Algebraicky uzavřená skupina - Algebraically closed group
v matematika, v říši teorie skupin, a skupina je algebraicky uzavřeno pokud existuje konečná množina rovnic a nerovnic, které v "dávají smysl" mít řešení v bez nutnosti rozšíření skupiny. Tato představa bude upřesněna později v článku v 搂 Formální definice.
Neformální diskuse
Předpokládejme, že jsme chtěli najít prvek skupiny splnění podmínek (rovnice a nerovnice):
Pak je snadné vidět, že je to nemožné, protože z toho vyplývají první dvě rovnice . V tomto případě říkáme, že soubor podmínek je nekonzistentní s . (Ve skutečnosti tato sada podmínek není v souladu s žádnou skupinou vůbec.)
Nyní předpokládejme je skupina s multiplikační tabulkou:
Pak podmínky:
mít řešení v , jmenovitě .
Podmínky však:
Nemáte řešení v , jak lze snadno zkontrolovat.
Pokud však skupinu rozšíříme do skupiny s multiplikační tabulkou:
Pak mají podmínky dvě řešení, a to a .
Existují tedy tři možnosti týkající se těchto podmínek:
- Mohou být v rozporu s a nemají řešení v žádném rozšíření .
- Mohou mít řešení v .
- Možná nebudou mít žádné řešení ale přesto mají řešení v nějakém rozšíření z .
Je rozumné se ptát, zda existují nějaké skupiny takové, že kdykoli má soubor podmínek, jako jsou tyto, řešení, má řešení v sám? Ukázalo se, že odpověď je „ano“, a tyto skupiny nazýváme algebraicky uzavřenými skupinami.
Formální definice
Nejprve potřebujeme nějaké předběžné nápady.
Li je skupina a je volná skupina na spočetně mnoho generátorů, pak a konečná množina rovnic a nerovnic s koeficienty v máme na mysli pár podmnožin a z the produkt zdarma z a .
Tím se formalizuje pojem množiny rovnic a nerovnic skládajících se z proměnných a prvky z . Sada představuje rovnice jako:
Sada představuje nerovnice jako
Podle a řešení v k této konečné sadě rovnic a nerovnic máme na mysli homomorfismus , takový, že pro všechny a pro všechny , kde je jedinečný homomorfismus to se rovná na a je totožnost .
Tím se formalizuje myšlenka nahrazení prvků aby proměnné získaly skutečnou identitu a identitu. V příkladu substituce a výtěžek:
Říkáme, že konečná množina rovnic a nerovnic je v souladu s pokud je dokážeme vyřešit ve „větší“ skupině . Více formálně:
Rovnice a nerovnice jsou v souladu s pokud existuje skupina a vložení taková, že konečná množina rovnic a nerovnic a má řešení v , kde je jedinečný homomorfismus to se rovná na a je totožnost .
Nyní formálně definujeme skupinu být algebraicky uzavřeno pokud každá konečná množina rovnic a nerovnic, která má koeficienty v a je v souladu s má řešení v .
Známé výsledky
Je obtížné uvést konkrétní příklady algebraicky uzavřených skupin, jak ukazují následující výsledky:
- Každý počitatelný skupina může být vložena do spočetné algebraicky uzavřené skupiny.
- Každá algebraicky uzavřená skupina je jednoduchý.
- Žádná algebraicky uzavřená skupina není definitivně generováno.
- Algebraicky uzavřená skupina nemůže být rekurzivně prezentovány.
- Konečně vygenerovaná skupina má řešitelná slovní úloha právě když to může být vloženo do každé algebraicky uzavřené skupiny.
Důkazy o těchto výsledcích jsou obecně velmi složité. Náčrt důkazu, že spočítatelná skupina lze vložit do algebraicky uzavřené skupiny.
Nejprve vložíme ve spočetné skupině s vlastností, že každá konečná množina rovnic s koeficienty v to je konzistentní v má řešení v jak následuje:
Existuje pouze spočetně mnoho konečných sad rovnic a nerovnic s koeficienty v . Opravte výčet z nich. Definujte skupiny indukčně:
Nyní nechte:
Nyní tuto konstrukci iterujte, abyste získali posloupnost skupin a nechť:
Pak je spočetná skupina obsahující . Je algebraicky uzavřeno, protože každá konečná množina rovnic a nerovnic je v souladu v některých musí mít koeficienty a tak musí mít řešení v .
Viz také
Reference
- A. Macintyre: Na algebraicky uzavřených skupinách, Ann. of Math, 96, 53-97 (1972)
- B.H. Neumann: Poznámka k algebraicky uzavřeným skupinám. J. London Math. Soc. 27, 227-242 (1952)
- B.H. Neumann: Problém izomorfismu pro algebraicky uzavřené skupiny. In: Word Problems, pp 553 鈥 . Amsterdam: Severní Holandsko 1973
- W.R. Scott: Algebraicky uzavřené skupiny. Proc. Amer. Matematika. Soc. 2, 118-121 (1951)