Lokálně konečná skupina - Locally finite group

v matematika, v oblasti teorie skupin, a lokálně konečná skupina je typ skupina které lze studovat způsoby analogickými k a konečná skupina. Podskupiny Sylow, Carterovy podskupiny, a abelianské podskupiny studovány byly lokálně konečné skupiny. Koncept je připočítán k práci ve 30. letech ruským matematikem Sergej Černikov.^[1]

Definice a první důsledky

A lokálně konečná skupina je skupina, pro kterou každý definitivně generováno podskupina je konečný.

Protože cyklické podskupiny lokálně konečné skupiny jsou konečně generovány, tedy konečné, každý prvek má konečný objednat a tak skupina je periodicky.

Příklady a příklady

Příklady:

• Každá konečná skupina je místně konečná
• Každý nekonečný přímý součet konečných skupin je místně konečný (Robinson 1996, str. 443) (Ačkoli přímý produkt nemusí být.)
• Omega kategorické skupiny
• The Prüferovy skupiny jsou lokálně konečné abelianské skupiny
• Každý Hamiltonovská skupina je místně konečný
• Každá periodická řešitelná skupina je lokálně konečná (Dixon 1994, Prop. 1.1.5).
• Každý podskupina lokálně konečné skupiny je lokálně konečná. (Důkaz. Nechat G být lokálně konečnou skupinou a S podskupina. Každá konečně vygenerovaná podskupina S je (definitivně generovaná) podskupina G.)
• Hallova univerzální skupina je spočetná lokálně konečná skupina obsahující každou z nich spočítatelné místně konečné seskupit jako podskupinu.
• Každá skupina má jedinečnou maximální normální místně konečnou podskupinu (Robinson 1996, str. 436)
• Každý periodická podskupina z obecná lineární skupina přes komplexní čísla je lokálně konečná. Protože všechny lokálně konečné skupiny jsou periodické, znamená to, že pro lineární skupiny a periodické skupiny jsou podmínky stejné.^[2]

Jiné příklady:

• Žádná skupina s prvkem nekonečného řádu není lokálně konečnou skupinou
• Žádné netriviální volná skupina je místně konečný
• A Tarski skupina příšer je periodický, ale není místně konečný.

Vlastnosti

Třída lokálně konečných skupin je uzavřena v podskupinách, kvocienty, a rozšíření (Robinson 1996, str. 429).

Lokálně konečné skupiny uspokojují slabší formu Sylowovy věty. Pokud má lokálně konečná skupina konečnou hodnotu str- podskupina obsažené v žádném jiném str-skupiny, pak všechny maximální str-skupiny jsou konečné a konjugované. Pokud existuje konečně mnoho konjugátů, pak je počet konjugátů shodný s 1 modulo str. Ve skutečnosti, pokud má každá spočetná podskupina lokálně konečné skupiny jen spočetně mnoho maximálních str-skupiny, pak každá maximální str-skupina skupiny je konjugovaná (Robinson 1996, str. 429).

Třída lokálně konečných skupin se chová poněkud podobně jako třída konečných skupin. Hodně z 60. let teorie formací a tříd fitingu, stejně jako starší teorie podskupin Sylow z 19. a 30. let má analogii v teorii lokálně konečných skupin (Dixon 1994, str. proti.).

Podobně jako Burnsideův problém, matematici přemýšleli, zda každá nekonečná skupina obsahuje nekonečno abelianská podskupina. I když to obecně nemusí být pravda, výsledek Philip Hall a další je, že každá nekonečná lokálně konečná skupina obsahuje nekonečnou abelianskou skupinu. Důkaz této skutečnosti v teorii nekonečných skupin závisí na Feit – Thompsonova věta o rozpustnosti konečných skupin lichého řádu (Robinson 1996, str. 432).

Reference

• Dixon, Martyn R. (1994), Sylowova teorie, formace a Fitting třídy v lokálně konečných skupinách, Série v algebře, 2River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN  978-981-02-1795-2, PAN  1313499
• Robinson, Derek John Scott (1996), Kurz teorie skupin, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94461-6

externí odkazy

• A.L. Shmel'kin (2001) [1994], „Místní konečná skupina“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Otto H. Kegel a Bertram A. F. Wehrfritz (1973), Lokálně konečné skupiny, Elsevier