Sestup (matematika) - Descent (mathematics)
Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Květen 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, myšlenka klesání rozšiřuje intuitivní myšlenku „lepení“ dovnitř topologie. Protože lepidlo topologů je použití ekvivalenční vztahy na topologické prostory, teorie začíná několika myšlenkami na identifikaci.
Sestup vektorových svazků
Případ výstavby vektorové svazky z údajů na a disjunktní unie z topologické prostory je přímé místo pro začátek.
Předpokládat X je topologický prostor pokrytý otevřenými množinami Xi. Nechat Y být disjunktní unie z Xi, takže existuje přirozené mapování
Myslíme na Y jak je uvedeno výše' X, s Xi projekce „dolů“ na X. S tímto jazykem klesání znamená vektorový svazek Y (takže na každém je uveden balíček Xi) a naší starostí je tyto svazky „lepit“ PROTIi, vytvořit jeden svazek PROTI na X. To máme na mysli PROTI by měl být omezen na Xi, vrátit PROTIi, až do izomorfismus svazku.
Potřebná data jsou pak tato: o každém překrytí
křižovatka Xi a Xj, budeme požadovat mapování
použít k identifikaci PROTIi a PROTIj tam, vlákno za vláknem. Dále Fij musí splňovat podmínky založené na reflexních, symetrických a přechodných vlastnostech vztahu ekvivalence (podmínky lepení). Například složení
pro tranzitivitu (a výběr trefné notace). The Fii by měly být mapy identity, a proto se stává symetrie (takže je to vláknový izomorfismus).
Jedná se skutečně o standardní podmínky v svazek vláken teorie (viz přechodová mapa ). Jednou důležitou aplikací, kterou je třeba si uvědomit, je změna vlákna: pokud Fij je vše, co potřebujete k vytvoření balíčku, pak existuje mnoho způsobů, jak vytvořit přidružený balíček. To znamená, že si můžeme vzít v podstatě totéž Fij, působící na různá vlákna.
Dalším důležitým bodem je vztah s řetězové pravidlo: diskuse o způsobu konstrukce tenzorová pole lze shrnout jako „jakmile se naučíte sestupovat tečný svazek, pro který je tranzitivita Jacobian řetězové pravidlo, zbytek je jen „přirozenost tenzorových konstrukcí“.
Abychom se přiblížili k abstraktní teorii, musíme interpretovat disjunktní unii
nyní jako
the vláknitý výrobek (zde ekvalizér ) dvou kopií projekce str. Svazky na internetu Xij které musíme ovládat PROTI' a PROTI", návraty k vláknu PROTI přes dvě různé projekční mapy do X.
Proto přechodem na abstraktnější úroveň lze eliminovat kombinatorickou stránku (tj. Vynechat indexy) a získat něco, co má smysl pro p ne speciální forma krytí, se kterou jsme začali. To pak umožňuje a teorie kategorií přístup: zbývá znovu vyjádřit podmínky lepení.
Dějiny
Myšlenky byly vyvinuty v období 1955–1965 (což byla zhruba doba, kdy byly požadavky algebraická topologie byly splněny, ale ti z algebraická geometrie nebyly). Z hlediska abstraktu teorie kategorií práce komonády Beck byl souhrn těchto myšlenek; vidět Beckova veta o monadicitě.
Obtíže algebraické geometrie s přechodem do kvocientu jsou akutní. Naléhavost (tak řečeno) problému pro geometry odpovídá názvu roku 1959 Grothendieck seminář TDTE na věty o původu a techniky existence (vidět FGA ) spojující otázku sestupu s reprezentativní funktor otázka v algebraické geometrii obecně a problém moduli zejména.
Plně věrný sestup
Nechat . Každý svazek F na X vede k sestupu dat:
kde splňuje podmínku cyklu:
- .
Plně věrný sestup říká: je plně věrný. Teorie sestupu říká podmínky, za kterých existuje plně věrný sestup.
Viz také
- Grothendieckovo připojení
- Zásobník (matematika)
- Galoisův sestup
- Grothendieckova topologie
- Kategorie vláken
- Beckova veta o monadicitě
- Kohomologický původ
Reference
- SGA 1, Ch VIII - toto je hlavní reference
- Siegfried Bosch; Werner Lütkebohmert; Michel Raynaud (1990). Néron Modely. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 21. Springer-Verlag. ISBN 3540505873. Kapitola o teorii sestupu je přístupnější než SGA.
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Kategorické základy. Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazků. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
Další čtení
Mezi další možné zdroje patří:
- Angelo Vistoli, Poznámky k topologiím Grothendieck, vláknité kategorie a teorie sestupu arXiv:math.AG/0412512
- Mattieu Romagny, Přímá cesta k algebraickým zásobníkům