Vitaliho věta o konvergenci - Vitali convergence theorem - Wikipedia

v skutečná analýza a teorie míry, Vitaliho věta o konvergenci, pojmenoval podle italština matematik Giuseppe Vitali, je zobecněním známějšího dominující věta o konvergenci z Henri Lebesgue. Jedná se o charakteristiku konvergence v L^str z hlediska konvergence míry a podmínky související s jednotná integrovatelnost.

Výrok věty

Nechat ${ displaystyle (f_ {n}) _ {n in mathbb {N}} subseteq L ^ {p} (X, tau, mu), f v L ^ {p} (X, tau , mu)}$, s ${ displaystyle 1 leq p < infty}$. Pak, ${ displaystyle f_ {n} až f}$ v ${ displaystyle L ^ {p}}$ právě když máme

• (i) ${ displaystyle f_ {n}}$ konvergovat v míře na ${ displaystyle f}$.
• (ii) Pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$ existuje měřitelná množina ${ displaystyle E _ { varepsilon}}$ s ${ displaystyle mu (E _ { varepsilon}) < infty}$ tak, že pro každého ${ displaystyle G in tau}$ disjunktní od ${ displaystyle E _ { varepsilon}}$ máme pro každého ${ displaystyle n in mathbb {N}}$

${ displaystyle int _ {G} | f_ {n} | ^ {p} , d mu < varepsilon ^ {p}}$

• (iii) Pro všechny ${ displaystyle varepsilon> 0}$ tady existuje ${ displaystyle delta ( varepsilon)> 0}$ takové, pokud ${ displaystyle E in tau}$ a ${ displaystyle mu (E) < delta ( varepsilon)}$ pak pro každého ${ displaystyle n in mathbb {N}}$ my máme

${ displaystyle int _ {E} | f_ {n} | ^ {p} , d mu < varepsilon ^ {p}}$

Poznámka: Pokud ${ displaystyle mu (X)}$ je konečná, pak druhá podmínka je triviálně pravdivá (stačí vybrat podmnožinu, která pokrývá všechny kromě dostatečně malé části celého rozsahu). Rovněž (i) a (iii) implikuje jednotnou integrovatelnost ${ displaystyle (| f_ {n} | ^ {p}) _ {n in mathbb {N}}}$a jednotná integrovatelnost ${ displaystyle (| f_ {n} | ^ {p}) _ {n in mathbb {N}}}$ znamená (iii).^[1]

Nástin důkazu

Pro prokázání prohlášení 1 používáme Fatouovo lemma: ${ displaystyle int _ {X} | f | , d mu leq liminf _ {n až infty} int _ {X} | f_ {n} | , d mu}$

• Při použití jednotné integrovatelnosti existuje ${ displaystyle delta> 0}$ takové, které máme ${ displaystyle int _ {E} | f_ {n} | , d mu <1}$ pro každou sadu ${ displaystyle E}$ s ${ displaystyle mu (E) < delta}$
• Podle Egorovova věta, ${ displaystyle {f_ {n}}}$ konverguje rovnoměrně na scéně ${ displaystyle E ^ {C}}$. ${ displaystyle int _ {E ^ {C}} | f_ {n} -f_ {p} | , d mu <1}$ pro velkou ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle forall n> p}$. Použitím nerovnost trojúhelníku, ${ displaystyle int _ {E ^ {C}} | f_ {n} | , d mu leq int _ {E ^ {C}} | f_ {p} | , d mu + 1 = M}$
• Zapojení výše uvedených hranic do RHS Fatouova lematu nám dává výrok 1.

Pro příkaz 2 použijte ${ displaystyle int _ {X} | f-f_ {n} | , d mu leq int _ {E} | f | , d mu + int _ {E} | f_ {n} | , d mu + int _ {E ^ {C}} | f-f_ {n} | , d mu}$, kde ${ displaystyle E v { mathcal {F}}}$ a ${ displaystyle mu (E) < delta}$.

• Termíny v RHS jsou ohraničeny příslušně s použitím prohlášení 1, jednotné integrovatelnosti ${ displaystyle f_ {n}}$ a Egorovova věta pro všechny ${ displaystyle n> N}$.

Konverze věty

Nechat ${ displaystyle (X, { mathcal {F}}, mu)}$ být pozitivní změřte prostor. Li

1. ${ displaystyle mu (X) < infty}$,
2. ${ displaystyle f_ {n} in { mathcal {L}} ^ {1} ( mu)}$ a
3. ${ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {E} f_ {n} , d mu}$ existuje pro každého ${ displaystyle E v { mathcal {F}}}$

pak ${ displaystyle {f_ {n} }}$ je jednotně integrovatelný.^[2]

Citace

Reference

• Moderní metody variačního počtu. 2007. ISBN  9780387357843.
• Folland, Gerald B. (1999). Skutečná analýza. Čistá a aplikovaná matematika (New York) (druhé vydání). New York: John Wiley & Sons Inc., str. Xvi + 386. ISBN  0-471-31716-0. PAN1681462
• Rosenthal, Jeffrey S. (2006). První pohled na přísnou teorii pravděpodobnosti (Druhé vydání.). Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. str. Xvi + 219. ISBN  978-981-270-371-2. PAN2279622

externí odkazy

• Vitaliho věta o konvergenci na PlanetMath.