pole spojené s variací γ_s:[A,b]→M kolem γ (t) = γ₀(t). Tento první variantní vzorec lze přepracovat do informativnější formy zavedením následujících konceptů:

• Covector ${ displaystyle alpha _ { xi} = alpha _ {i} (x, xi) dx ^ {i} | _ {x} v T_ {x} ^ {*} M}$ s ${ displaystyle alpha _ {i} (x, xi) = { tfrac { částečné L} { částečné xi ^ {i}}} (x, xi)}$ je konjugovaná hybnost z ${ displaystyle xi v T_ {x} M}$.
• Odpovídající jeden formulář ${ displaystyle alpha in Omega ^ {1} (TM)}$ s ${ displaystyle alpha _ { xi} = alpha _ {i} (x, xi) dx ^ {i} | _ {(x, xi)} v T _ { xi} ^ {*} TM }$ je Hilbertova forma spojené s Lagrangeovcem.
• Bilineární forma ${ displaystyle g _ { xi} = g_ {ij} (x, xi) (dx ^ {i} otimes dx ^ {j}) | _ {x}}$ s ${ displaystyle g_ {ij} (x, xi) = { tfrac { částečné ^ {2} L} { částečné xi ^ {i} částečné xi ^ {j}}} (x, xi )}$ je základní tenzor Lagrangeovy v ${ displaystyle xi v T_ {x} M}$.
• Lagrangian uspokojuje Legendární podmínka pokud základní tenzor ${ displaystyle displaystyle g _ { xi}}$ je nedegenerovaný u každého ${ displaystyle xi v T_ {x} M}$. Pak inverzní matice z ${ displaystyle displaystyle g_ {ij} (x, xi)}$ je označen ${ displaystyle displaystyle g ^ {ij} (x, xi)}$.
• The Energie spojené s Lagrangeovým je ${ displaystyle displaystyle E ( xi) = alpha _ { xi} ( xi) -L ( xi)}$.

Pokud je podmínka Legendre splněna, pak dα∈Ω²(TM) je symlektická forma a existuje jedinečný Hamiltonovské vektorové pole H na TM odpovídající Hamiltonovské funkci E takhle

${ displaystyle displaystyle dE = - iota _ {H} d alfa}$.

Nechť (Xⁱ,Yⁱ) být složkami Hamiltonovského vektorového pole H v přidružených souřadnicích dne TM. Pak

${ displaystyle iota _ {H} d alpha = Y ^ {i} { frac { částečné ^ {2} L} { částečné xi ^ {i} částečné x ^ {j}}} dx ^ {j} -X ^ {i} { frac { částečné ^ {2} L} { částečné xi ^ {i} částečné x ^ {j}}} d xi ^ {j}}$

a

${ displaystyle dE = { Big (} { frac { částečné ^ {2} L} { částečné x ^ {i} částečné xi ^ {j}}} xi ^ {j} - { frac { částečné L} { částečné x ^ {i}}} { velké)} dx ^ {i} + xi ^ {j} { frac { částečné ^ {2} L} { částečné xi ^ {i} částečné x ^ {j}}} d xi ^ {i}}$

takže vidíme, že Hamiltonovské vektorové pole H je polosprej v konfiguračním prostoru M s rozstřikovacími koeficienty

${ displaystyle G ^ {k} (x, xi) = { frac {g ^ {ki}} {2}} { velký (} { frac { částečný ^ {2} L} { částečný xi ^ {i} částečné x ^ {j}}} xi ^ {j} - { frac { částečné L} { částečné x ^ {i}}} { velké)}.}$

Nyní lze první variační vzorec přepsat na

${ displaystyle { frac {d} {ds}} { Big |} _ {s = 0} { mathcal {S}} ( gamma _ {s}) = { Big |} _ {a} ^ {b} alpha _ {i} X ^ {i} - int _ {a} ^ {b} g_ {ik} ({ ddot { gamma}} ^ {k} + 2G ^ {k}) X ^ {i} dt,}$

a vidíme γ [A,b]→M je stacionární pro akci integrál s pevnými koncovými body právě tehdy, když její tečná křivka γ ': [A,b]→TM je integrální křivka pro hamiltonovské vektorové pole H. Dynamika mechanických systémů je tedy popsána semisproudy vycházejícími z akčních integrálů.

Geodetický sprej

Lokálně minimalizující křivky délky Riemannian a Finsler potrubí se nazývají geodetika. Pomocí rámce Lagrangeovy mechaniky lze popsat tyto křivky pomocí postřikových struktur. Definujte Lagrangeovu funkci na TM podle

${ displaystyle L (x, xi) = { tfrac {1} {2}} F ^ {2} (x, xi),}$

kde F:TM→R je Finslerova funkce. V Riemannově případě se používá F²(X, ξ) = G_ij(X) ξⁱξ^j. Nyní představte koncepty z výše uvedené části. V Riemannově případě se ukázalo, že základní tenzor G_ij(X, ξ) je jednoduše Riemannova metrika G_ij(X). Obecně platí podmínka homogenity

${ displaystyle F (x, lambda xi) = lambda F (x, xi), quad lambda> 0}$

funkce Finsler implikuje následující vzorce:

${ displaystyle alpha _ {i} = g_ {ij} xi ^ {i}, quad F ^ {2} = g_ {ij} xi ^ {i} xi ^ {j}, quad E = alpha _ {i} xi ^ {i} -L = { tfrac {1} {2}} F ^ {2}.}$

Pokud jde o klasickou mechaniku, poslední rovnice uvádí, že veškerá energie v systému (M,L) je v kinetické formě. Dále získáme vlastnosti homogenity

${ Displaystyle g_ {ij} ( lambda xi) = g_ {ij} ( xi), quad alpha _ {i} (x, lambda xi) = lambda alpha _ {i} (x , xi), quad G ^ {i} (x, lambda xi) = lambda ^ {2} G ^ {i} (x, xi),}$

z nichž poslední říká, že Hamiltonovské vektorové pole H pro tento mechanický systém je plný postřik. Geodetika s konstantní rychlostí základního potrubí Finsler (nebo Riemannian) je popsána tímto sprejem z následujících důvodů:

• Od té doby G_ξ je definitivní pro Finslerovy prostory, každá dostatečně krátká stacionární křivka pro funkční délku minimalizuje délku.
• Každá stacionární křivka pro akční integrál má konstantní rychlost ${ displaystyle F ( gamma (t), { dot { gamma}} (t)) = lambda}$, protože energie je automaticky konstantní pohyb.
• Pro jakoukoli křivku ${ displaystyle gamma: [a, b] na M}$ konstantní rychlosti jsou akční integrál a délka funkční vztaženy

${ displaystyle { mathcal {S}} ( gamma) = { frac {(ba) lambda ^ {2}} {2}} = { frac { ell ( gamma) ^ {2}} { 2 (ba)}}.}$

Proto křivka ${ displaystyle gamma: [a, b] na M}$ je stacionární k akci integrální právě tehdy, když je konstantní rychlosti a stacionární k délce funkční. Hamiltonovské vektorové pole H se nazývá geodetický sprej Finslerova potrubí (M,F) a odpovídající průtok Φ_H^t(ξ) se nazývá geodetický tok.

Korespondence s nelineárními spoji

Polosprej H na hladkém potrubí M definuje Ehresmannovo spojení T(TM\0) = H(TM\0) ⊕ PROTI(TM 0) na svazku tečné štěrbiny skrz jeho vodorovné a svislé projekce

${ displaystyle h: T (TM setminus 0) až T (TM setminus 0) quad; quad h = { tfrac {1} {2}} { big (} I - { mathcal {L }} _ {H} J { big)},}$

${ displaystyle v: T (TM setminus 0) až T (TM setminus 0) quad; quad v = { tfrac {1} {2}} { big (} I + { mathcal {L} } _ {H} J { big)}.}$

Toto připojení je zapnuto TM 0 má vždy mizející torzní tenzor, který je definován jako držák Frölicher-NijenhuisT=[J,proti]. Stručněji lze torzi definovat jako

${ displaystyle displaystyle T (X, Y) = J [hX, hY] -v [JX, hY) -v [hX, JY].}$

Představujeme kanonické vektorové pole PROTI na TM 0 a adjunkční strukturu Θ indukovaného spojení lze vodorovnou část semispreju zapsat jako hH= ΘPROTI. Svislá část ε =vH polospreje je známý jako první postřik invariantnía polosprej H se rozkládá na

${ displaystyle displaystyle H = Theta V + epsilon.}$

První invariant postřiku souvisí s napětím

${ displaystyle tau = { mathcal {L}} _ {V} v = { tfrac {1} {2}} { mathcal {L}} _ {[V, H] -H} J}$

indukovaného nelineárního spojení pomocí obyčejné diferenciální rovnice

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {V} epsilon + epsilon = tau Theta V.}$

Proto první postřik invariantní ε (a tedy celý polosprej H) lze obnovit z nelineárního spojení pomocí

${ displaystyle epsilon | _ { xi} = int limity _ {- infty} ^ {0} e ^ {- s} ( Phi _ {V} ^ {- s}) _ {*} ( tau Theta V) | _ { Phi _ {V} ^ {s} ( xi)} ds.}$

Z tohoto vztahu také vidíme, že indukované spojení je homogenní právě tehdy H je plný sprej.

Jacobiho pole sprejů a polosprejů

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (únor 2013)

Dobrým zdrojem pro Jacobiho pole semisprejů je Oddíl 4.4, Jacobiho rovnice polospreje veřejně dostupné knihy Finsler-Lagrangeova geometrie Bucătaru a Miron. Za zmínku stojí zejména jejich koncept a dynamická kovarianční derivace. v jiný papír Bucătaru, Constantinescu a Dahl spojují tento koncept s konceptem Biderivativní operátor Kosambi.

Pro dobrý úvod do Kosambi metody, viz článek, Co je teorie Kosambi-Cartan-Chern?.

Reference

• Sternberg, Shlomo (1964), Přednášky o diferenciální geometrii, Prentice-Hall.
• Lang, Serge (1999), Základy diferenciální geometrie, Springer-Verlag.